1、专升本高等数学(二)-51 及答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1. （分数：4.00）A.-2B.0C.2D.42.设 f(x)在 x0及其邻域内可导，且当 xx 0时 f(x)0，当 xx 0时 f(x)0，则必有 f(x 0)( )（分数：4.00）A.小于 0B.等于 0C.大于 0D.不确定3. （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(lnx)=1+x，则 f(x)等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)=sin(x2)+e-2x，则 f(x)等于( )；（分数：4.00）A.cos(
2、x2)+2e-2xB.2xcos(x2)-2e-2xC.-2xcos(x2)-e-2xD.2xcos(x2)+e-2x6.函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图 3-1所示，则在 (-，+)内 f(x)的单调递增区间是( ) （分数：4.00）A.(-，-1)B.(-，0)C.(0，1)D.(-1，+)7.若事件 A发生必然导致事件 B发生，则事件 14和 B的关系一定是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.F(B.-F(C.0D.2F(9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.x=-2B.x=-1C.x=1D.z=0二、B填空题
3、/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=ln(a2(上标)+x2(上标)，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_14.函数 y=x-ln(1+x)的驻点为 x=_（分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）19. （分数：4.00）填空项 1:_20.由曲线 y=x和 y=x2(上标)围成的平面图形的面积 S=_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题
4、数：8，分数：64.00)21. （分数：8.00）_22. （分数：8.00）_23. （分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25.设随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4P 0.2 0.3 a 0.4(1)求常数 a；(2)求 X的分布函数 F(x)（分数：8.00）_26.当 x0 时，证明：e x1+x（分数：8.00）_27.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：8.00）_28. （分数：8.00）_专升本高等数学(二)-51 答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1. （分数：4.00）
5、A.-2B.0C.2D.4 解析：分析 本题考查的知识点是用洛必达法则求极限的方法以及乘积的导数公式 因为2.设 f(x)在 x0及其邻域内可导，且当 xx 0时 f(x)0，当 xx 0时 f(x)0，则必有 f(x 0)( )（分数：4.00）A.小于 0B.等于 0 C.大于 0D.不确定解析：分析 本题主要考查函数在点 x0处取到极值的必要条件：若函数 y=f(x)在点 x0处可导，且 x0为 f(x)的极值点；则必有 f(x0)=0本题虽未直接给出 x0是极值点，但是根据已知条件及极值的第一充分条件可知 f(x0)为极大值，故选 B考生必须注意的是：题目中的条件 f(x)在点 x0的
6、邻域内可导是不可少的，否则相应的结论 f(x 0)=0不一定正确这是因为极值可以在导数不存在的点处取到，如3. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查的知识点是不定积分的概念和换元积分的方法 对于不定积分的积分公式如|cos xdx=sin x+C，考生应该更深一层次地理解为其结构式是 分公式成立其他的积分公式也有完全类似的结构式如果将上述式子口内的函数的微分写出来， ，如果在试题中将等式右边部分拿出来，这就需要用凑微分法(或换元积分法)将被积表达式写成能利用公式的不定积分的结构式，从而得到所需的结果或答案考生如能这样深层次理解基本积分公式，则无论是解题能力还是计算能力与水平
7、都会有一个较大层次的提高 基于上面对积分结构式的理解，本题亦为： 4.设 f(lnx)=1+x，则 f(x)等于( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题主要考查复合函数导数的概念及已知导函数求原函数的方法本题的关键是正确理解f(lnx)的含义 由于这种试题的概念性较强，也具有一定的代表性，希望考生能熟练掌握，特留类似题目，以便考生练习 (1)设 f(cosx)=cos 2x，则 f(x)=_(答案： ) 5.设函数 f(x)=sin(x2)+e-2x，则 f(x)等于( )；（分数：4.00）A.cos(x2)+2e-2xB.2xcos(x2)-2e-2x C.-2xcos
8、(x2)-e-2xD.2xcos(x2)+e-2x解析：提示 本题主要考查复合函数的求导计算求复合函数导数的关键是理清其复合过程：第一项是 sin u，u=x 2；第二项是 ex，v=-2x.利用求导公式即知选项 B是正确的6.函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图 3-1所示，则在 (-，+)内 f(x)的单调递增区间是( ) （分数：4.00）A.(-，-1)B.(-，0)C.(0，1)D.(-1，+) 解析：分析 本题考查的知识点是根据一阶导数 f(x)的图像来确定函数曲线的单调区间 因为在 x轴上方 f(x)0，而 f(x)0 的区间为 f(x)的单调递增区间，所以选 D7.若事件
9、 A发生必然导致事件 B发生，则事件 14和 B的关系一定是( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 本题考查的知识点是事件关系的概念 根据两个事件相互包含的定义，可知选项 A正确8. （分数：4.00）A.F(B.-F( C.0D.2F(解析：9. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 本题考查的知识点是二元复合函数偏导数的求法 本题只需将 z=f(x+y)+f(x-y)写成z=f(u)+f(v)，其中 u=x+y，v=x-y，同时利用复合函数求偏导数公式可知选项 C是正确的10. （分数：4.00）A.x=-2B.x=-1C.x=1D.z=0 解析：分析 本题主要考
10、查间断点的概念 读者若注意到初等函数在定义区间内是连续的结论，可知选项 A、B、C 都不正确所以应选 D二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：提示 利用重要极限的结构式，则有 13.设 y=ln(a2(上标)+x2(上标)，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：提示 用复合函数求导公式计算可得答案注意 ln 2是常数14.函数 y=x-ln(1+x)的驻点为 x=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：提
11、示 用复合函数求导公式求出 y，再写出 dy15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 10）解析：提示 16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：用凑微分法积分 17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1-e-2）解析：提示 本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算 18. （分数：4.00）解析：提示 利用偶函数在对称区间定积分的性质，则有 19. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：提示 对于对数函数应尽可能先化简以便于求导因为 则 20.由曲线 y=x和 y=x2(上标)围成的平面图形的面积 S=_（分数：4
12、.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：提示 画出平面图形如图 3-2阴影部分所示，则 三、B解答题/B(总题数：8，分数：64.00)21. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是重要极限 分析 对于重要极限 利用重要极限的结构式很容易求解 解 考生需要注意这种题型的变化由于 尽管其形式不一样，但它都可以直接化为重要极限的形式： 22. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是求复合函数在某一点处的导数值 提示 先求复合函数的导数 y，再将 x=1代入 y 解因为 所以23. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是用分部积分法计
13、算定积分 分析 本题的解题关键是用进行换元时，原定积分的上、下限也应相应地换成对 t积分时的上、下限 解法一 解法二 解法三24. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题主要考查原函数的概念和不定积分的分部积分计算方法 分析 这类题常见的有三种形式： 若 f(x)的一个原函数为 arctanx，(1)求 本题为第一种形式常用的方法是将 f(x)=(arctanx)代人被积函数，再用分部积分法 第二和第三种形式可直接用分部积分法计算： 然后再用原函数的概念代人计算 解 因为 25.设随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4P 0.2 0.3 a 0.4(1)求常数 a；(2)求 X的分布
14、函数 F(x)（分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是随机变量分布列的规范性及分布函数的求法 分析 利用分布列的规范性可求出常数 a另外由分布列可知在间断点 x=1，2，3，4 的跃度分别为 0.2，0.3，0.1 及 0.4，从而可写出分布函数 F(x)的表达式 解 (1)因为 0.2+0.3+a+0.4=1，所以 a=0.1 (2)当 x1 时，F(x)=0； 当1x2 时，F(x)=0.2； 当 2x3 时，F(x)=0.2+0.3=0.5； 当 3x4 时，F(x)=0.5+0.1=0.6； 当4x 时，F(x)=0.6+0.4=1 综上，知分布函数为 26.当 x0
15、 时，证明：e x1+x（分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是用函数的单调性证明不等式的方法提示 本题要分为 z0 与 x0 两种情况分别证明 ex1+x通常情况下是将不等式写成一个函数 f(x)=ex-x-1，证明 f(。x)0(或 f(x)0)，再根据单调性知，f(x)f(0)=0证 设 f(x)=ex-1-x，则 f(0)=0因为 f(x)=ex-1，(1)当 x0 时 f(x)0，所以 f(x)是单调增加函数即 x0 时，f(x)f(0)，即 ex-1-x0，所以exx+1；(2)当 x0 时，f(x)0，所以 f(x)是单调减少函数即 x0 时 f(x)f(0)，
16、即 ex-1-x0，所以exx+1综上，知当 x0 时，e xx+127.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值 分析 所谓“成本最低”，即要求制造成本函数在已知条件下的最小值 因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值 解 设池底半径为 r，池高为 h(如图 3-3)，则 设制造成本为S，则 令 S=0，得驻点 r=1 因为 所以 r=1为唯一的极小值点，即为最小值点 所以，底半径为 1m，高为28. （分数：8.00）_正确答案：()解析：本题考查的知识点是二元函数五条件极值的求法 提示 用二元函数无条件极值的方法求解 解因为 由于 所以 则 所以，点(5，2)为极小值点，极小值为
