1、专升本高等数学(二)-32 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)的一个原函数为 xln(x+1)则下列等式成立的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.（分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：4.00）A.B.C.D.5.若事件 A 与 B 为互斥事件，且 P(A)=0.3，P(A+B)=0.8，则 P(B)等于( )， A0.3 B0.4 C0.5 D0.6（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 y=2x+x2+e2，则 y等于( ) A2 x+2x+e2 B
2、2 xlnx+2x+2e C2 xln2+2x Dx2 x-1+2x（分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8.（分数：4.00）A.B.C.D.9.（分数：4.00）A.B.C.D.10.（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=ln(a2+x2)，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_14.函数 y=x-ln(1+x)的驻点为 x=_（分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4
3、.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19. （分数：4.00）填空项 1:_20. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_22. （分数：8.00）_23. （分数：8.00）_24.甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为 0.6 和 0.8，求此密码被破译的概率（分数：8.00）_25. （分数：8.00）_26.设函数 y=ax3(上标)+bx+c 在点 x=1 处取得极小值-1，且点(0，1)为该函数曲线的拐点，试求常数 a，b，c（分数：10.00）_27.设
4、函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：10.00）_28. （分数：10.00）_专升本高等数学(二)-32 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 本题考查的知识点是广义积分在换元时，其积分限也应一起换*2.设 f(x)的一个原函数为 xln(x+1)则下列等式成立的是( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 本题考查的知识点是原函数的概念*3.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：提
5、示 *4. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：提示 利用函数在一点可导的定义的结构式可知*注意到本题中 f(x)=2a是常数函数，所以 f(x)=0，所以选 D5.若事件 A 与 B 为互斥事件，且 P(A)=0.3，P(A+B)=0.8，则 P(B)等于( )， A0.3 B0.4 C0.5 D0.6（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查的知识点是互斥事件的概念和加法公式。事件 A 与 B 互斥是指*，因此 P(AB)=0由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，即 0.8=0.3+P(B)，得 P(B)=0.5故选 C6.已知 y=2x+x2+e2，则
6、y等于( ) A2 x+2x+e2 B2 xlnx+2x+2e C2 xln2+2x Dx2 x-1+2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 用基本初等函数的导数公式7. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *即 A=4-A，得 A=2，所以 f(x)=x3+3x-2，选 C如果注意到 f(x)是基本初等函数，在定义区间内是连续的，则 limf(x)=f(1)，因此 f(x)= x3+3x-f(1)，只需 将 x=1 代人式中即可得 f(1)=1+3-f(1)，所以 f(1)=2，可知选项 C 是正确的8.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 本题考查的知识点
7、是复合函数的概念及其求导计算本题的关键是正确写出复合函数 fg(x)的表达式后再对 x 求导根据函数概念可知：fg(x)=g(x)+lng(x)=ex+lnex=ex+x，*9.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：*10.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 本题考查考生对微分、积分的基础知识和换元积分法的掌握情况* 所以选 B二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：提示 利用重要极限的结构式：*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 本题考查的知识点是极限的计算由于分子是“-”
8、，应首先有理化，再消去“”因子本题若直接用洛必达法则求解反而比较麻烦。*本题也可以直接消去“”因子：*13.设 y=ln(a2+x2)，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 先求复合函数的导数，再求 dy*14.函数 y=x-ln(1+x)的驻点为 x=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 本题考查的知识点是驻点的概念及求法根据定义，使 f(x)=0 的 x 称为函数 f(x)的驻点，因此有了*故填 015. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 本题考查的知识点是由复合函数 fu(x)的表达式求 f(x)的
9、表达式，然后再求 f“(x)*由于这种题涉及的知识点比较多，解法也不唯一，所以这种题也是历年考试中常见的试题之一冽如 1999 年第 8 题：设函数*2001 年第 9 题：设函数*2002 年第 11 题：设函数 f(2x)=lnx，则 f(x)=_2003 年第 23 题：设函数*2004 年第 20 题：设函数 f(cosx)=1+cos3x，求 f(x)建议考生熟练掌握这类题的求解方法，必有收益16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xcosx-sinx+C）解析：提示 用分部积分法积分*17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题考查的知识
10、点是求变上限积分的导数值其关键是先求 f(x)，再将 x=1 代入 f(x)*18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：提示 被积函数的前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，因此有*19. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：提示 本题是对 y 求偏导时应用指数函数求导公式，*20. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题考查的知识点是复合函数求偏导和全微分的计算公式因为*所以*三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是“*”型不定式极限的求法)解析：分析 “*”型不定
11、式极限应优先考虑用等价无穷小量代换，然后再用洛必达法则或其他方法计算解*请考生注意：由于分子是两个无穷小量之差，所以不要用等价无穷小量代换：ln(1+x)x，否则会出现错误建议考生遇到对数函数的“*”型时，尽量用洛必达法则计算22. （分数：8.00）_正确答案：(本题主要考查商的导数及复合函数求导的计算)解析：提示 先求 y，再求 dy解因为*所以*23. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是不定积分的积分公式及凑微分(即第一换元积分法)，的积分方法)解析：分析 当被积函数的分母为一项而分子为两项或两项以上的和时，通常分为几个不定积分之和分别计算如果被积函数的分子中有 sinx
12、(或 cosx)的奇次方项时，常用凑微分法将 sin xdx 写成 -d cos x，而 cos x dx=d sin x，换成对 cos x 或 sin x 的积分解*24.甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为 0.6 和 0.8，求此密码被破译的概率（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是事件相互缸立的概念和概率的加法公式)解析：分析 本题的关键是密码被破译这一事件是指密码被甲破译或被乙破译，如果理解成甲破译密码且乙破译密码就错了!另外要注意：甲、乙二人破译密码是相互独立的解 设 A=“甲破译密码，B=“艺破译密码”；C=“密码被破译”，则 C=A+B；所以P(C)=P(A+B)
13、=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6+0.8-0.60.8=0.92*25. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是定积分的分部积分法)解析：提示 将被积函数分成两项，分别用公式法和分部积分法计算解*26.设函数 y=ax3(上标)+bx+c 在点 x=1 处取得极小值-1，且点(0，1)为该函数曲线的拐点，试求常数 a，b，c（分数：10.00）_正确答案：(本题考查的知识点是可导函数在某一点取得极小值的必要条件以及拐点的概念。解 由 y(1)=-1 得 a+b+c=-1 由拐点 y(0)=1 得 c=1 函数在点 x=1 处取得极值必
14、有* 联立，可解得 a=1，b=-3，c=1)解析：27.设函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程（分数：10.00）_正确答案：(本题是一道典型的综合题，考查的知识点是隐函数；的求导计算和切线方程的求法)解析：分析 本题的关键是由已知方程求出 y，此时的 y中通常含有 x 和 y，因此需由原方程求出当 x=0 时的 y 值，继而得到 y的值，再写出过点(0，1)的切线方程计算由方程所确定的隐函数 y(x)的导数；通常有三种方法：直接求导法(此时方程中的 y 是 x 的函数)、公式法(隐函数的求导公式)和微分法(等式
15、两边求微分)解法一 直接求导法等式两边对 x 求导，得-sin(xy)(y+xy)=1+y解得*解法二 公式法设 F(x，y)=cos(xy)-x-y，*所以*解法三 微分法等式两边求微分，得d cos(xy)=d(x+y)，-sin(xy)(ydx+xdy)=dx+dy，-1+x sin(xy)dy=1+ysin(xy)dx，所以*28. （分数：10.00）_正确答案：(本题考查的知识点是条件极值的计算)解析：分析 计算条件极值的关键是构造拉格朗日函数在求驻点的过程中通常都将参数 消去解 *注意 不能用二元函数五条件极限的充分条件来判定*是极大值还是极小值但是根据极值是局部性质且只有一个驻点，因此可在约束条件 2x+y=5 中任取另一点，如取点(1，3)，则得 *，从而可以判定*是极小值
