1、专升本高等数学(二)-82 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x2 时，下列函数中不是无穷小量的是_ A.x3-8 B.sin(x2-4) C.ex-2 D.ln(3-x)（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)=x3+e3+3x，则 f(x)等于_A3x 2+3xln3 B3x 2+3e2+x3x-1C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在(-，+)内可导，且 f(x)=e-2x+3 ，则 f(x)等于_A-2e -2x+3 B
2、 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)=x3，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线斜率为 ，则过点(1，0)的切线方程为_ Ay=x+1 By=x-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.=_ A0 Be-1 C2(e-1) D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 z=sin(xy2)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件的不可能事件是_
3、 A.“5 件都是正品” B.“5 件都是次品” C.“至少有 1 件是次品” D.“至少有 1 件是正品”（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.= 1 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=1+cos2x，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 y=e-2x，则 y“|x=0=_（分数：4.00）填空项 1:_15.若 x=0 是函数 y=sinx-ax 的一个极值点，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_16.(2x+1) 3dx=_（分数：4.00）填空项 1:_17.设
4、 ，若用 （分数：4.00）填空项 1:_18.若 f(x)=e-x，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.设 z=tan(xy-x2)，则 （分数：4.00）填空项 1:_20.已知 f(x，y)=x 2-y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：2，分数：70.00)1. 计算* “*”型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法则求解解法 1 约去“”因子*解法 2 洛必达法则*解析 本题考查的知识点是“*”型不定式极限的求法（分数：40.00）(1).计算 （分数：8.00）_(2).设 y=x2ex，求 y（分数：8.00）_(3
5、). （分数：8.00）_(4).计算 （分数：8.00）_(5).设事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.6，P(B)=0.7，求 P(A+B)（分数：8.00）_已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0处取得极大值 5，其导函数 y=f(x)的图像经过点(1，0)和(2，0)(如下图所示)（分数：30.00）(1).求极值点 x0的值（分数：7.50）_(2).求 a，b，c 的值（分数：7.50）_(3).设 z=z(x，y)由方程 ez-xy2+sin(y+z)=0 确定，求 dz（分数：7.50）_(4).求由曲线 y=2-x2，y=2x-1 及 x0 围成的平面
6、图形的面积 S 以及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：7.50）_专升本高等数学(二)-82 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x2 时，下列函数中不是无穷小量的是_ A.x3-8 B.sin(x2-4) C.ex-2 D.ln(3-x)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 根据无穷小量的定义：若*，则当 xx 0时，f(x)为无穷小量因此可根据定义计算其极限值，知选 C2.设函数 则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算分段点
7、处的极限一定要分别计算其左、右极限后，再进行判定 因为*， *， 由于 f(1-0)f(1+0)，所以*不存在故选 D3.设函数 f(x)=x3+e3+3x，则 f(x)等于_A3x 2+3xln3 B3x 2+3e2+x3x-1C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式只需注意 e3是常数即可4.设函数 f(x)在(-，+)内可导，且 f(x)=e-2x+3 ，则 f(x)等于_A-2e -2x+3 B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是：*是定值，其导数应为零5.设函数 f(x)=x3，则 （分数：4.0
8、0）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点是函数在任意一点 x 的导数定义注意导数定义的结构式为 *， 则* 所以选 C6.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)等于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点是原函数的概念，因此有 *， 所以选 A7.设函数 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线斜率为 ，则过点(1，0)的切线方程为_ Ay=x+1 By=x-1 C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点是：函数 y=f(x)在点(x，f(x)处导数的几何意义是表示该函数对应曲线过点(x，f(x)的切线
9、的斜率由 *，得 y(1)=1 可知，切线过点(1，0)，则切线方程为 y=x-1，所以选 B8.=_ A0 Be-1 C2(e-1) D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查的知识点是奇、偶函数在对称区间上的定积分计算 注意到被积函数是偶函数的特性，可知 *，所以选 C9.设函数 z=sin(xy2)，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 z 对 x 求偏导时应将 y 视为常数，则有 *，所以选 D10.设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件的不可能事件是_ A.“5 件都是正品” B.“5 件都是次品” C.“至少有 1 件是次品” D.“至
10、少有 1 件是正品”（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点是不可能事件的概念不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件由于只有 4 件次品，一次取出 5 件都是次品是根本不可能的，所以选 B二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11.= 1 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 计算极限时一定要注意极限的不同类型，当 x0 时，本题不是“*”型，所以直接利用极限的四则运算法则计算即可但当 x1 时，本题是“*”型，可用因式分解约去零因式等方法求解12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 求函数的微分常用
11、的方法有两种：一种是先求出 y，再写出 dy=ydx；另一种方法就是对等式两边直接求微分读者应选择自己熟悉的方法解题请注意：若填*不给分!13.设 y=1+cos2x，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2sin2x）解析：解析 用复合函数求导公式计算即可 y=-sin2x(2x)=-2sin2x14.设 y=e-2x，则 y“|x=0=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 先求 y，再求 y“，然后将 x=0 代入 y“即可因为 y=-2e-2x，y“=4e -2x，所以 y“|x=0=415.若 x=0 是函数 y=sinx-ax 的一个极值
12、点，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题考查的知识点是极值的必要条件：若 x0是 f(x)的极值点，且 f(x)在 x0处可导，则必有 f(x0)=0因此有 y|x=0=(cosx-a)|x=0=0，得 a=116.(2x+1) 3dx=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 凑微分后用积分公式 *17.设 ，若用 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2ln2）解析：解析 本题考查的知识点是定积分的换元积分法换元时，积分的上、下限一定要一起换令*=t，则 x=t2，dx=2tdt当 x=1 时，t=1；x=9 时，t=3
13、所以*18.若 f(x)=e-x，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题考查的知识点是积分变量的概念、定积分的性质及定积分的计算因为 f(x)dx=df(x)，则有 f(2x)d(2x)=df(2x)，所以*注意：若将*换成新的变量 u=2x，则积分的上、下限也要一起换成新变量 u 的上、下限，即*本题也可求出 f(x)=-e-x，则 f(2x)=-e-2x，再代入所求式子中，有*19.设 z=tan(xy-x2)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 z 对 x 求偏导时应视 y 为常数，并用一元函数求导公式计算，即 *20.已知
14、f(x，y)=x 2-y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 本题考查的知识点是二元函数的二阶混合偏导数的求法 *三、B解答题/B(总题数：2，分数：70.00)1. 计算* “*”型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法则求解解法 1 约去“”因子*解法 2 洛必达法则*解析 本题考查的知识点是“*”型不定式极限的求法（分数：40.00）(1).计算 （分数：8.00）_正确答案：(“*”型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法则求解 解法 1 约去“”因子 * 解法 2 洛必达法则 *)解析：解析 本题
15、考查的知识点是“*”型不定式极限的求法(2).设 y=x2ex，求 y（分数：8.00）_正确答案：(y=2xe x+x2ex)解析：解析 本题考查的知识点是函数乘积的导数计算(3). （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解析 本题考查的知识点是凑微分积分法(4).计算 （分数：8.00）_正确答案：(本题的关键是用凑微分法将 f(x)dx 写成 udv 的形式，然后再分部积分 *)解析：解析 本题考查的知识点是定积分的凑微分法和分部积分法(5).设事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.6，P(B)=0.7，求 P(A+B)（分数：8.00）_正确答案：(若事件 A 与 B 相互
16、独立，则 P(AB)=P(A)P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6+0.7-0.60.7=0.88)解析：解析 本题考查事件相互独立的概念及加法公式已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0处取得极大值 5，其导函数 y=f(x)的图像经过点(1，0)和(2，0)(如下图所示)（分数：30.00）(1).求极值点 x0的值（分数：7.50）_正确答案：(在 x=1 处 f(1)=0，且 x1 时，f(x)0；1x2 时，f(x)0，可知 x=1 是极大值点，即 x0=1)解析：(2).求 a，b，c 的值（分数：7.5
17、0）_正确答案：(因为 f(1)=3a+2b+c=0， f(2)=12a+4b+c=0(x=2 时 f(2)=0), f(1)=a+b+c=5，由上面三式解得 a=2，b=-9，c=12)解析：解析 本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函数的单调区间和极值点，并以此确定函数的表达式编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力(3).设 z=z(x，y)由方程 ez-xy2+sin(y+z)=0 确定，求 dz（分数：7.50）_正确答案：(求二元隐函数全微分的关键是先求出偏导数*与*，然后代入公式*+*而求*与*的方法主要有：直接求导法和公式法在用直接求导法时考生一定要注意：等式 ez-xy2
18、+sin(y+z)=0 中的 z 是 x，y 的函数，对 x(或 y)求导时，式子 z=z(z，y)中 y(或 x)应视为常数，最后解出*利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=e z-xy2+sin(y+z)，然后将等式两边分别对 x(或 y 或 z)求导读者一定要注意：对 x 求导时，y，z 均视为常数，而对 y 或 z 求导时，另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量在用公式法时最容易犯的错误是设 F(x，y，z)=e z-xy2+sin(y+z)=0如果写成 F(x，y，z)=0，则必有*这显然是错误的，其错误原因是写成
19、F(x，y，z)=0 的形式时，此时的 z 不是自变量而是z=z(x，y)根据辅助函数 F(x，y，z)，用复合函数求偏导而得到公式*，公式中的*是将 x，y 视为常数时F(x，y，z)对 z 的偏导数求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分，最后解出 dz，这种方法也十分简捷有效，建议考生能熟练掌握解法 1 等式两边对 x 求导得*，所以*等式两边对 y 求导得*，所以*，则有*解法 2 设 F(x，y，z)=e z-xy2+sin(y+z)，则*，所以*，则有*解法 3 对等式 ez-xy2+sin(y+z)=0 求微分得d(ez)-d(xy2)+dsin(y+z)=0，ezdz-y2d
20、x-2xydy+cos(y+z)(dy+dz)=0，ez+cos(y+z)dz=y2dx+2xy-cos(y+z)dy，所以*)解析：解析 本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法(4).求由曲线 y=2-x2，y=2x-1 及 x0 围成的平面图形的面积 S 以及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：7.50）_正确答案：(本题的难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积 S求面积的关键是确定对 x 积分还是对 y 积分 确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的 确定对 x 积分还是对
21、 y 积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示本题如改为对 y 积分，则有 *，计算量显然比对 x积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键 在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是 x 轴还是 y 轴 由于本题在 x 轴下面的图形绕 x 轴旋转成的体积与 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转的旋转体体积即可如果将旋转体的体积写成 *，则有*，两者之差为*，恰为 x 轴下面的三角形图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积* 上面的这种错误是考生比较容易出现的，所以审题时一定要注意 由已知曲线画出平面图形为如下图所示的阴影区域 * 由*得交点坐标为(1，1)，则 *， *)解析：解析 本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算
