1、专升本高等数学(二)-86 及答案解析(总分：152.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论肯定正确的是_A 必存在B （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 y=f(x)满足 f(1)=2，f“(1)=0，且当 x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0，则有_ A.x=1 是驻点 B.x=1 是极值点 C.x=1 是拐点 D.点(1，2)是拐点（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.5.下面等式正确
2、的是_Ae xsin(ex)dx=sin(ex)d(ex) BC （分数：4.00）A.B.C.D.6.若函数 y=f(x)有 ，则当 x0 时，该函数在 x=x0处的微分 dy 等于_A2dx B （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 ，则f(x)dx 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.定积分 等于_ A0 B2(e-1) Ce-1 D （分数：4.00）A.B.C.D.9.定积分 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.设函数 z=x2+y2，则点(0，0)_ A.不是驻点 B.是驻点但不是极值点 C.是驻点且是极大值点 D.是驻点且
3、是极小值点（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.=_ （分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_15.已知 y=xe-2x，则 y“=_（分数：4.00）填空项 1:_16.=_ （分数：4.00）填空项 1:_17.=_ （分数：4.00）填空项 1:_18.设函数 f(x)=x2+1，则 f(x)的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_19.设 f(x)的 n-1 阶导数为 （分数：4.00）填空项 1:_20.设
4、 z=x2y，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：2，分数：72.00)1. 设 f(2)=1，求* 本题是抽象函数 f(x)的“*”型不定式，所以用洛必达法则求解如果注意到 f(x)在 x=2 处可导，也可以利用导数定义求解解法 1 *解法 2 *解析 本题考查的知识点是“*”型不定式的极限求法（分数：56.00）(1).设 f(2)=1，求 （分数：8.00）_(2).设函数 y=cos(lnx)，求 y（分数：8.00）_(3).计算 （分数：8.00）_(4).计算 （分数：8.00）_(5).计算 （分数：8.00）_(6).在曲线 y=sinx(0x )上
5、求一点 M0，使得下图中阴影部分的面积 S1与 S2之和 S=S1+S2为最小（分数：8.00）_(7).设函数 ，其中 f(u)可导证明： （分数：8.00）_已知袋中装有 8 个球，其中 5 个白球，3 个黄球一次取 3 个球，以 X 表示所取的 3 个球中黄球的个数（分数：16.00）(1).求随机变量 X 的分布列（分数：8.00）_(2).求数学期望 E(X)（分数：8.00）_专升本高等数学(二)-86 答案解析(总分：152.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论肯定正确的是_A 必存在B （
6、分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查函数在一点处连续的概念及无穷小量的概念函数 y=f(x)在点 x0处连续主要有三种等价的定义：*，还有一种就是连续的分析定义(- 语言)，已超纲，不作要求如果将第二个式子写成*，利用无穷小量的定义，可知：当 xx 0时，f(x)-f(x 0)为无穷小量，所以选D这里容易出错的是：很多考生认为选项 A 是正确的如果*存在，则它等于 f(x0)，函数 f(x)在点 x0处连续；但是反过来，若函数 y=f(x)在点 x0处连续，f(x)不一定在点 x0处可导产生这种错误的原因是基本概念不清2.函数 y=f(x)满足 f(1)=2，f“(1)=
7、0，且当 x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0，则有_ A.x=1 是驻点 B.x=1 是极值点 C.x=1 是拐点 D.点(1，2)是拐点（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用拐点的定义来确定选项需注意的是：拐点是曲线上的点，应该是(1，2)，而不是x0=13.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点是函数间断点的求法如果函数 f(x)在点 x0处有下列三种情况之一，则点 x0就是 f(x)的一个间断点(1)在点 x0处，f(x)没有定义(2)在点 x0处，f(x)的极限不存在(3)在点 x0处，f(x)有定义，且*存在，但*因此，本题
8、的间断点为 x=1，所以选 C4.设函数 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 直接求出*，当 x0 时，y+，故选 D5.下面等式正确的是_Ae xsin(ex)dx=sin(ex)d(ex) BC （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 将式中的微分计算出来，比较左、右两边的式子，可知选项 A 正确6.若函数 y=f(x)有 ，则当 x0 时，该函数在 x=x0处的微分 dy 等于_A2dx B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用微分的表达式来确定选项 因为 dy=ydx=*，故选 B7.设 ，则f(x)dx 等于_ A B C D （分数：
9、4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据不定积分的性质f(x)dx=f(x)+C，故选 C8.定积分 等于_ A0 B2(e-1) Ce-1 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题的关键是去绝对值符号，分段积分 若注意到被积函数是偶函数的特性，可知 *，无需分段积分9.定积分 等于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点是定积分换元时，积分的上、下限一定要一起换 因为*故选 A10.设函数 z=x2+y2，则点(0，0)_ A.不是驻点 B.是驻点但不是极值点 C.是驻点且是极大值点 D.是驻点且是极小值点（分数：4.00）A.
10、B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是二元函数的无条件极值因为*，则点(0，0)为驻点，且*由于 B2-AC=-40，且 A=20，所以点(0，0)为极小值点二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 函数 f(x)在 x0处存在极限但不连续的条件是f(x0-0)=f(x0+0)f(x 0)由于*，所以只需 a112.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 用洛必达法则求极限请考生注意：含有指数函数的“*”型不定式极限，建议考生用洛必达法则求解，不容易出错! *13.设函数 （分数：
11、4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是由复合函数 fu(x)的表达式求 f(x)的表达式，或由 fu(x)的表达式求 f(x)的表达式 本题的一般求法是先将复合函数*用变量代换*化为*，则有*，再对 x 求导得*14.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=1）解析：解析 本题考查的知识点是曲线水平渐近线的概念及其求法 因为*，故曲线有水平渐近线y=115.已知 y=xe-2x，则 y“=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4(x-1)e -2x）解析：解析 求出 y，化简后再求 y“更简捷y=e-2x-2xe-2x=(1-2x)e
12、-2x，y“=-2e-2x-2(1-2x)e-2x=4(x-1)e-2x16.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 利用凑微分法积分 *17.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 用不定积分的性质求解 *18.设函数 f(x)=x2+1，则 f(x)的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查的知识点是函数 f(x)的极值概念及求法因为 f(x)=2x，令 f(x)=0，得 x=0又因为 f“(x)|x=0=20，所以 f(0)=1 为极小值19.设 f(x)的 n-1 阶导数为 （分数：4.00
13、）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 f (n-1)(x)=f(n)(x)，即*20.设 z=x2y，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2x 2y-1(1+2ylnx)）解析：解析 z 对 x 求偏导时用幂函数求导公式，z 对 y 求偏导时用指数函数求导公式 因为*，则 *， 即*三、B解答题/B(总题数：2，分数：72.00)1. 设 f(2)=1，求* 本题是抽象函数 f(x)的“*”型不定式，所以用洛必达法则求解如果注意到 f(x)在 x=2 处可导，也可以利用导数定义求解解法 1 *解法 2 *解析 本题考查的知识点是“*”型不定式的极限求法（分数：56.00）
14、(1).设 f(2)=1，求 （分数：8.00）_正确答案：(本题是抽象函数 f(x)的“*”型不定式，所以用洛必达法则求解如果注意到 f(x)在 x=2处可导，也可以利用导数定义求解 解法 1 * 解法 2 *)解析：解析 本题考查的知识点是“*”型不定式的极限求法(2).设函数 y=cos(lnx)，求 y（分数：8.00）_正确答案：(y=-sin(lnx)(lnx)=*)解析：解析 本题考查复合函数的求导(3).计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 用凑微分法求解(4).计算 （分数：8.00）_正确答案：(*如果用换元积分法，令 ex-1=t 进行计算，没有用凑微分法
15、简捷，考生可自行练习)解析：解析 本题考查的知识点是定积分的换元积分法或凑微分法换元时一定要将积分的上、下限换成新的变量的上、下限(5).计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 先用换元法去根号，再积分(6).在曲线 y=sinx(0x )上求一点 M0，使得下图中阴影部分的面积 S1与 S2之和 S=S1+S2为最小（分数：8.00）_正确答案：(画出平面图形如下图所示设点 M0的横坐标为 x0，则 S1与 S2如图中阴影区域所示*，*，则*S 为 x0的函数，将上式对 x0求导得*令 S=0，得*或*(舍去)，所以*由于只有唯一的驻点，所以*，*，即点 M0的坐标*为所求)解
16、析：解析 本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及极值的求法(7).设函数 ，其中 f(u)可导证明： （分数：8.00）_正确答案：(等式两边分别对 x，y 求导得 *， *， 因此*)解析：解析 本题需要注意的是 f(u)是 u 的一元函数，而*是 x，y 的二元函数已知袋中装有 8 个球，其中 5 个白球，3 个黄球一次取 3 个球，以 X 表示所取的 3 个球中黄球的个数（分数：16.00）(1).求随机变量 X 的分布列（分数：8.00）_正确答案：(P(X=0)=P(取出的 3 个球全是白球)=*， P(X=1)=P(取出的 3 个球中有 1 个黄球)=*， P(X=2)=P(取出的 3 个球中有 2 个黄球)=*， P(X=3)=P(取出的 3 个球全是黄球)=*， 所以随机变量 X的分布列为 *)解析：(2).求数学期望 E(X)（分数：8.00）_正确答案：(* 注意：如果计算出的分布列中的概率之和不等于 1，即不满足分布列的规范性，则必错无疑，考生可自行检查)解析：解析 本题考查的知识点是随机变量 X 的概率分布的求法 本题的关键是要分析出随机变量 X 的取值以及算出取这些值时的概率 因为一次取 3 个球，3 个球中黄球的个数可能是 0 个，1 个，2 个，3个，即随机变量 X 的取值为 X=0，X=1，X=2，X=3取这些值的概率用古典概型的概率公式计算即可
