1、专升本高等数学(二)-41 及答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.（分数：4.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的( ) A较高阶的无穷小量 B等价无穷小量 C同阶但不等价的无穷小量 D较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C.D.3.（分数：4.00）A.B.C.D.4.若 ，则如等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f=f(x)二阶可导，且 f(1)=0，f“(1)0，则必有( ) Af(1)=0 Bf(1)是极小值 Cf(1)是极大值 D点(1，f(1)是拐点（分数：4.0
2、0）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7.以下结论正确的是( ) A函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C若函数 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）A.B.C.D.8.（分数：4.00）A.B.C.D.9.函数 y=ex-x 在区间(-1，1)内( ) A单调减少 B单调增加 C不增不减 D有增有减（分数：4.00）A.B.C.D.10.下列表中的数列为某随机变量的分布
3、列的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12.当 x0 时，2sinx-sin 2x 与 xk 是等价无穷小量，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=ln(x+cosx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x10+e10，则 y(10)=_（分数：4.00）填空项 1:_15.设 y=y(x)由方程 x2+y2+xy=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_16.设 f(x)的导函数是 sin 2x，则 f(x)的全
4、体原函数是_（分数：4.00）填空项 1:_17.设 （分数：4.00）填空项 1:_18.曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_19. （分数：4.00）填空项 1:_20. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：64.00)21. （分数：8.00）_22. （分数：8.00）_23. （分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25.一枚 5 分硬币，连续抛掷 3 次，求“有 1 次国徽向上”的概率。（分数：8.00）_26.如图 7-1，工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km，垂足为且铁路线上的 C 是距 B
5、处 100km 的原材料供应站现要在 BC 之间的 D 处向工厂 A 修一条公路，使得从材料供应站 C 经 D 到工厂 A 所需要的运费最省，问 D 应选在何处?(已知 1 km 的铁路运费与公路运费之比是 3:5)（分数：8.00）_27.设 z=z(x，y)由方程 e2-x2+y2+x+z=0 确定，求 dz（分数：8.00）_28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S，并求此平面图形绕丁轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：8.00）_专升本高等数学(二)-41 答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：4
6、0.00)1.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 本题考查的知识点是定积分的换元法本题可以直接换元或用凑微分法因为*所以选 D2.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的( ) A较高阶的无穷小量 B等价无穷小量 C同阶但不等价的无穷小量 D较低阶的无穷小量（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查两个无穷小量阶的比较比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项本题即为计算：*由于其比的极限为常数 2，所以选项 C 正确请考生注意：由于分母为 x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换 ln(1+x)x，否则各导致错误的结论与本题类似的另一
7、类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”例如：当 x0 时，x-ln(1+x)是 x 的*这类题的解法是：首先设 x-ln(1+x)为 x 的 A 阶无穷小量，再由*存在且为一个有限值，从而确定 k值因为*要使上式的极限存在，必须有 k-2=0，即 k=2所以，当 x0 时，x-ln(1+x)为 x 的 2 阶无穷小量，选 C3.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算本题的解法有两种：解法一 先用换元法求出 f(x)的表达式，再求导设 sinx=u，则*所以*则*所以选 D解法二 将 f(sinx)作为 f(u)，u=si
8、n x 的复合函数直接求导，再用换元法写成 f(x)的形式等式两边对 x 求导得* 所以选 D请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：(1999 年)*(2001 年)*(2004 年)*4.若 ，则如等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 本题可用 dy=ydx 求得选项为 A，也可以直接求微分得到 dy因为*则*直接求微分得*所以选 A5.设 f=f(x)二阶可导，且 f(1)=0，f“(1)0，则必
9、有( ) Af(1)=0 Bf(1)是极小值 Cf(1)是极大值 D点(1，f(1)是拐点（分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 根据极限的第二个充分条件确定选项6. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 用换元法将 F(-x)与 F(x)联系起来，再确定选项因为*7.以下结论正确的是( ) A函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B若 x0为函数 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C若函数 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x0)一定存在（分数：4.00）
10、A.B.C. D.解析：分析 本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，例如：y=|x|在 x=0 处有极小值且连续，但在 x=0 处不可导，排除 A 和 Dy=x3，x=0 是它的驻点，但 x=0 不是它的极值点，排除 B，所以命题 C 是正确的8.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 用二元复合函数求偏导公式计算时，要注意 u=x 是一元函数因为*9.函数 y=ex-x 在区间(-1，1)内( ) A单调减少 B单调增加 C不增不减 D有增有减（分数：4.00）A.B.C.
11、D. 解析：分析 本题需先求出函数的驻点，再用 y“来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在受值点两侧的 y必异号，从而进一步确定选项*10.下列表中的数列为某随机变量的分布列的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 利用随机变量分布列的两个性质：*选项 A 的*；选项 D 的 P1=-0.10；选项 B 的 P1+P2+P3=1.11所以选项 A，B，D 均不是某随机变量的分布列故选 C注意 随机变量的取值可以为负数二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e-2）解析：提示 利用重要极限和极限存在的充要条件，可知
12、 k=e-2因为*所以本题只要分别计算：*所以 k=e-212.当 x0 时，2sinx-sin 2x 与 xk 是等价无穷小量，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：提示 根据等价无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定 k 值考生一定要注意：分子是两个无穷小量之差，不能用等价无穷小量代换因为*欲使其极限值为 1，只有 k=3所以填 3如果先用倍角公式 sin 2x=2 sin x xos x 化简，并利用重要极限及极限的四则运算法则可使计算简捷：*注意 这类题的另一种命题方式是：当 x0 时，2sinx-sin 2x 是 x 的 阶无穷小量考生如能掌握这种同一命题的
13、不同提法，必能大大地开阔思路，提高解题能力13.设 y=ln(x+cosx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 用复合函数求导公式计算*14.设 y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x10+e10，则 y(10)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：10!）解析：提示 注意到五项连乘积是 x 的 5 次多项式，因此它的 10 阶导数为零，不必逐项计算15.设 y=y(x)由方程 x2+y2+xy=1 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 利用隐函数求导公式或直接对 x 求导将等式两边对 x 求导(此
14、时 y=y(x)，得2x+2yy+y+xy=0，解得*16.设 f(x)的导函数是 sin 2x，则 f(x)的全体原函数是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念因为 f(x)=sin 2x，而 f(x)的全体原函数为*，所以*则*17.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题考查的知识点是原函数存在定理，即变上限的定积分*是函数 f(x)在该区间上的一个原函数因此有*18.曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x+y-e=0）解析：提示
15、 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程因为*当 x=e 时，y=0，所以法线方程为y=-(x-e)，即 x+y-e=019. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2.）解析：提示 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质20. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 将函数 z 写成*，则很容易求得结果三、解答题(总题数：8，分数：64.00)21. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的是*型不定式极限的概念及相关性质)解析：分析 含变上限的*型不定式极限直接用洛必达法则求解解*注意 若用等价无穷小量代换更为简捷：*22. （分数
16、：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是复合函数的求导计算)解析：提示 利用复合函数的求导公式计算解*23. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查舶知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法)解析：分析 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分解法一*解法二 三角代换去根号设*24. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是广义积分的计算)解析：提示 配方后用积分公式计算解*注意 广义积分也可如下简记：*千万要注意的是：绝对不允许写成*是一个符号，不能参加运算25.一枚 5 分硬币，
17、连续抛掷 3 次，求“有 1 次国徽向上”的概率。（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是古典概型的概率计算解 一枚 5 分硬币抛掷 1 次可能出现 2 种情况：正面或反面(国徽或字面)，连续抛掷 3 次，共有*)解析：26.如图 7-1，工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km，垂足为且铁路线上的 C 是距 B 处 100km 的原材料供应站现要在 BC 之间的 D 处向工厂 A 修一条公路，使得从材料供应站 C 经 D 到工厂 A 所需要的运费最省，问 D 应选在何处?(已知 1 km 的铁路运费与公路运费之比是 3:5)（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是利用导数
18、研究函数特性的方法)解析：提示 本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其极小值解 如图 7-2，设 BD=x，铁路的运费为 30 元/km，总运费为了元根据题意，有*由于只有唯一的驻点，依题意 x=15 为所求答：D 点应修建在距 B 处 15km 处注意 若设铁路的运费为 1 个单位(元)/km，则在题目中不会出现常数 a27.设 z=z(x，y)由方程 e2-x2+y2+x+z=0 确定，求 dz（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法)解析：分析 求二元隐函数全微分的关键是先求出偏导数*，然后代入公式*的方法主要有：直接求导法、公式法以及微分法在用直接求导
19、法时考生一定要注意：等式 ez-z2+y2+x+z=0 中的 z 是 x，y 的函数，对 x(或 y)求导时，式子 z=z(x，y)中 y(或 x)应视为常数，最后解出*利用公式法求导的关键是需构造辅助函数*然后将等式两边分别对 x(或 y 或 z)求导考生一定要注意：对 x 求导时，y，z 均视为常数，而对 y 或 z 求导时，另外两个变量同样也视为常数也即用公式法时，辅助函数 F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量解法一 直接求导法等式两边对 x 求导得*解得等式两边对 y 求导得*解得*则有*解法二 公式法设*因为*则*所以*解法三 微分法对等式两边求微分得d(ez)-d(x2)+d(
20、y2)+d(x+z)=0，ez-dz-2xdx+2ydy+dx+dz=0， 解得*三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S，并求此平面图形绕丁轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法)解析：首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对 x 积分还是对 y 积分选择的原则是：使得积分计算尽可能的简单或容易算出本题如果选择对 x 积分，则有*这显然要比对 y 积分麻烦在求旋转体的体积时一定要注意是绕 x 轴还是绕 y 轴旋转历年的试题均是绕。轴旋转，而本题是求绕丁轴旋转的旋转体的体积旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是：*考生一定要牢记：Vx=V2-V1，即分别计算两个旋转体所成的旋转体体积之差本题为*解 画出平面图形，如图 7-3 所示的阴影部分，则有阴影部分的面积*
