1、专升本高等数学(二)-61 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.下列极限等于 1的是_（分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 y=|x|+1在 x=0处_A无定义 B不连续C连续但是不可导 D可导（分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 f(x)=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是_A(-，0) B(-2，2)C(0，+) D(-，+)（分数：4.00）A.B.C.D.5.若 （分数：4.00）A.B.C.D.6.积分 （分数：4.00）A.B.C.D.7.若 ，则 k等于
2、_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 _（分数：4.00）A.B.C.D.10.把两封信随机地投入标号为 1，2，3，4 的 4个邮筒中，则 1，2 号邮筒各有一封信的概率等于_（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12.y=arctanex，则 y|x=0=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)由 x2+2xy-y2=2x确定，且| x=2=0，则 y|x=2=_（分数：4.00）填空项 1:_14.曲线 x2+y2=2x在点(1，1)处的切线
3、方程为_（分数：4.00）填空项 1:_15.曲线 y=x3-3x2+2x+1的拐点是_（分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19. （分数：4.00）填空项 1:_20.若 z=ln(x+ey)，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_22. （分数：8.00）_23. （分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25.一个袋子中有 5个球，编号为 1，2，3，4，5，同时从中任取 3个，以 x表示取出的 3个
4、球中的最大号码，求随机变量 X的概率分布（分数：8.00）_26.求 y=f(x)=2x3-3x2-12x+14的极值点和极值，以及函数曲线的凸凹性区间和拐点（分数：10.00）_27.设 z=sin(xy2)+ex2y，求 dz（分数：10.00）_28.当 x0 时，证明：e x1+x（分数：10.00）_专升本高等数学(二)-61 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.下列极限等于 1的是_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查了极限的知识点(arctanx是有界函数)(用无穷小代换：arctanxx(x0)， (
5、x时 为无穷小量，而 sinx是有界函数，注意 )2.函数 y=|x|+1在 x=0处_A无定义 B不连续C连续但是不可导 D可导（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查了函数在一点可导、连续的性质的知识点从四个选项的内容来看，我们可以一步一步地处理，x=0 时，y=1， ，故 f(x)在 x=0处连续y在 x=0的可导性可从左右导数出发进行讨论3.函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查了函数的单调性的知识点因为 ，所以 y=4.函数 f(x)=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是_A(-，0) B(-2，2)C(0，+) D(-，+)（分数：4.00）A.B.
6、 C.D.解析：本题考查了函数的凸区间的知识点因为 f(x)=x4-24x2+6x，则 f(x)=4x3-48x+6，f“(x)=12x 2-48=12(x2-4)令 f“(x)0，有 x2-40，于是-2x2，即凸区间为(-2，2)5.若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查了定积分的换元积分法的知识点解法 1：解法 2：因 = ，于是 f(x)=2x3，从而6.积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查了定积分的知识点解法 1：因 f(x)= 为奇函数，故由积分性质知，解法 2：7.若 ，则 k等于_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查了无穷区间的
7、反常积分的知识点。因 =8.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查了二元函数的一阶偏导数的知识点因 z=xexy，所以9.设函数 _（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查了二元函数的一点处的一阶偏导数的知识点=注：也可先将 x=1代入，则 z|(1，y) =lny+ey，则10.把两封信随机地投入标号为 1，2，3，4 的 4个邮筒中，则 1，2 号邮筒各有一封信的概率等于_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查了古典概率的知识点因两封信投向四个邮筒共有的投法(可重复排列)为 n=42=16；满足 1，2 号邮筒各有一封信的投法为 ，故所求概率为二、填空
8、题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -6）解析：本题考查了 的应用的知识点12.y=arctanex，则 y|x=0=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：本题考查了一元函数在一点处的一阶导数的知识点由 ，则13.设 y=y(x)由 x2+2xy-y2=2x确定，且| x=2=0，则 y|x=2=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：本题考查了隐函数在一点处的一阶导数的知识点x2+2xy-y2=2x两边对 x求导(注意 y是 x的函数)，因 2x+2y+2xy-2yy=2，故令14.曲线 x2+y
9、2=2x在点(1，1)处的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=1）解析：本题考查了曲线上一点处的切线方程的知识点由 x2+y2=2x，两边对 x求导得 2x+2yy=2，取 x=1，y=1，则 y|x=1=0，所以切线方程为 y=1。15.曲线 y=x3-3x2+2x+1的拐点是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1，1)）解析：本题考查了曲线的拐点的知识点y=3x2-6x+2，y“=6x-6，令 y“=0，得 x=1则当 x1 时，y“0；当 x1 时，y“0又因 x=1时 y=1，故点(1，1)是拐点(因 y=x3-3x2+2x+1在(-，+)上处处
10、有二阶导数，故没有其他形式的拐点)16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：本题考查了不定积分的知识点17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：本题考查了不定积分的知识点sin2xcosxdx=2sinxcos 2xdx=-2cos 2xdcosx=18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：本题考查了定积分的知识点注：本题可另解如下：令 ，则 x=所以19. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：本题考查了定积分的分部积分法的知识点20.若 z=ln(x+ey)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
11、： ）解析：本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点因 z=ln(x+ey)，则 ，三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_正确答案：(注：本题也可用洛必达法则求解本题还可用变量代换求解如下：令 ，)解析：22. （分数：8.00）_正确答案：( )解析：23. （分数：8.00）_正确答案：( )解析：24. （分数：8.00）_正确答案：(由 ，则 )解析：25.一个袋子中有 5个球，编号为 1，2，3，4，5，同时从中任取 3个，以 x表示取出的 3个球中的最大号码，求随机变量 X的概率分布（分数：8.00）_正确答案：(依题意，随机变量 X只能取值 3，4，
12、5；日 PX=3= ；所以 X的概率分布为 )解析：26.求 y=f(x)=2x3-3x2-12x+14的极值点和极值，以及函数曲线的凸凹性区间和拐点（分数：10.00）_正确答案：(y=6x 2-6x-12，y“=12x-6，令 y=0得驻点 x1=-1，x 2=2，当 x2=2时，y“=180所以 f(x)在x=2处取极小值-6当 x1=-1时，y“0所以 f(x)在 x=-1处取极大值 21又令 y“=0，得 时，y“0，从而曲线为凸的，即函数曲线的凸区间为 时，y“0，从而曲线为凹的，即函数曲线的凹区间为 ；又因 ，故曲线的拐点为 )解析：27.设 z=sin(xy2)+ex2y，求 dz（分数：10.00）_正确答案：(由 =cos(xy2)y2+ex2y2xy， )解析：28.当 x0 时，证明：e x1+x（分数：10.00）_正确答案：(证法 1：在0，x上令 F(x)=ex，则使用拉格朗日定理得，F(x)-F(0)=F()(x-0)，(0，x)，即ex-1=e x，由于 e 1，所以 ex-1x，即 ex1+x证法 2：令 G(x)=ex-1-x，则 G(x)=ex-1，故在0，x内 G(x)0，所以在0，x上 G(x)单调递增，由 G(0)=0，得 x0 时，G(x)0，即 ex-1-x0，亦即 ex1+x)解析：
