1、专升本高等数学(二)-47 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.以下结论正确的是( ) A函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C若函数 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D若函数 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)的一个原函数为 xln(x+1)，则下列等式成立的是( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.若随机事件 A
2、 与 B 相互独立，而且 P(A)=0.4，P(B)=0.5，则 P(AB)=( )o A0.2o B0.4o C0.5o D0.9（分数：4.00）A.B.C.D.4.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为 0.5，0.6，0.7，则三人都未命中的概率为( )o A0.21o B0.14o C0.09o D0.06（分数：4.00）A.B.C.D.5.若 limf(x)=， ，则下列式中必定成立的是( )o Ao Bo Co D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则由曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成图形的面积为( ) A B C （
3、分数：4.00）A.B.C.D.7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.广义积分 ( ) A收敛于 B收敛于 C收敛于 （分数：4.00）A.B.C.D.9.下列不定积分计算正确的是( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 z=z(x，y)是方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.偶函数 f(x)可导，且 f(-1)=-2e，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.当 a 等于_时，函数 （分数：4.00）填空项 1:_14.若 （分数：4.00）填空
4、项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16.函数曲线 y=xe-x的凸区间是 1（分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18.设 z=x2ln(y+1)，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.设 （分数：4.00）填空项 1:_20.从 1 到 10 这十个正整数中任取一数，取得奇数的概率为 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.若 （分数：8.00）_22.求由方程 siny+xey=0 确定的曲线在点(0，)处的切线方程（分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.求曲线 ，上对应于 （
5、分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.设函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：10.00）_27.求函数 f(x，y)=x 2+xy+y2-3x-6y 的极值（分数：10.00）_28.做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为 5m，试求所用角铁为最少时，三根角铁的长度各为多少?（分数：10.00）_专升本高等数学(二)-47 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.以下结论正确的是( ) A函数 f(
6、x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C若函数 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D若函数 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 导数不存在的点，不一定不是 f(x)的极值点，连续的不可导点，可能是极值点驻点不一定是 f(x)的极值点连续不一定可导2.设 f(x)的一个原函数为 xln(x+1)，则下列等式成立的是( ) A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 本题考查的知识点是原函数的概念由 f(
7、x)的一个原函数为 xln(x+1)，可得*3.若随机事件 A 与 B 相互独立，而且 P(A)=0.4，P(B)=0.5，则 P(AB)=( )o A0.2o B0.4o C0.5o D0.9（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 本题考查的知识点是两个事件相互独立的概念及其概率计算如果两个事件A，B 相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)=0.24.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为 0.5，0.6，0.7，则三人都未命中的概率为( )o A0.21o B0.14o C0.09o D0.06（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 设 A，B，C 分别表示“甲未命中”，“乙
8、未命中”与“丙未命中”则三人都未命中可表示为 ABC明显可以认为 A，B，C 相互独立且 P(A)=1-0.5=0.5，P(B)=1-0.6=0.4，P(C)=1-0.7=0.3于是 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.50.40.3=0.065.若 limf(x)=， ，则下列式中必定成立的是( )o Ao Bo Co D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 无穷大量与不等于零的数乘积仍为无穷大量，*(k0)而无穷大量的和，差都是不定式6.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则由曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成图形的面积为( ) A B C （分
9、数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由定积分的几何意义知选 C7.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *=2xg(x2)-2g(2x)8.广义积分 ( ) A收敛于 B收敛于 C收敛于 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 *9.下列不定积分计算正确的是( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 这类题可以通过直接计算不定积分后进行选择，也可以对不定积分求导看是否等于被积函数而进行选择10.设 z=z(x，y)是方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 方法一 该函数可显化为：x=ye x，*方法二 公
10、式法方程可化为*；令*，于是*二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x）解析：分析 *12.偶函数 f(x)可导，且 f(-1)=-2e，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-e）解析：分析 *13.当 a 等于_时，函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *要使 f(x)在 x=o 处连续，则*，又 f(0)=*，故当 a=*时，f(x)在(-，+)内连续14.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：分析 *e 1-k=e4，1-k=4，k=-315. （分数：4.0
11、0）填空项 1:_ （正确答案：e 2）解析：分析 *16.函数曲线 y=xe-x的凸区间是 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，2)）解析：分析 因为 y“=(x-2)e-x0，得 x2，即(-，2)17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用凑微分法积分*18.设 z=x2ln(y+1)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *19.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *20.从 1 到 10 这十个正整数中任取一数，取得奇数的概率为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）
12、解析：分析 从 1 到 10 这十个正整数中，1，3，5，7，9为奇数三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.若 （分数：8.00）_正确答案：(若*，则当 x2 时，x 2+ax+b 与 x-2 为同阶无穷小量，令 x 2+ax+b=(x-2)(x+k) ()则*，此时 k=3，代入()式得 x 2+ax+b=(x-2)(x+3)，即 x 2+ax+b=x2+x-6，所以 a=1，b=-6)解析：分析 本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将x2+ax+b 写成两个一次式的乘积，使得两个未知数 a，b 变为一个 k，解答就简便了22.求由方程 siny+xey=0 确定的曲线在点(0，
13、)处的切线方程（分数：8.00）_正确答案：(方程两边对 X 求导得cosyy+ey+xeyy=0得 *所以 *故所求切线方程为 y-=e (x-0)，即 e x-y+=0)解析：分析 本题主要考查如何求切线方程已知切线过定点，只需求出函数在该点的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(令*，则 x=ln(t2-1)，*故 *)解析：分析 通过换元法去根号，使被积函数有理化注意积分后要进行反换元，即将式中的 t 用*换回24.求曲线 ，上对应于 （分数：8.00）_正确答案：(注意到*又*于是曲线上对应于*的点*处的法线方程为*即 *)
14、解析：分析 本题中出现了以 t 为参变量的参数方程，求y可以分别将 3，和 x 看作 t 的函数，对 t 求导，再求出*25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：分析 这是变上限定积分的问题用洛必达法则与变上限积分的导数来求解26.设函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：10.00）_正确答案：(方法一 直接求导法 等式两边对 x 求导得-sin(xy)(y+xy)=1+y，解得 *方法二 公式法 设 F(x，y)=cos(xy)-x-y*所以*方法三 微分法 等式两边求微分得dcos(xy)=d
15、(x+y)，-sin(xy)(ydx+xdy)=dx+dy，-1+xsin(xy)dy=1+ysin(xy)dx，所以 *当 x=0 时，由方程得 y=1，则*，所以过点(0，1)的切线方程为y-1=-(x-0)，即 x+y-1=0)解析：分析 本题是一道典型的综合题，考查的知识点是隐函数的求导计算和切线方程的求法本题的关键是由已知方程求出 y，此时的 y中通常含有 x 和 y，因此需由原方程求出当 x=0 时的 y 值，继而得到 y的值，再写出过点(0，1)的切线方程计算隐函数 y(x)的导数，通常有三种方法：直接求导法(此时方程中的 y 是 x 的函数)、公式法(隐函数的求导公式)和微分法
16、(等式两边求微分)27.求函数 f(x，y)=x 2+xy+y2-3x-6y 的极值（分数：10.00）_正确答案：(*,得驻点 P(0，3)在 P(0，3)点，A=f“xx(0，3)=2，B=f“ xy(0，3)-1，C=f“ yy(0，3)=2B2-AC=1-4=-30，而 A=20从而函数 f(x，y)在点 P(0，3)有极小值 f(0，3)=-9)解析：分析 二元函数无条件极值的求解步骤为：(1)先求驻点 Mi，即*的解(x i，y i)；(2)求在驻点 Mi处的 A=f“xx(Mi)，B=f“ xy(Mi)；C=f“ yy(Mi)，确定 B2-AC 的符号；(3)判定：若 B2-AC0，且 A0(A0)，则 z=f(xi，y i)为极大(极小)值28.做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为 5m，试求所用角铁为最少时，三根角铁的长度各为多少?（分数：10.00）_正确答案：(设等腰三角形的高为 h，则*三根角铁的总长*，*，得 4h2=h2+9，解得*由于只有唯一的驻点，所以*为所求，即三根角铁的长度分别为 BD=DC=*m，*)解析：分析 这是应用题中的最值问题，首先要列出函数关系式，再求其在已知条件下的最值
