1、专升本高等数学(二)-38 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 f(x-1)=x2+e-x，则 f(x)等于( ) A2x-e x B2(x-1)-ex -1 C2(x+1)-e x+1 D2(x+1)-e -(x+1)（分数：4.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在点 x0处连续，则函数 f(x)在点 x0处( ) A必可导 B必不可导 C可导与否不确定 D可导与否与在 z。处连续无关（分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：4.00）A.B.C.D.5.（分数：4
2、.00）A.B.C.D.6.设 f(x)=ln(1+x)+e2x，f(x)在 x=0 处的切线方程是( ) A3x-y+1=0 B3x+y-1=0 C3x+y+1=0 D3x-y-1=0（分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9.由曲线 y=-x2，直线 x=1l 及 x 轴所围成的面积 S 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x)的一个原函数为 xsin x，则 f(x)的导函数是( ) A2sin x-xcos x B2cos x-xsin x C-2sin x+xcos x D-2cos x+
3、xsin x（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12.当 x0 时，ln(1+ax)(a0)是 2x 的同阶但不等价无穷小量，则 a_（分数：4.00）填空项 1:_13.设函数 y=x2lnx，则 y(5)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设函数 y=ln tanx，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17.17， （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19. （分数：4.00）填空
4、项 1:_20.已知 P(A)=0.8，P(B|A)=0.5，则 P(AB)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_22. （分数：8.00）_23. （分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25.盒中装着标有数字 1，2，3，4 的乒乓球各 2 个，从盒中任取 3 个球，求取出的 3 个球上最大的数字是4 的概率（分数：8.00）_26.已知函数 f(x)=ax3-bx2+cx 在区间(-，+)内是奇函数，且当 x=1 时 f(x)有极小值 （分数：10.00）_27.设 z=z(x，y)由方程 （分数：10.00）_
5、28.设有底为等边三角形的直三棱柱，体积为 V，要使其总面积为最小，问底边长应为多少?（分数：10.00）_专升本高等数学(二)-38 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 f(x-1)=x2+e-x，则 f(x)等于( ) A2x-e x B2(x-1)-ex -1 C2(x+1)-e x+1 D2(x+1)-e -(x+1)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：提示 先求出 f(x)，再求 f(x)也可先求 f(x-1)，再换元成 f(x)由 f(x-1)=x2+ e-x”，得f(x)=(x+1)2+e-(x+1)(
6、用 x+1 换 x)，则有 f(x)=2(x+1)-e-(x+1)，选 D2. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：提示 根据函数在一点导数定义的结构式可知*选 D3.设函数 f(x)在点 x0处连续，则函数 f(x)在点 x0处( ) A必可导 B必不可导 C可导与否不确定 D可导与否与在 z。处连续无关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 连续是可导的必要条件，可导是连续的充分条件例如函数 f(x)=|x|在 x=0 处连续，但在 x=0 处不可导而函数 f(x)=x2在 x=0 处连续且可导故选 C4. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：提示 依据二元函数极值的充
7、分条件，可知 B2-AC0 且 A0，所以 f(1，2)是极小值，故选 D5.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：提示 本题考查的知识点是广义积分收敛和发散的概念直接计算：*所以广义积分是发散的，选 D6.设 f(x)=ln(1+x)+e2x，f(x)在 x=0 处的切线方程是( ) A3x-y+1=0 B3x+y-1=0 C3x+y+1=0 D3x-y-1=0（分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 由于函数在某一点导数的几何意义是表示该函数所表示的曲线过该点的切线的斜率，因此*当 x=0 时，y=1，则切线方程为 y-1=3x，即 3x-y+1=0选 A7. （分数：4.00）
8、A.B.C.D. 解析：分析 本题考查的知识点是两个极限值相等的极限之比是不能确定的*8. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 直接计算即可9.由曲线 y=-x2，直线 x=1l 及 x 轴所围成的面积 S 等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示*因为*10.设 f(x)的一个原函数为 xsin x，则 f(x)的导函数是( ) A2sin x-xcos x B2cos x-xsin x C-2sin x+xcos x D-2cos x+xsin x（分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 本题主要考查原函数的概念因为 f(x)=(xsinx)=sinx+x
9、cosx，则 f(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx，选 B。二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：提示 利用重要极限求解*12.当 x0 时，ln(1+ax)(a0)是 2x 的同阶但不等价无穷小量，则 a_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：提示 利用同阶无穷小量的定义确定 a 值*13.设函数 y=x2lnx，则 y(5)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 先求*14.设函数 y=ln tanx，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （
10、正确答案：*）解析：提示 用复合函数求导公式求出 y，再求 dy因为*则*15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题考查复合函数的概念及求导因为*所以*16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题主要考查积分变量的概念和不定积分的性质，考查复合函数微分的概念本题的一个难点是正确理解被积函数中的 f(tanx)的意义f(tanx)表示 y=f(tanx)对 tanx 求导数时才有 f(tanx)，这种复合函数的导数符号更一般的意义是，对于*，只有当函数 y 对括号内的*求导时，才能写成 y=f*，方块内的变量可以是 x，也可以是 x
11、的函数或复合函数，如 f(ln tanx)表示函数f(ln tan x)对 ln tan x 求导时才能写成 f(ln tanx)这种表达式在高等数学中经常用到，希望考生引起注意这里容易犯的错误是将 f(tanx)dx 写成 df(tanx)，这也是由于上面概念不清而导致的由于*，所以正确的写法是 f(tanx)dtanx=df(tanx)，考虑到 dtanx= *，所以被积表达式*再利用不定积分的性质立即可得*17.17， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 凑微分后用积分公式计算即可*18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 被积函数中
12、的*是奇函数，而*是偶函数则有*19. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：提示 先求 f(x)，再将 x=1 代入因为 f(x)=xex，则 f(1)=e20.已知 P(A)=0.8，P(B|A)=0.5，则 P(AB)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 本题考查的知识点是乘法公式P(AB)=P(a)P(B|A)=0.80.5=0.4三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查*型不定式极限的求法，)解析：分析 由于分子是抽象函数 f(x)，且 f(1)=1，所以是*型不定式极限，用洛必达法则求极
13、限解*22. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是导数的四则运算)解析：提示 用商的求导公式计算 解*23. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是常见函数的不定积分的求解)解析：提示 先将被积函数写成 tan2x+1+2tanx，并利用公式*，再积分解*24. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查定积分的常规求解方法)解析：提示 用换元法去根号再积分也可以将分母有理化后再积分解法一 设*当 x=0 时，t=1；当 x=3 时，t=2则*解法二*解法三*以下步骤同解法二这种一题多解的方法不仅可以拓宽解题思路，而且能提高解题能力，望考生多加注意和练习25.盒中装着标
14、有数字 1，2，3，4 的乒乓球各 2 个，从盒中任取 3 个球，求取出的 3 个球上最大的数字是4 的概率（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是古典概型的概率计算)解析：分析 盒中共有 8 个球，任取 3 个的取法共有*种取出的 3 个球上最大数字是 4 的情况有两种：3 个球中有 1 个是数字 4 的取法：* 3 个球中有 2 个是数字 4 的取法：*符合题意的所有取法为*26.已知函数 f(x)=ax3-bx2+cx 在区间(-，+)内是奇函数，且当 x=1 时 f(x)有极小值 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查的知识点是奇函数的概念、极值的概念及极值的必要条件)解
15、析：分析 如果函数是一个 m 次多项式，且是奇(或偶)函数，则一定有偶次幂(或奇次幂)项的系数为0再利用极值的必要条件及极值即可求出 a，b，c解 因为 f(-x)=-f(x)，即-ax3-bx2-cx=-ax3+bx2-cx得 2bx 2=0 对 aR 都成立，必有 b=0*由极值的必要条件：f(1)=0，得 3a-2b+c=0，解得*27.设 z=z(x，y)由方程 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查的知识点是隐函数求偏导数的计算和全微分公式)解析：提示 先用对数性质进行化简，再求导会简捷一些解法一 设 F(x，y，z)=x 2+z2-lnz+lny，则*所以*则*解法二 将原方程两边直接对 x，y 分别求导得*解得*则*解法三 对等式两边求微分得*所以*28.设有底为等边三角形的直三棱柱，体积为 V，要使其总面积为最小，问底边长应为多少?（分数：10.00）_正确答案：(本题考查运用有关知识解决实际问题的能力解 如图 8-1，设直柱体的高为 h，等边三角形的边长为 x，底面面积为 A，直三棱柱总面积为 S，则*总面积*综上可知当底边长为*时此直柱体的总面积最小)解析：
