1、专升本高等数学(二)-85 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.下列等式不成立的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 y=f(x)在点 x0处的左、右极限存在且相等是函数在该点极限存在的_ A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 在点 x=0处的导数是_ A0 B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 f(x)0(axb)，且 f(b)0，则在(a，b)内必有_ A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)0
2、 D.f(x)可正可负（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 ，则 等于_ A-2 B-1 C （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 ，则 f(x)有_ A极大值 B极大值- C极小值 D极小值-（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)的一个原函数是 xlnx，则 f(x)的导函数是_ A1+lnx B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.下图所示的 f(x)在区间a，b上连续，则由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x轴所围成的平面图形的面积 S等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知 f(x)=ex，则 等于_A B1 C
3、 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x，y)=x 2+y2，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.若 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=ln(ex+cosx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 f(x)=ex，g(x)=x 2，则 （分数：4.00）填空项 1:_15.设 （分数：4.00）填空项 1:_16.=_ （分数：4.00）填空项 1:_17.若 （分数：4.00）填空项 1:_18.若 （分数：4.00）填空项 1:_19.=_ （分数：4.
4、00）填空项 1:_20.设 z=ln(xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_22.设 y=lncos(2x+1)，求 dy（分数：8.00）_23.设函数 f(x)=x-lnx，求 f(x)的单调区间和极值（分数：8.00）_24.设 f(x)的一个原函数是 e-x，求xf(x)dx（分数：8.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：8.00）_26.已知函数 z=z(x，y)由方程 ez=xy2+sin(zy)确定，试求 dz（分数：10.00）_27.在第一象限内的曲线 （分数：10.
5、00）_28.一个袋子中有编号为 1，2，3，4，5 的 5个球，从中任取 3个球，以 X表示取出的 3个球中的最大号码，求随机变量 X的分布列，并求 E(X)（分数：10.00）_专升本高等数学(二)-85 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.下列等式不成立的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用重要极限的结构式，可知选项 C不成立2.函数 y=f(x)在点 x0处的左、右极限存在且相等是函数在该点极限存在的_ A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件，也非必要条件
6、（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据极限存在定理可知选 C3.函数 在点 x=0处的导数是_ A0 B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为*， 所以*4.若 f(x)0(axb)，且 f(b)0，则在(a，b)内必有_ A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)0 D.f(x)可正可负（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用函数单调的定义 因为 f(x)0(axb)，则 f(x)在区间(a，b)内单调下降，即f(x)f(b)0，故选 A5.已知 ，则 等于_ A-2 B-1 C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先用复合函数求导
7、，再求* 因为*， 则* 当 x=2时，得*=-1，故选 B6.设函数 ，则 f(x)有_ A极大值 B极大值- C极小值 D极小值-（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查极限的充分条件 本题可以先积分，求出 f(x)，然后再求其极值最简捷的方法是利用变上限定积分先求出 f(x)=x-1，f“(x)=10，所以 f(x)有极小值 f(1)=*，所以选 D7.设 f(x)的一个原函数是 xlnx，则 f(x)的导函数是_ A1+lnx B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据原函数的定义及导函数的概念，则有 f(x)=(xlnx)=lnx+1，则*，
8、所以选 C8.下图所示的 f(x)在区间a，b上连续，则由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x轴所围成的平面图形的面积 S等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 注意到定积分的几何意义是曲边梯形的面积，而面积不能为负值，因此所有的 f(x)必须为正值，则有 S=* 如果分段积分，也可以写成： *9.已知 f(x)=ex，则 等于_A B1 C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法 *10.设 f(x，y)=x 2+y2，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为*，故选 B二、B填
9、空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题是“*”型不定式 *12.设 y=ln(ex+cosx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 用复合函数求导公式计算 *13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 利用变上限函数的求导公式求出 (x)，再求 “(x)变上限函数的求导是重要的考点之一，望考生注意因为 (x)=ln(x+x 2)，则*14.设 f(x)=ex，g(x)=x 2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的
10、知识点是函数概念及复合函数求导注意到 f(x)=ex的结构式是 f(变量)=e (变量) ，因此fg(x)=eg(x)=*，所以*15.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是由函数的 n-2阶导数求 n阶导数由于y (n-2)“=y(n)，则有*16.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 用凑微分法积分可得答案 *17.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 被积函数中的 xsin4x是奇函数，而*是偶函数，则有*，所以*18.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析
11、利用反常积分计算，再确定 a值 因为*， 即*，则有 a=119.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln|x+1|-ln|x+2|+C）解析：解析 本题考查的知识点是有理分式的积分法 简单有理函数的积分，经常将其写成一个整式与一个分式之和，或写成两个分式之和(如本题)，再进行积分 *20.设 z=ln(xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 用对数函数的性质化简得 z=lnx+lny，再求偏导得 *三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点是“-”型不定式极限的
12、计算22.设 y=lncos(2x+1)，求 dy（分数：8.00）_正确答案：(*，所以 dy=-2tan(2x+1)dx)解析：解析 用复合函数求导公式求出 y，再写出 dy23.设函数 f(x)=x-lnx，求 f(x)的单调区间和极值（分数：8.00）_正确答案：(函数的定义域为x|x0 因为 f(x)=*，令 f(x)=0，得 x=1又 *，所以当 x1 时f(x)0，函数 f(x)的单调增加区间为(1，+)；当 0x1 时 f(x)0，函数 f(x)的单调减少区间为(0，1)f(1)=1 为其极小值)解析：解析 本题考查的知识点是利用导数判定函数的单调性并求其极值24.设 f(x)
13、的一个原函数是 e-x，求xf(x)dx（分数：8.00）_正确答案：(由已知条件可知 f(x)=(e-x)=-e-x，f(x)dx=e -x-C，xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx所以xf(x)dx=-xe -x-e-x+C)解析：解析 本题考查的知识点是分部积分法和原函数的概念25.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：8.00）_正确答案：(证 令 a+b-x=t，则 dx=-dtx=a 时，t=b；x=b 时，t=a所以 *=左边 请考生注意：如果取 a和 b为某一定值，本题可以衍生出很多证明题： (1)取 a=1，b=2，则有：证明* (2)取a=0，b=1
14、，则有： ()若 f(x)为(-，+)内连续的偶函数，证明* ()若 f(x)为(-，+)内连续的奇函数，证明* (3)类似的证明题如：f(x)在0，1上连续，证明* 这种举一反三的学习方法不仅能开拓考生的思路，而且能极大地提高考生的解题能力)解析：解析 本题考查的知识点有定积分的变量代换和常见的证明方法 注意到等式两边的积分限一样，只是被积函数的变量不一样，所以对等式右端考虑用变量代换 t=a+b-x即可得到证明这里一定要注意积分的上、下限应跟着一起换，而且定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即 *26.已知函数 z=z(x，y)由方程 ez=xy2+sin(zy)确定，试求 dz（分数
15、：10.00）_正确答案：(求隐函数偏导数的方法有以下三种解法 1 公式法设 F(x，y，z)=e z-xy2-sin(zy)，则*，代入公式得*，所以*解法 2 直接求微分法将等式两边求微分得d(ez)=d(xy2)+dsin(zy)，e zdz=y2dx+2xydy+cos(zy)(ydz+zdy)，所以*解法 2 显然比解法 1简捷，但要求考生对微分运算很熟练解法 3 隐函数求导法将等式两边对 x求导，此时的 z=z(x，y)，则有*同理，有*分别解出*与*，代入*可得结果)解析：解析 本题主要考查对隐函数偏导数的求解方法和对全微分概念的理解27.在第一象限内的曲线 （分数：10.00）
16、_正确答案：(如下图所示，因为*，所以切线方程为*，设切线与两坐标轴的交点分别为(a，0)(0，b)，由切线方程可得*，*所截线段长度的平方为*，上式两边对 x0求导得*令 L=0，得*(x 0=*舍去)由于只有唯一的驻点，所以*必为所求，所以点 M0的坐标为*)解析：解析 本题的关键是求出切线与坐标轴的交点28.一个袋子中有编号为 1，2，3，4，5 的 5个球，从中任取 3个球，以 X表示取出的 3个球中的最大号码，求随机变量 X的分布列，并求 E(X)（分数：10.00）_正确答案：(一次取 3个球的最大号码只能是 3，4，5当 X取 3时其样本点数为 1(只能是 1，2，3 一种)，而 X取 4和 5时，其样本点数分别为*与*，而样本空间中的样本点数为*，所以 P(X=3)=*，*的分布列为*则*请考生注意：检查随机变量分布列正确与否的一个重要方法是：查看所求得的分布列是否满足规范性：P1+P2+P3+P4+P5+是否等于 1，如果不等于 1，此题肯定计算错误)解析：解析 本题考查的知识点是随机变量 X的分布列的概念及数学期望的计算
