1、专升本高等数学(二)-84 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 ，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 y=f(u)，u=(x)，且 f 与 均可导，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=2f(x)，则 f“(x)等于_ A.2f(x) B.4f(x) C.8f(x) D.12f(x)（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 f(x)=arctanx2，则 f(1)等
2、于_ A.-1 B.0 C.1 D.2（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图像如下图所示，则下列结论肯定正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列定积分的值等于 0 的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 f(x)= ，则f(x)dx 等于_A-e -2x+arctanx+C B +arctanx+CC D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 f(x)在-1，1上连续，则 等于_ A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 z=f(u，v)，其中 u=xy，v=y 2，且 都存在，则 等
3、于_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)= ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=arccosx，则 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_15.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_16.若 f(x)=sinx+x+1，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_17.已知 f(sinx)=cos2x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_18.设函数 f(x)在区间0，4上连续，而且 （分数：
4、4.00）填空项 1:_19.二元函数 f(x，y)=x 2+y2+xy+x+y 的驻点是_（分数：4.00）填空项 1:_20.五人排成一行，甲、乙二人必须排在一起的概率 P= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.设函数 （分数：8.00）_22.设 y=y(x)由方程 x3+y3=exy确定，求 （分数：8.00）_23.计算ln(1+x 2)dx（分数：8.00）_24.计算 ，其中 （分数：8.00）_25.袋中有 6 个球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6从中一次任取两个球，试求：取出的两个球上的数字之和大于 8 的概率（分数：
5、8.00）_26.某旅游车的乘车人数限定为 100 人，票价 p(单位：元)与乘车人数 x 满足 p= （分数：10.00）_27.求曲线 y2=x 及直线 x=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：10.00）_28.设 ，其中 f(u)是二阶可微的，证明： （分数：10.00）_专升本高等数学(二)-84 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 ，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点是抽象函数“*”型极限存
6、在的概念及意义 注意到*，则有*，所以选 A2.设 则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点是分段函数的极限计算 分段函数求极限一定要注意不同区间的函数表达式 注意到*，所以选 B3.设函数 y=f(u)，u=(x)，且 f 与 均可导，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是复合函数的求导公式 根据复合函数求导公式，可知 D 正确 需要注意的是：选项 A 错误的原因是 f 是 x 的复合函数，所以必须通过对中间变量求导后才能对 x 求导4.设 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=2f(x)，则 f“(x)等于
7、_ A.2f(x) B.4f(x) C.8f(x) D.12f(x)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题是由 f(x)求函数的三阶导数 f“(x)，其关键是利用已知条件化简 因为*， 所以f“(x)=4f(x)=8f(x)选 C5.已知 f(x)=arctanx2，则 f(1)等于_ A.-1 B.0 C.1 D.2（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先求出 f(x)，再将 x=1 代入 因为*，则 f(1)=1选 C6.设函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图像如下图所示，则下列结论肯定正确的是_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查极
8、值的充分条件及驻点的概念由 f(x)的图像可知，在 x=-1 时，f(-1)=0，所以 x=-1 为驻点，排除 B而当 x-1 时，f(x)0；x-1 时，f(x)0根据导数符号由负变正，可知 x=-1 为函数的极小值点，所以选 C 本题也可以由 y(x)的图像而得 y=x+1，则原函数为*，从而很容易得知选项 C 是正确的 对于这种由函数导数的图像来分析和研究函数特性的方法，建议考生多做练习，熟练掌握如果本题换一种提法则可以得到另外两个选择题 (1)设函数 y=f(x)的导函数y=f(x)的图像如题图所示，则函数 y=f(x)的单调递增区间为 A(-，1) B(-，+) C(-1，+) D(
9、0，+) (C) (2)设函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图像如题图所示，则下列结论肯定正确的是 A在(-，-1)内，曲线 y=f(x)是凸的 B在(-，+)内，曲线 Y=f(x)是凹的 C在(-，+)内，曲线 y=f(x)是凸的 D在(-，+)内，曲线 y=f(x)是直线 (B) 由于 y=x+1，则有 y“=10，从而可以判定曲线 y=f(x)在(-，+)内是凹的，所以选 B7.下列定积分的值等于 0 的是_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点是奇函数在对称区间上的定积分等于零8.已知 f(x)= ，则f(x)dx 等于_A-e -2
10、x+arctanx+C B +arctanx+CC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是不定积分的凑微分计算法 因为*， 所以*， 所以选 D9.设 f(x)在-1，1上连续，则 等于_ A0 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点是定积分的换元积分法 * 如果审题不认真，很容易选 A 或 B由于函数 f(x)的奇偶性不知道，所以选 A 或 B 都是错误的10.设 z=f(u，v)，其中 u=xy，v=y 2，且 都存在，则 等于_A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点是二元复合函数
11、的偏导数的计算二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：解析 本题考查的知识点是“*”型不定式极限的求法 “*”型不定式极限的首选解法是等价无穷小量代换，然后再用洛必达法则或其他方法(如重要极限等)求解本题若直接因式分解约去零因子更为简捷 *12.设 f(x)= ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是导数的概念、复合函数导数的求法及函数在某点导数值的求法本题的关键之处是函数在某点的导数定义，由于导数的定义是高等数学中最基本、最重要的概念之一，所以也是历年试题中的重点之一
12、，正确掌握导数定义的结构式是非常必要的函数 y=f(x)在点 x0处导数定义的结构式为*，式中的“”可以是 x(或 h)，也可以是 x(或 h)的函数式，只要当 x0(或 h0)时，0，上式恒为 f(x0)例如：*，所以只要结构式类似于导数在某点的定义，一定优先考虑化成导数的结构式，再进行求解本题即为*，再计算 f(x)=*，所以*如果直接将 2-h 代入 f(x)得 f(2-h)=*，代入极限式，再用洛必达法则求其极限，也可得到同样的结果这里最容易犯的错误是将*写成 f(2)，错误的原因是对导数定义的结构式理解错误13.设 y=arccosx，则 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （
13、正确答案：*）解析：解析 用求导公式计算即可得答案14.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2，1)）解析：解析 本题考查的知识点是拐点的定义及求法 因为*，得 x=2当 x=2 时，y=1 当 x2 时，y“0；当 x2 时，y“0所以点(2，1)是曲线*的拐点15.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 本题考查的知识点是函数在一点间断的概念 因为*，所以 x=0 为无穷间断点16.若 f(x)=sinx+x+1，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是不定积分公式 *17.已知 f(s
14、inx)=cos2x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是导数的概念及积分变量的概念求解本题的关键是正确理解 f(sinx)的概念*，因此*，则 df(sinx)=cos2xd(sinx)=(1-sin2x)d(sinx)等式两边积分得*，换元后则有*如果直接将 f(sinx)中的变量 sinx 换成 u，则有f(u)=1-u2，即 f(x)=1-x2，再积分，其结果也一样，但前面的解法可以加深对积分变量的理解18.设函数 f(x)在区间0，4上连续，而且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 本题考查的知识点
15、是变上限定积分的求导 首先应用变上限的导数求出 f(x)，然后求出f(2)的值 对 x 求导得 f(x)=2x，即 f(2)=419.二元函数 f(x，y)=x 2+y2+xy+x+y 的驻点是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是多元函数驻点的概念和求法 因为*，两式相减得 x-y=0，从而可得*20.五人排成一行，甲、乙二人必须排在一起的概率 P= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题的关键是将甲、乙二人看成一个整体与其他三人一起排列为*，注意甲、乙二人的排列为*，所以*三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.0
16、0)21.设函数 （分数：8.00）_正确答案：(因为*，所以 a=b=4)解析：解析 本题考查的知识点是函数在点 x0处连续的充要条件 f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0)22.设 y=y(x)由方程 x3+y3=exy确定，求 （分数：8.00）_正确答案：(隐函数求导的常用方法是直接求导法和公式法，建议考生能熟练掌握对于微分运算比较熟悉的考生来说，微分法也是一种十分简捷而有效的办法解法 1 等式两边对 x 求导，得3x2+3y2y=exy(y+xy)，所以*解法 2 等式两边对 x 求微分：d(x3+y3)=d(exy)，3x 2dx+3y2dy=exy(ydx+xdy)，所以*解
17、法 3 用隐函数求偏导的公式设 F(x，y)=x 3+y3-exy，则*，所以*)解析：解析 本题考查的知识点是隐函数的求导23.计算ln(1+x 2)dx（分数：8.00）_正确答案：(*=xln(1+x2)-2x+2arctanx+C)解析：解析 本题考查的知识点是分部积分法24.计算 ，其中 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点是分段函数的定积分计算方法及用换元法去根号计算定积分分段函数在不同区间内的函数表达式是不同的，应按不同区间内的表达式计算25.袋中有 6 个球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6从中一次任取两个球，试求：取出的两个球上的数字之和大于
18、8 的概率（分数：8.00）_正确答案：(设 A=两个球上的数字之和大于 8 基本事件总数为：6 个球中一次取两个的不同取法为*；有利于 A 的基本事件数为： (3，6)，(4，6)，(5，6)，(4，5)， 共 4 种，所以 *)解析：解析 本题考查的知识点是古典概型的概率计算 古典概型的概率计算，其关键是计算：基本事件总数及有利于所求事件的基本事件数26.某旅游车的乘车人数限定为 100 人，票价 p(单位：元)与乘车人数 x 满足 p= （分数：10.00）_正确答案：(设收入的票款为 y，则有*(0x100)，*令 y=0，得 x1=80，x 2=240(舍去)当 0x80 时，y0；
19、当 80x100 时，y0由于只有唯一驻点，所以当乘车人数 x=80 时，票款的收入 y(80)为最多，此时的票价为*)解析：解析 本题考查的知识点是利用导数求解实际问题的最值 这类题目的关键是根据题意列出函数关系式并正确求出 y和 y“(如果需要求 y“时)如果 y与 y“算错，则所有结果无一正确27.求曲线 y2=x 及直线 x=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：10.00）_正确答案：(画出平面区域如下图阴影区域所示则 *， * *)解析：解析 本题考查的知识点是利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积 旋转体的体积应为*，而不是*28.设 ，其中 f(u)是二阶可微的，证明： （分数：10.00）_正确答案：(证明 分别将 z 对 x 和 y 求偏导得 * 则* * 所以*)解析：解析 本题考查的知识点是偏导数的计算及复合函数的求导 需要注意的是：*对 x 或 y 求导时，应看成 f(u)且*时的复合函数，否则容易漏项由于*是 f(u)，u=*的复合函数，其导数是f(u)而不是*
