1、专升本高等数学(二)-83 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x)=x3+3x- （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 a 为常数，f(x)=2 a，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 y=2x+x2+e2，则 y等于_ A.x2+2x+e2 B.2xlnx+2x+2e C.2xln2+2x D.x2x-1+2x（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 f(x)=x+ex，g(x)=lnx，则 fg(x)等于_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 ，则 等于_ A B C
2、 D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)的一个原函数为 xln(x+1)，则下列等式成立的是_ A.f(x)dx=xln(x+1)+C B.f(x)dx=xln(x+1)+C C.xln(x+1)dx=f(x)+C D.xln(x+1)dx=f(x)+C（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)为连续函数，则 等于_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.反常积分 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 z=exy，则 （分数：4.00）A.B.C.D.10.若事件 A 与 B 为互斥事件，且 P(A)=0.3，P(A+B)=0.8
3、，则 P(B)等于_ A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.=_ （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=ln(a2+x2)，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_14.函数 y=x-ln(1+x)的驻点为 x=_（分数：4.00）填空项 1:_15.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_16.xd(cosx)=_（分数：4.00）填空项 1:_17.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_18.若 （分数：4.00）填空项
4、1:_19.已知 z=xy，则 （分数：4.00）填空项 1:_20.已知 z=f(xy，x 2)，且 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_22.设函数 （分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为 0.6 和 0.8，求此密码被破译的概率（分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.设函数 y=ax3+bx+c 在点 x=1 处取得极小值-1，且点(0，1)为该函数曲线的拐点，试求常数a，b，c（分数：10.00）_27.设函数 y=y(x)是由方程 co
5、s(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：10.00）_28.求函数 z= （分数：10.00）_专升本高等数学(二)-83 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 f(x)=x3+3x- （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点是函数极限存在的概念函数在某一点的极限存在，其极限值必为常数本题的关键是设*，继而求出 A 值即可设*，则 f(x)=x3+3x-A对等式两边取极限：*，即 A=A-A，得 A=2，所以 f(x)=x3+3x-2，选 C如果注
6、意到 f(x)是基本初等函数，在定义区间内是连续的，则*，因此 f(x)=x3+3x-f(1)，只需将 x=1代入式中即可得 f(1)=1+3f(1)，所以 f(1)=2，可知选项 C 是正确的2.已知 a 为常数，f(x)=2 a，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用函数在一点可导的定义的结构式可知*注意到本题中 f(x)=2a是常数函数，所以 f(x)=0，所以选 D3.已知 y=2x+x2+e2，则 y等于_ A.x2+2x+e2 B.2xlnx+2x+2e C.2xln2+2x D.x2x-1+2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 用基本初等函数的导数
7、公式4.已知 f(x)=x+ex，g(x)=lnx，则 fg(x)等于_A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点是复合函数的概念及其求导计算本题的关键是正确写出复合函数 fg(x)的表达式根据函数概念可知：fg(x)=g(x)+eg(x)，因为*，所以*，故选 B5.已知 ，则 等于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先用复合函数求导公式计算出 f(x)，再将*代入 因为*，所以*选 A6.设 f(x)的一个原函数为 xln(x+1)，则下列等式成立的是_ A.f(x)dx=xln(x+1)+C B.f(x)dx=xln(
8、x+1)+C C.xln(x+1)dx=f(x)+C D.xln(x+1)dx=f(x)+C（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点是原函数的概念 由 f(x)的一个原函数为 xln(x+1)，可得f(x)dx=xln(x+1)+C，所以选 A7.设 f(x)为连续函数，则 等于_ A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查考生对微分、积分的基础知识和换元积分法的掌握情况 本题的关键之处是对*的正确理解，函数 f(x)对 x 求导时为 f(x)，而当函数为 fu(x)的形式时，f(u)表示对 u 的导数而不是对 x 的导数，而根据微分式 df(
9、x)=f(x)dx 以及微分形式的不变性：df(u)=f(u)du，其中 u 可以是自变量 x，也可以是 x 的函数 u(x)，所以*，将*写成*是最常见的错误根据前面的分析，有*=*，原式即为*，所以选 B 如果用换元法，令*，则*，注意到积分的上、下限应跟着一起换，则有 *，所以选 B 请考生注意：由于这种题考查的都是基本概念和基本方法，所以是历年“专升本”考试中常见的典型试题，熟练地掌握这类题的解法是十分重要的8.反常积分 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点是反常积分的求解 *，选 B9.设 z=exy，则 （分数：4.00）A. B
10、.C.D.解析：解析 先求*，再求* 因为*，*，所以选 A10.若事件 A 与 B 为互斥事件，且 P(A)=0.3，P(A+B)=0.8，则 P(B)等于_ A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点是互斥事件的概念和加法公式 事件 A 与 B 互斥，则 AB=*，因此P(AB)=0 由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，即 0.8=0.3+P(B)，得 P(B)=0.5故选 C二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 利用重要
11、极限的结构式： * 由已知*，可得 2k=-4,所以 k=-212.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 本题考查的知识点是极限的计算由于分子是“-”，应首先有理化，再约去“”因子本题若直接用洛必达法则求解反而比较麻烦 * 本题也可以直接消去“”因子： *13.设 y=ln(a2+x2)，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 先求复合函数的导数，再求 dy 因为*，所以*14.函数 y=x-ln(1+x)的驻点为 x=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 本题考查的知识点是驻点的概念及求法 根据定义，使
12、 f(x)=0 的 x 称为函数 f(x)的驻点，因此有 y=*=0，得 x=015.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 本题考查的知识点是二阶导数值的计算因为*，则*，从而 f“(x)|x=1=2，故填 216.xd(cosx)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xcosx-sinx+C）解析：解析 用分部积分法积分 xd(cosx)xcosx-cosxdx=xcosx-sinx+C17.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是求变上限积分的导数值其关键是先求 f(x)，再将 x=
13、1 代入 f(x) 因为*，所以*18.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 被积函数的前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，因此有 *，解得 a=119.已知 z=xy，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 本题的关键是对 y 求偏导时应用指数函数求导公式，即*，所以*=020.已知 z=f(xy，x 2)，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是复合函数求偏导和全微分的计算公式 因为*， 所以*三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*请考生
14、注意：由于分子是两个无穷小量之差，所以不要用等价无穷小量代换：ln(1+x)x，否则会出现错误建议考生遇到含有对数函数的“*”型时，尽量用洛必达法则计算)解析：解析 本题考查的知识点是“*”型不定式极限的求法 “*”型不定式极限应优先考虑用等价无穷小量代换，然后再用洛必达法则或其他方法计算22.设函数 （分数：8.00）_正确答案：(先求 y，再求 dy 因为*， 所以*)解析：解析 本题主要考查商的导数计算23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点是不定积分的积分公式及凑微分(即第一换元积分法)的积分方法 当被积函数的分母为一项而分子为两项或两项以上的和时，
15、通常分为几个不定积分之和分别计算 如果被积函数的分子中有 sinx 或 cosx 的奇次方项时，常用凑微分法将 sinxdx 写成-d(cosx)，而 cosxdx=d(sinx)，换成对 cosx 或 sinx 的积分24.甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为 0.6 和 0.8，求此密码被破译的概率（分数：8.00）_正确答案：(设 A=“甲破译密码”，B=“乙破译密码”，C=“密码被破译”，则 C=A+B，所以 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6+0.8-0.60.8=0.92 考生需要注意的是：如果题目改为求甲破译密码
16、而乙未破译密码的概率，应为*因为 A 与*也是相互独立的，则 P(*)=P(A)P(*)=0.6(1-0.8)=0.12)解析：解析 本题考查的知识点是事件相互独立的概念和概率的加法公式 本题的关键是密码被破译这一事件是指密码被甲破译或被乙破译，如果理解成甲破译密码且乙破译密码就错了!另外要注意：甲、乙二人破译密码是相互独立的25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(将被积函数分成两项，分别用公式法和分部积分法计算 *)解析：解析 本题考查的知识点是定积分的分部积分法26.设函数 y=ax3+bx+c 在点 x=1 处取得极小值-1，且点(0，1)为该函数曲线的拐点，试求常数a，b，c（分数
17、：10.00）_正确答案：(由 y(1)=-1 得 a+b+c=-1 由拐点 y(0)=1 得 c=1 函数在点 x=1 处取得极值必有：y| x=1=3a+b=0 联立，可解得 a=1，b=-3，c=1)解析：解析 本题考查的知识点是可导函数在某一点取得极小值的必要条件以及拐点的概念27.设函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：10.00）_正确答案：(本题的关键是由已知方程求出 y，此时的 y中通常含有 x 和 y，因此需由原方程求出当 x=0时的 y 值，继而得到 y的值，再写出过点(0，1)的切线方程
18、 计算由方程所确定的隐函数 y(x)的导数，通常有三种方法：直接求导法(此时方程中的 y 是 x 的函数)、公式法(隐函数的求导公式)和微分法(等式两边求微分) 解法 1 直接求导法等式两边对 x 求导，得 -sin(xy)(y+xy)=1+y， 解得* 解法 2 公式法设 F(x，y)=cos(xy)-x-y， *， 所以* 解法 3 微分法等式两边求微分，得 dcos(xy)=d(x+y)，-sin(xy)(ydx+xdy)=dx+dy， -1+xsin(xy)dy=1+ysin(xy)dx， 所以* 当x=0 时，由方程得 y=1，则*=-1，所以过点(0，1)的切线方程为 y-1=-(
19、x-0)，即 x+y-1=0)解析：解析 本题是一道典型的综合题，考查的知识点是隐函数的求导计算和切线方程的求法28.求函数 z= （分数：10.00）_正确答案：(设 F(x，y，)=*，则令 * 由与消去 得 x=2y，代入得 4y+y-5=0，解得 y=1，则 x=2，所以 z(2，1)=*为极值 注意：不能用二元函数无条件极值的充分条件来判定*是极大值还是极小值但是根据极值是局部性质且只有一个驻点，因此可在约束条件 2x+y=5 中任取另一点，如取点(1，3)，则得 z(1，3)=*，从而可以判定*是极小值(此方法知道即可)解析：解析 本题考查的知识点是条件极值的计算 计算条件极值的关键是构造拉格朗日函数在求驻点的过程中通常都将参数 A 消去
