1、专升本高等数学(二)-74 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:40.00)1. (分数:4.00)A.B.C.D.2.当 x0 时,ln(1+ax)是 2x 的等价无穷小量,则 a=( )A-1 B0 C1 D2(分数:4.00)A.B.C.D.3.已知 f(x+1)=xex+1,则 f(x)=( )Axe x B(x-1)e x C(x+1)e xD(x+1)ex x+1(分数:4.00)A.B.C.D.4.已知 (分数:4.00)A.B.C.D.5.曲线 (分数:4.00)A.B.C.D.6.已知 f(x)的一个原函数 x2ex,则f(2
2、x)dx=( )A4x 2e2x+C B2x 2e2x+C Cx 2e2x+C D (分数:4.00)A.B.C.D.7.下列广义积分收敛的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.8.函数 f(x)在a,b连续是 f(x)在该区间上可积的( )A必要条件,但非充分条件 B充分条件,但非必要条件C充分必要条件 D非充分条件,亦非必要条件(分数:4.00)A.B.C.D.9.设 (分数:4.00)A.B.C.D.10.对函数 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:10,分数:40.00)11.当 x0 时,若 sin3xx a, 则 a=_(分数:4.00)填空项 1:_12.设
3、 f(x)是可导的偶函数,且 f(-x0)=k0,则 f(x0)=_(分数:4.00)填空项 1:_13. (分数:4.00)填空项 1:_14.函数 (分数:4.00)填空项 1:_15. (分数:4.00)填空项 1:_16. (分数:4.00)填空项 1:_17.设 (分数:4.00)填空项 1:_18.设 (分数:4.00)填空项 1:_19.设 (分数:4.00)填空项 1:_20.设事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,则 P(B)=_.(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:70.00)21.计算 (分数:5.00)_22.
4、设 f(x)=xln2x,且 f(x0)=1,求 f(x0)(分数:5.00)_23.计算 (分数:10.00)_24.计算 (分数:10.00)_25.袋中有 10 个乒乓球。其中,6 个白球、4 个黄球,随机地抽取两次,每次取一个,不放回。设 A=第一次取到白球,B=第二次取到白球,求 P(B|A)(分数:10.00)_26.设 其中 f 为可微函数证明: (分数:10.00)_27.求曲线 y2=2x+1,y 2=-2x+1 所围成的区域的面积 A,及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积Vx(分数:10.00)_28.设函数 f(x)满足下列条件:(1)f(0)=2,f(-2)=
5、0(2)f(x)在 x=-1,x=5 处有极值(3)f(x)的导数是 x 的二次函数求 f(x)(分数:10.00)_专升本高等数学(二)-74 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:40.00)1. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 因为在 x=0 处 是连续的,所以2.当 x0 时,ln(1+ax)是 2x 的等价无穷小量,则 a=( )A-1 B0 C1 D2(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为3.已知 f(x+1)=xex+1,则 f(x)=( )Axe x B(x-1)e x C(x+1)e xD(x+1)e
6、x x+1(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 用换元法求出 f(x)后再求导用 x-1 换式中的 x 得 f(x)=(x-1)ex,所以 f(x)=ex+(x-1)ex=xex4.已知 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 因为所以5.曲线 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 函数的定义域为(-,+)当 x=b 时,y不存在因为函数 f(x)在 x=b 点处连续,且当 xb 时,y0,曲线 y 为凸;当 xb 时,y0,曲线 y 为凹所以 x=b 是曲线 Y 的拐点横坐标,y(6)=a故曲线的拐点为(b,a)6.已知 f(x)的一个原函数 x2ex,则f(2x
7、)dx=( )A4x 2e2x+C B2x 2e2x+C Cx 2e2x+C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 根据原函数的定义可得f(x)dx=x 2ex+C,所以7.下列广义积分收敛的是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 直接计算四个选项的广义积分,可知 D 正确8.函数 f(x)在a,b连续是 f(x)在该区间上可积的( )A必要条件,但非充分条件 B充分条件,但非必要条件C充分必要条件 D非充分条件,亦非必要条件(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 根据定积分的定义和性质,函数 f(x)在a,b上连续,则 f(x)在a,b上可积;反之,则不
8、一定成立9.设 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 因为所以10.对函数 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于显然, 均不存在在原点的某邻域内,当(x,y)(0,0)时,总有二、填空题(总题数:10,分数:40.00)11.当 x0 时,若 sin3xx a, 则 a=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:3)解析:解析 因为12.设 f(x)是可导的偶函数,且 f(-x0)=k0,则 f(x0)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-k)解析:解析 由 f(-x)=f(x),得f(-x)(-x)=f(x), 即-f(-x)=f(x),所以 f
9、(x0)=f(-x0)=-k13. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 14.函数 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:3)解析:解析 因为 所以 Y 单调减少 X-1,1,故函数的最大值应在左端点达到,即15. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 16. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 17.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:3-e -1)解析:解析 18.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:ln(x 2+1))解析:解析 f(x)=ln(x 2+1)19.设 (分数:4
10、.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 因为所以20.设事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,则 P(B)=_.(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0.5)解析:解析 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),即 0.7=0.4+P(B)-0.4P(B)得 P(B)=0.5三、解答题(总题数:8,分数:70.00)21.计算 (分数:5.00)_正确答案:( )解析:22.设 f(x)=xln2x,且 f(x0)=1,求 f(x0)(分数:5.00)_正确答案:(由得 于是 )解析:23.计算 (
11、分数:10.00)_正确答案:( )解析:24.计算 (分数:10.00)_正确答案:(设 则 x=t2-1,dx=2tdt当 x=0 时 t=1,x=3 时 t=-2,)解析:25.袋中有 10 个乒乓球。其中,6 个白球、4 个黄球,随机地抽取两次,每次取一个,不放回。设 A=第一次取到白球,B=第二次取到白球,求 P(B|A)(分数:10.00)_正确答案:(求条件概率的常用方法有两种:公式法和在缩小的样本空间中计算 P(B|A)解法 1:公式法分别计算 P(AB)和 P(A)代入公式因为样本空间的基本事件为 (个),而 AB 表示第一次取出白球且第二次也取出白球,因此事件 AB 中的基
12、本事件为 (个),所以而 所以解法 2:在缩小的样本空间中直接计算 P(B|A)由于第一次取出的白球不放回,故袋中只有 9 个球(样本空间的基本事件已由 10 缩小到 9),此时袋中的白球也由 6 个变为 5 个因此事件 B|A 的基本事件为 5 个,所以 )解析:26.设 其中 f 为可微函数证明: (分数:10.00)_正确答案:(证:因为所以 )解析:27.求曲线 y2=2x+1,y 2=-2x+1 所围成的区域的面积 A,及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积Vx(分数:10.00)_正确答案:(平面区域如右图中的阴影部分所示注意对称性,则有由于图形关于 x 轴和 y 轴对称,则有 x 轴上、下两图形旋转体的体积是重合的,所以 )解析:28.设函数 f(x)满足下列条件:(1)f(0)=2,f(-2)=0(2)f(x)在 x=-1,x=5 处有极值(3)f(x)的导数是 x 的二次函数求 f(x)(分数:10.00)_正确答案:(因为 x=-1,x=5 是 f(x)的极值点,设 f(x)=a(x+1)(x-5)=a(x2-4x-5),于是由 f(0)=2,得 C=2由 f(-2)=0,有 )解析: