1、专升本高等数学(二)-87 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的_ A.较高阶的无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶但不等价的无穷小量 D.较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(sinx)=sin2x，则 f(x)等于_ A.2cosx B.-2sinxcosx C.x D.2x（分数：4.00）A.B.C.D.3.以下结论正确的是_ A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B.若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0必为 f(
2、x)的极值点 C.若函数 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若函数 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）A.B.C.D.4.若 ，则 dy 等于_A B （分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 y=ex-x 在区间(-1，1)内_ A.单调减少 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)为奇函数且连续，又有 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 y=f(x)二阶可导，且 f(1)=0，f“(1)0，则必有_ A.f(1)=0 B.f(1)是极小值 C.f(
3、1)是极大值 D.点(1，f(1)是拐点（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)是可导的连续函数，则 等于_ Af(3)-f(1) Bf(9)-f(3) C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 z=x2y+x+1，则 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设事件 A，B 的 P(B)=0.5，P(AB)=0.4，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率 P(A|B)=_ A.0.1 B.0.2 C.0.8 D.0.9（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.当 x
4、0 时，1-cosx 与 xk是同阶无穷小量，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=ln(x+cosx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 y=x(x+1)(x+3)，则 y“= 1（分数：4.00）填空项 1:_15.设 y=y(x)由方程 x2+y2+xy=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_16.设 f(x)的导函数是 sin2x，则 f(x)的全体原函数是_（分数：4.00）填空项 1:_17.设 （分数：4.00）填空项 1:_18.曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_19.= 1 （分数：
5、4.00）填空项 1:_20.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_22.设 （分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.计算 （分数：8.00）_25.一枚 5 分硬币，连续抛掷 3 次，求“至少有 1 次国徽向上”的概率（分数：8.00）_26.在抛物线 y2=4x 与 x=2 所围成的平面区域内作一矩形，其一边在 x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?（分数：10.00）_27.设 z=z(x，y)由方程 ez-x2+y2+x+z=0 确定，求 dz
6、（分数：10.00）_28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S，并求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vy（分数：10.00）_专升本高等数学(二)-87 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的_ A.较高阶的无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶但不等价的无穷小量 D.较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查两个无穷小量阶的比较 比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项本题即为计算
7、： * 由于其比的极限为常数 2，所以选项 C 正确 请考生注意：由于分母为 x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换 ln(1+x)x，否则将导致错误的结论 与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”例如： 当 x0 时，x-ln(1+x)是 x 的 A*阶的无穷小量 B等价无穷小量 C2 阶的无穷小量 D3 阶的无穷小量 这类题的解法是：首先设 x-ln(1+x)为 x 的 k 阶无穷小量，再由*存在且为一个有限值，从而确定 k 值 因为*，要使上式的极限存在，则必须有 k-2=0，即 k=2 所以，当 x0 时，x-ln(1+x)为 x 的
8、2 阶无穷小量，选C2.设函数 f(sinx)=sin2x，则 f(x)等于_ A.2cosx B.-2sinxcosx C.x D.2x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算本题的解法有两种：解法 1 先用换元法求出 f(x)的表达式，再求导设 sinx=u，则 f(u)=u2，所以 f(u)=2u，即 f(x)=2x，选 D解法 2 将 f(sinx)作为 f(u)，u=sinx 的复合函数直接求导，再用换元法写成 f(x)的形式等式两边对 x 求导得f(sinx)cosx=2sinxcosx，f(sinx)=2sinx用 x 换 sinx
9、，得 f(x)=2x，所以选 D请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：设函数*，则 f(x)=_(答案为*)设函数 f(*)=sinx，则 f(x)=_(答案为 2xcosx2)设函数 f(cosx)=1+cos3x，求 f(x)(答案为 3x2)3.以下结论正确的是_ A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B.若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C.若函数 f(x)
10、在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若函数 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，例如：y=|x|在 x=0 处有极小值且连续，但在 x=0 处不可导，排除 A 和 Dy=x3，x=0 是它的驻点，但 x=0 不是它的极值点，排除 B，所以命题 C 是正确的4.若 ，则 dy 等于_A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题可用 dy=yd
11、x 求得选项为 A，也可以直接求微分得到 dy 因为*， 则* 直接求微分得*，所以选 A5.函数 y=ex-x 在区间(-1，1)内_ A.单调减少 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题需先求出函数的驻点，再用 y“来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的 y必异号，从而进一步确定选项因为 y=ex-1，令 y=0，得 x=0又 y“=ex0，x(-1，1)，且 y“|x=0=10，所以 x=0 为极小值点，故在 x=0 的左、右两侧的函数必为由减到增，则当 x(-1，1)时，函数有增有减，所以应选 D6.设 f(x)
12、为奇函数且连续，又有 F(x)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用换元法将 F(-x)与 F(x)联系起来，再确定选项 因为*所以选 B7.设 y=f(x)二阶可导，且 f(1)=0，f“(1)0，则必有_ A.f(1)=0 B.f(1)是极小值 C.f(1)是极大值 D.点(1，f(1)是拐点（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据极值的第二充分条件确定选项8.设 f(x)是可导的连续函数，则 等于_ Af(3)-f(1) Bf(9)-f(3) C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是定积分的换元法本题可以直接换元或用凑微分法
13、因为*，所以选 D9.设函数 z=x2y+x+1，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用二元函数求偏导公式计算即可 因为*，选 B10.设事件 A，B 的 P(B)=0.5，P(AB)=0.4，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率 P(A|B)=_ A.0.1 B.0.2 C.0.8 D.0.9（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用条件概率公式计算即可 *二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -2）解析：解析 利用重要极限和极限存在的充要条件，可知 k=e-2因为*，所以本
14、题只要分别计算：*，所以 k=e-212.当 x0 时，1-cosx 与 xk是同阶无穷小量，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定 k 值 * 欲使其极限值为不为 0 的常数，只有 k=2所以填 213.设 y=ln(x+cosx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 用复合函数求导公式计算 *14.设 y=x(x+1)(x+3)，则 y“= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：解析 注意到 y=x(x+1)(x+3)=x3+4x2+3x，则 y“=615.
15、设 y=y(x)由方程 x2+y2+xy=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 利用隐函数求导公式或直接对 x 求导 将等式两边对 x 求导(此时 y=y(x)，得 2x+2yy+y+xy=0，解得*16.设 f(x)的导函数是 sin2x，则 f(x)的全体原函数是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*(C 1，C 2为任意常数)）解析：解析 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念因为 f(x)=sin2x，而 f(x)的全体原函数为f(x)dx，所以*，则*(C 1，C 2为任意常数)17.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
16、案：*）解析：解析 本题考查的知识点是原函数存在定理，即变上限的定积分*是函数 f(x)在该区间上的一个原函数，因此有 *18.曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x+y-e=0）解析：解析 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程因为 y=lnx+1-1=lnx，y| x=e =1=k 切线 ，则法线斜率*，得 k 法 =-1当 x=e 时，y=0，所以法线方程为y=-(x-e)，即 x+y-e=019.= 1 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 利用奇、偶函数在对称区间上积分的
17、性质20.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 将函数 z 写成*，则很容易求得结果三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_正确答案：(* 注意：若用等价无穷小量代换更为简捷： *)解析：解析 本题考查的是“*”型不定式极限的概念及相关性质 含变上限的“*”型不定式极限直接用洛必达法则求解22.设 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点是复合函数的求导计算 利用复合函数的求导公式计算23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分另
18、外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分 解法 1 * 解法 2 三角代换去根号 设 x=sint，dx=costdt，则 *)解析：解析 本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法24.计算 （分数：8.00）_正确答案：(* 注意：反常积分也可如下简记： * 千万要注意的是：绝对不允许写成*，因为“”是一个符号，不能参加运算)解析：解析 本题考查的知识点是反常积分的计算 配方后用积分公式计算25.一枚 5 分硬币，连续抛掷 3 次，求“至少有 1 次国徽向上”的概率（分数：8.00）_正确答案：(一枚 5 分硬币抛掷 1 次可能出现 2 种情况：正面或反面
19、(国徽或字面)，连续抛掷 3 次，共有*=8 种可能情况 设 A=至少有 1 次国徽向上，则*=全部是字面向上故 *)解析：解析 本题考查的知识点是古典概型的概率计算26.在抛物线 y2=4x 与 x=2 所围成的平面区域内作一矩形，其一边在 x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?（分数：10.00）_正确答案：(如下图所示，设 A 点坐标为(x 0，y 0)，则 AD=2-x0，矩形面积*，*，*得 x0=*，则 y0=*，此时*由于只有唯一极值点，根据实际问题知，矩形的长为*，宽为*时面积最大，最大面积为*)解析：解析 本题考查的知识点是利用导数研
20、究函数特性的方法 本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值27.设 z=z(x，y)由方程 ez-x2+y2+x+z=0 确定，求 dz（分数：10.00）_正确答案：(求二元隐函数全微分的关键是先求出偏导数*与*，然后代入公式 dz=*+*dy而求*与*的方法主要有：直接求导法、公式法以及微分法在用直接求导法时考生一定要注意：等式 ez-x2+y2+x+z=0 中的 z 是 x，y 的函数，对 x(或 y)求导时，式子z=z(x，y)中 y(或 x)应视为常数，最后解出*(或*)利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=e z-x2+y2+x+z，然后将等式两边分别对 x，
21、y，z 求导考生一定要注意：对 x 求导时，y，z均视为常数，而对 y 或 z 求导时，另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时，辅助函数 F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量解法 1 直接求导法等式两边对 x 求导得*解得*等式两边对 y 求导得*，解得*，则有*解法 2 公式法设 F(x，y，z)=e z-x2+y2+x+z因为*，则*，所以*解法 3 微分法对等式两边求微分得d(ez)-d(x2)+d(y2)+d(x+z)=0，ezdz-2xdx+2ydy+dx+dz=0，解得*三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法)解析：解析 本题考查的
22、知识点是二元隐函数全微分的求法28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S，并求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vy（分数：10.00）_正确答案：(画出平面图形，如下图所示的阴影部分，则有阴影部分的面积 * *， *)解析：解析 本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对 x 积分还是对 y 积分选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出本题如果选择对 x 积分，则有*，这显然要比对 y 积分麻烦在求旋转体的体积时一定要注意是绕 x 轴还是绕 y 轴旋转历年的试题均是绕 x 轴旋转，而本题是求绕 y轴旋转的旋转体的体积旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是：*考生一定要牢记：V x=V2-V1，即分别计算两个旋转体所成的旋转体体积之差本题为*
