1、专升本高等数学(二)-53 及答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.当 x2 时，下列函数中不是无穷小量的是( )；（分数：4.00）A.x3-8B.sin(x2-4)C.ex-2D.ln(3-2. （分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：4.00）A.y4cos(xy2)B.-y4cos(xy2)C.y4sin(xy2)D.-y4sin(xy2)5.设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件的不可能事件是( )（分数：4.00）A.“5 件都是正品”B.“5 件都是次
2、品”C.“至少有一件是次品”D.“至少有一件是正品”6. （分数：4.00）A.0B.2x3C.6x2D.3x27.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 （分数：4.00）A.-3B.-1C.0D.不存在10.设函数 f(x)=x3+e3+3x，则 f (x)等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=1+cos2x，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_
3、14. （分数：4.00）填空项 1:_15.若 x=0 是函数 y=sinx-ax 的一个极值点，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19. （分数：4.00）填空项 1:_20. （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：64.00)21. （分数：8.00）_22.设 y=x2ex，求 y（分数：8.00）_23. （分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25.设事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.6，P(B)=0.7，
4、求 P(A+B)（分数：8.00）_26.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0处取得极大值 5，其导函数 y=f(x)的图像经过点(1，0)和(2，0)(如图 1-1 所示)（分数：8.00）_27.设 z=z(x，y)由方程 ez-xy2+sin(y+z)=0 确定，求 dz，（分数：8.00）_28.求由曲线 y=2-x2，y=2x-1 及 x0 围成的平面图形的面积 S 以及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：8.00）_专升本高等数学(二)-53 答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)
5、1.当 x2 时，下列函数中不是无穷小量的是( )；（分数：4.00）A.x3-8B.sin(x2-4)C.ex-2 D.ln(3-解析：分析 根据无穷小量的定义：2. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查的知识点是：函数在点 x 处导数的几何意义是表示该函数所表示的曲线过点 x 的切线的斜率可利用积分求出过点(1，0)的曲线方程，即由 曲线过点(1，0)，即 0=-1+C，得 C=1所以选 C 注意到曲线过点(1，0)，所以直接将 x=1，y=0 代人所选的曲线方程，只有选项 C 成立3. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 4. （分数：4.00）A.y4c
6、os(xy2)B.-y4cos(xy2)C.y4sin(xy2)D.-y4sin(xy2) 解析：提示 z 对 x 求偏导时应将丁视为常数，则有 5.设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件的不可能事件是( )（分数：4.00）A.“5 件都是正品”B.“5 件都是次品” C.“至少有一件是次品”D.“至少有一件是正品”解析：分析 本题考查的知识点是不可能事件的概念不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件由于只有 4 件次品，一次取出 5 件都是次品是根本不可能的所以选 B6. （分数：4.00）A.0B.2x3C.6x2 D.3x2解析：分析 则7.设 f(x)的一个原函数为
7、lnx，则 f(x)等于( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 本题考查的是原函数的概念及导数的计算，因此有 8. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查的知识点是定积分的概念和定积分的换元积分法换元时积分的上、下限一定要一起换 因为9.设函数 （分数：4.00）A.-3B.-1C.0D.不存在 解析：分析 本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算分段点处的极限一定要分别计算其左、右极限后，再进行判定 因为 10.设函数 f(x)=x3+e3+3x，则 f (x)等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 本题考查的知识点是基本初等函数的导
8、数公式只需注意 e3是常数即可二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）解析：分析 计算极限时一定要注意极限的不同类型，当 x0 时，本题不是“ ”型，所以直接利用极限的四则运算法则计算即可但当 x1 时，本题是“”型，可用因式分解消去零因式等方法求解12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：答 ）解析：提示 求函数的微分常用的方法有两种：一种是先求出了，再写出如 dy=ydx；另一种方法就是对等式两边直接求微分读者应选择自己熟悉的方法解题13.设 y=1+cos2x，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2 sin 2x）解析
9、：提示 用复合函数求导公式计算即可 y=-sin 2x(2x)=-2sin2x14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：提示 先求 y，再求 y“，然后将 x=0 代入 y“即可 因为 所以15.若 x=0 是函数 y=sinx-ax 的一个极值点，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 本题考查的知识点是极值的必要条件：若 x0是 f(x)的极值点，且 f(x)在 x0处可导，则必有 f(x0)=0因此有16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：答 ）解析：提示 凑微分后用积分公式17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正
10、确答案：2ln 2）解析：分析 本题考查的知识点是定积分的换元积分法换元时，积分的上、下限一定要一起换18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：答 ）解析：分析 本题考查的知识点是积分变量的概念、定积分的性质及定积分的计算本题也可求出 f(x)=-e-x，则 f(2x)=-e-2x，再代人所求式子中，有19. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：提示 z 对 x 求偏导时应视丁为常数，并用一元函数求导公式计算20. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 本题考查的知识点是二元函数的二阶偏导数的求法 三、B解答题/B(总题数：8，分数：64
11、.00)21. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是 型不定式极限的求法 分析 型不定式极限的一般求法是提取分子与分母中的最高次因子，也可用洛必达法 则求解 22.设 y=x2ex，求 y（分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是函数乘积的导数计算 23. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是凑微分积分法 24. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是微分的概念、定积分的分部积分法分析 本题的关键是利用微分的概念将 f(x)dx 写成 df(x)，然后再分部积分，利用已知条考生一定要注意：如果被积函数是 xkf(x
12、)或 xkf“(x)(k1)的形式，应优先考虑用分部积分法 例如：设 f(x)的一个原函数是解 因为 f(x)dx=df(x)，25.设事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.6，P(B)=0.7，求 P(A+B)（分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查事件相互独立的概念及加法公式 提示 若事件 A 与 B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)26.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0处取得极大值 5，其导函数 y=f(x)的图像经过点(1，0)和(2，0)(如图 1-1 所示)（分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是利用导数的图像来判定函
13、数的单调区间和极值点，并以此确定函数的表达式编者希望通过本题达到培养考生数形结合的能力 27.设 z=z(x，y)由方程 ez-xy2+sin(y+z)=0 确定，求 dz，（分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法分析 求二元隐函数全微分的关键是先求出偏导数 然后代入公式在用直接求导法时考生一定要注意：等式 ez-xy2+sin(y+z)=0 中的 z 是 x，y 的函数，对 x (或 y)求导时，式子 z=z(x，y)中 y(或 x)应视为常数，最后解出利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=e z-xy2+sin(y+z)，然后将等式两
14、边分别对 x(或 y 或 z)求导读者一定要注意：对 x 求导时，y，z 均视为常数，而对 y 或 z求导时，另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时，辅助函数 F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量在用公式法时最容易犯的错误是设 F(x，y，z)=e z-xy2+sin(y+z)=0如果写成 F(x，y，z)此时的 z 不是自变量而是 z=z(x，y)根据辅助函数 F(x，y，z，)，用复合函数求偏导而得到公式是将 x，y 视为常数时 F(x，y，z)对，的偏导数求全微分的第三种解法是直接对等式两边求微分，最后解出 dz，这种方法也十分简捷有效，建议考生能熟练掌握解法一 等式两边对 x 求
15、导得等式两边对 y 求导得解法二解法三28.求由曲线 y=2-x2，y=2x-1 及 x0 围成的平面图形的面积 S 以及此平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点有平面图形面积的计算及旋转体体积的计算 分析 本题的难点是根据所给的已知曲线画出封闭的平面图形，然后再求其面积 S求面积的关键是确定对 x 积分还是对 y 积分 确定平面图形的最简单方法是：题中给的曲线是三条，则该平面图形的边界也必须是三条，多一条或少一条都不是题中所要求的 确定对 x 积分还是对丁积分的一般原则是：尽可能用一个定积分而不是几个定积分之和来表示，本题如改为对 y 积分，则有 计算量显然比对 x 积分的计算量要大，所以选择积分变量的次序是能否快而准地求出积分的关键 在求旋转体的体积时，一定要注意题目中的旋转轴是 x 轴还是y 轴由于本题在 x 轴下面的图形绕 x 轴旋转成的体积与 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积重合了，所以只要计算 x 轴上面的图形绕 x 轴旋转的旋转体体积即可如果将旋转体的体积写成 两者之差 恰为 x 轴下面有三角形图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积 上面的这种错误是考生比较容易出现的，所以审题时一定要注意： 解 由已知曲线画出平面图形如图 1-2 所示的阴影区域
