1、专升本高等数学(二)-31 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.已知 f(x)在 x0处可导，且有 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)=xlnx，则 f(n)(x)(n2)等于( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.定积分 等于( )o Ao Bo Co D （分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 y=f(x)在点 x=x0处取得极小值，则必有( ) Af“(x 0)0 Bf(x 0)=0 Cf(x 0)=0且 f“(x0)0 Df(x 0)=0或 f(x0)不存在（分数：4.00）A.
2、B.C.D.5.设函数 f(x)在a，b上连续，则下列结论不正确的是( ) A 是 f(x)的一个原函数 B 是 f(x)的一个原函数(axb) C （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列定积分等于零的是( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次，其命中率依次为0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率是( ) A0.94 B0.92 C0.95 D0.9（分数：4.00）A.B.C.D.8.下列极限中，不正确的是( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.掷两粒骰子，出现点数之和为 5的概率为( ) A B C D
3、（分数：4.00）A.B.C.D.10.要使 在 x=0处连续，应补充 f(0)等于( ) Ae -6 B-6 C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.若 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.函数 （分数：4.00）填空项 1:_15.若 （分数：4.00）填空项 1:_16.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_17.设函数 f(x)=lnx，则 （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1
4、:_20.某灯泡厂生产 25W电灯泡随机地抽取 7个进行寿命检查，结果如下(单位：小时)：1487，1394，1507，1528，1409，1587，1500，该产品的平均寿命估计是_，该产品的寿命方差是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_22.讨论 （分数：8.00）_23.设 （分数：8.00）_24.已知袋中有 8个球，其中 5个白球，3个红球从中任取一个球，不放回地取两次，设事件 A=第一次取到白球)，B=第二次取到白球)求 P(AB)（分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.设 f(x，y，z)=
5、xy 2z3，且 z=z(x，y)由方程 x2+y2+z2-3xyz=0确定，求（分数：10.00）_27.曲线 y=ex与 x轴、y 轴以及直线 x=4围成平面区域 OABC，试在区间(0，4)内找一点 x0，使直线 x=x0平分区域 OABC的面积（分数：10.00）_28.求曲线 y=x3-6xlnx的凹凸区间与拐点（分数：10.00）_专升本高等数学(二)-31 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.已知 f(x)在 x0处可导，且有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *，*f(x 0)=-22.设 f(x)=
6、xlnx，则 f(n)(x)(n2)等于( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因为 f(x)=lnx+1，*3.定积分 等于( )o Ao Bo Co D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 本题考查的知识点是定积分换元，在换元时，积分的上、下限一定要一起换因为*4.函数 y=f(x)在点 x=x0处取得极小值，则必有( ) Af“(x 0)0 Bf(x 0)=0 Cf(x 0)=0且 f“(x0)0 Df(x 0)=0或 f(x0)不存在（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由于不知 x0是否为 f(x)的驻点，虽然 f(x)在 x=x
7、0处取得极值，也不能选 A，B，C根据函数 f(x)在 x0取得极值的必要条件：若 f(x)在 x0可导，则 f(x0)=0或 f(x)在 x0不可导5.设函数 f(x)在a，b上连续，则下列结论不正确的是( ) A 是 f(x)的一个原函数 B 是 f(x)的一个原函数(axb) C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由于*6.下列定积分等于零的是( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于*中被积函数为奇函数，所以 C项定积分结果等于 07.甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次，其命中率依次为0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率是( ) A
8、0.94 B0.92 C0.95 D0.9（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 设 Ak表示第 k人击中目标(k=1，2，3)，目标被击中可表为 A1+A2+A3已知 P(A1)=0.5，P(A 2)=0.6，P(A 3)=0.7，且 A1，A 2，A 3相互独立，所以*=1-0.50.40.3=0.948.下列极限中，不正确的是( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 C 项中*，*不存在*是错误的9.掷两粒骰子，出现点数之和为 5的概率为( ) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 总的样本点为 66=36个，点数之和为 5
9、的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共 4个样本点，所求概率为*10.要使 在 x=0处连续，应补充 f(0)等于( ) Ae -6 B-6 C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *要使 f(x)在 x=0处连续，应补充 f(0)=-6二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 *-5k=-10，则 k=212. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 *13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ab）解析：分析 *，又 f(0)=a若 f(x)在x=0处间断
10、，则 ab14.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *则*15.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4 x）解析：分析 由*根据不定积分定义可知，有*故 (x)=4 x16.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=0）解析：分析 *y=0 是它的一条水平渐近线17.设函数 f(x)=lnx，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1-e-2）解析：分析 本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算因为*，则*，所以*注 f(e x)dxdf(e x)18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析
11、*注 根据奇函数在对称区间上积分为零，*；由偶函数在对称区间上积分性质与定积分的几何意义得*19.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *，*20.某灯泡厂生产 25W电灯泡随机地抽取 7个进行寿命检查，结果如下(单位：小时)：1487，1394，1507，1528，1409，1587，1500，该产品的平均寿命估计是_，该产品的寿命方差是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1487，3855）解析：分析 随机抽取的 7个数据构成一个样本，其平均值就是产品寿命的估计平均值为*根据样本方差的公式求出的产品寿命方差为*+(1507-1487)2+(15
12、28-1487)2+(1409-1487)2+(1587-1487)2+(1500-1487)2=*(0+8649+400+1681+6084+10000+169)=*269833855三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：分析 利用等价无穷小量代换，当 x0 时，tanxx，sinx 4x 4，*22.讨论 （分数：8.00）_正确答案：(令 f(x)=xe-x=0，得驻点 x=0当 x0 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 x0 时，f(x)0，f(x)单调减少由上面结果可知，f(x)在 x=0处有极小值 *令 f“(x)=(1-
13、x)e-x=0， 解得 x=1当 x1 时，f“(x)0，曲线 f(x)是凹的；当 x1 时，f“(x)0，曲线 f(x)是凸的故点(1，f(1)为拐点，而*故拐点为(1，1-2e -1)解析：分析 求函数的单调性，极值和拐点问题，通通需要对函数求导单调性与极值问题求一阶导数，拐点求二阶导数23.设 （分数：8.00）_正确答案：(设 y=arctanu，*)解析：分析 多层复合函数求导，*一定要注意：在导数的最后表达式中只能是 x的函数，而不能含有中间变量24.已知袋中有 8个球，其中 5个白球，3个红球从中任取一个球，不放回地取两次，设事件 A=第一次取到白球)，B=第二次取到白球)求 P
14、(AB)（分数：8.00）_正确答案：(因为 P(AB)=P(A) P(B|A)=*)解析：分析 事件 AB表示第一次取到白球且第二次也取到白球根据概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)，计算出 P(AB)25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(设*，则 dx=2costdt，故*)解析：分析 被积函数中有*，设x=asint，计算积分，最后一定要注意将t用反函数 -1(x)换回去，即反换元26.设 f(x，y，z)=xy 2z3，且 z=z(x，y)由方程 x2+y2+z2-3xyz=0确定，求（分数：10.00）_正确答案：(*方法一 用公式法求*设 F(x，y，z)=x 2+
15、y2+z2-3xyz，则*，所以*因此有*所以*方法二 用微分法求*对等式 x2+y2+z2-3xyz=0求微分得2xdx+2ydy+2zdz-3yzdx-3xzdy-3xydz=0解得 *比较*可得 *，下同方法一略)解析：分析 本题考查的知识点是隐函数求偏导隐函数求偏导常用的有两种方法：公式法和微分法直接求导的计算量比较大，建议考生熟练掌握公式法首先应求出*，此时的 z=z(x，y)是隐函数，需用隐函数求偏导的方法求出*27.曲线 y=ex与 x轴、y 轴以及直线 x=4围成平面区域 OABC，试在区间(0，4)内找一点 x0，使直线 x=x0平分区域 OABC的面积（分数：10.00）_
16、正确答案：(如图所示，*，*即*从而 *两部分的被积函数是一样的，主要的积分限是从 0到 x0与从 x0到 4，并分别计算积分值)解析：28.求曲线 y=x3-6xlnx的凹凸区间与拐点（分数：10.00）_正确答案：(函数定义域为(0，+)，y=3x2-6lnx-6*令 y“=0，得 x=1列表如下：x (0，1) 1 (1，+)y“ - 0 +y 凸 1 凹所以 y=x3-6xlnx在(0，1)内是凸的，在(1，+)内是凹的，点(1，1)为曲线的拐点)解析：分析 判定曲线 y=f(x)凹凸性及拐点，首先需求出该函数二阶导数为零或不存在的点，若二阶导数连续(二阶导数不存在的点除外)，只需判定二阶导数在上述点两侧是否异号若异号，则该点为曲线的拐点在 f“(x)0 的 x取值范围内，曲线 y=f(x)为凸的；在 f“(x)0 的x取值范围内，y=f(x)为凹的
