1、专升本高等数学(二)-19 及答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 y=f(c)在点 x0处的左、右极限存在且相等是函数在该点极限存在的( ) A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既非充分条件，也非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)=|(t-1)dt，则 f(x)有( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.若 f(x)0(axb)，且 f(b)0，则在(a，b)内必有( ) Af(x)0 Bf(x)0 Cf(x)=0 Df(x)可正可负（分数：4.00
2、）A.B.C.D.5.下列等式不成立的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)的一个原函数是 xlnx，则 f(x)的导函数是( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.（分数：4.00）A.B.C.D.8.（分数：4.00）A.B.C.D.9.图 5-1 所示的 f(x)在区间(a，b)上连续，则由曲线 y= f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的平面图形的面积 S 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.10.（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=ln(ex+co
3、sx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18. （分数：4.00）填空项 1:_19. （分数：4.00）填空项 1:_20. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：64.00)21. （分数：8.00）_22.设 y=ln cos(2x+1)，求 dy（分数：8.00）_23.设函数 f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，分别对 a=1 和 a1 两种情况求
4、f(x)的单调区间和极值（分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25. （分数：8.00）_26.设函数 z=z(x，y)由方程式 ez=xy2+sin(zy)确定，试求 dz（分数：8.00）_27. （分数：8.00）_28.一个袋子中有编号为 1，2，3，4，5 的 5 个球，从中任取 3 个球，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码，求随机变量 X 的分布列，并求 E(X)（分数：8.00）_专升本高等数学(二)-19 答案解析(总分：144.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 用变量代
5、换 u=x+y，v=xy 求出 f(u，v)的表达式，再写出 f(x，y)的表达式是常用的方法，但计算量较大更简捷的方法是凑变量法因为 f(x+y，xy)=x 2+y2=(x+y)2-2xy，所以 f(x，y)=x 2+2y，则有*=2x-2故选 A2.函数 y=f(c)在点 x0处的左、右极限存在且相等是函数在该点极限存在的( ) A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既非充分条件，也非必要条件（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 根据极限存在定理可知选 C3.设函数 f(x)=|(t-1)dt，则 f(x)有( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 本题主要考查极
6、限的充分条件本题可以先积分，求出 f(x)，然后再求其极值最简捷的方法是利用变上限定积分先求出*选 D4.若 f(x)0(axb)，且 f(b)0，则在(a，b)内必有( ) Af(x)0 Bf(x)0 Cf(x)=0 Df(x)可正可负（分数：4.00）A. B.C.D.解析：提示 利用函数单调的定义因为 f(x)0(axb)，则 f(x)在区间(a，b)内单调下降，即 f(x)f(b)0故选 A5.下列等式不成立的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 利用重要极限的结构式，可知选项 C 不成立6.设 f(x)的一个原函数是 xlnx，则 f(x)的导函数是( )（分数：4
7、.00）A.B.C. D.解析：提示 根据原函数的定义及导函数的概念，则有*所以选 C7.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：提示 先用复合函数求导，再求*因为*则*当 x=2 时，得*，故选 B8.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分*9.图 5-1 所示的 f(x)在区间(a，b)上连续，则由曲线 y= f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的平面图形的面积 S 等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 注意到定积分的几何意义是曲边梯形的面积，而面积不能为负值，因此所有的 f(x)必须为正值，则有*如果分
8、段积分，也可以写成：*10.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 绝对值求导的关键是去绝对值符号，然后根据分段函数求导数因为*所以*二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：分析 本题是“*”型不定式注意到 x1 时分子(x-1)0，而分式的极限值是*，所以必有分母当 x1 时其极限值为 0，即lim(x2+ax-6)=1+a-6=0，即 a=512.设 y=ln(ex+cosx)，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 用复合函数求导公式计算*13. （分数：4.00）填空项 1:_
9、（正确答案：*）解析：提示 利用变上限函数的求导公式求出*，再求甲*变上限函数的求导是重要的考点之一，望考生注意因为*则*14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2xe x2）解析：提示 本题考查的知识点是函数概念及复合函数求导注意到 f(x)=ex的结构式是 f(变量)=e (变量) ，因此*所以*15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题考查的知识点是由函数的 n-2 阶导数求 n 阶导数由于*16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 用凑微分法积分可得答案*17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）
10、解析：提示* *所以*18. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：提示 利用广义积分计算，再确定 a 值因为*即*19. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln|x+1|-ln|x+2|+C）解析：分析 本题考查的知识点是有理分式的积分法简单有理函数的积分，经常将其写成一个整式与一个分式之和，或写成两个分式之和(如本题)，再进行积分*20. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：提示 用对数函数的性质化简得 z=lnx+lny，再求偏导得*三、解答题(总题数：8，分数：64.00)21. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是“-”
11、型不定式极限的计算)解析：分析 “-”型不定式极限应化为*型或*型不定式极限后再求解本题只需“有理化”，即化为*型，再消去“”因子即可解*注意 本题的函数不是连续函数，所以化为“*”型后不能用洛必达法则求解22.设 y=ln cos(2x+1)，求 dy（分数：8.00）_正确答案：(用复合函数求导公式求出 y，再写出 dy 解*所以 dy=-2tan(2x+1)dx.)解析：23.设函数 f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，分别对 a=1 和 a1 两种情况求 f(x)的单调区间和极值（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是对不同的。值判定函数单调性及求其极值解 因为 f(x)
12、=6x2-6x(a-1)(1)当 a=1 时*内 f(x)单调递增，且无极值(2)当 a1 时，*因为 f”(x)=62x-(a-1)，f”(0)0，所以 f(a-1)=1-(a-1)3为极小值本题也可列表进行解答：x (-，0) 0 (0，a-1) a-1 (a-1，+)f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 )解析：24. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是分部积分法和原函数的概念解 由已知条件可知*所以*)解析：25. （分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点有定积分的变量代换和常见的证明方法)解析：分析 注意到等式两边的积分限一样，只是被积函数的变
13、量不一样，所以对等式右端考虑用变量代换 t=a+b-x 即可得到证明这里一定要注意积分的上、下限应跟着一起换，而且定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即*证 令 a+b-x=2，则 dx=-dtx=0 时，t=b；x=b 时，t=a所以*请考生注意：如果取 a 和 b 为某一定值，本题可以衍生出很多证明题：(1)取 a=1，b=2，则有：证明*(2)取 a=0，b=1，则有：(i)若 f(x)为(-，+)内连续的偶函数，证明*(ii)若 f(x)为(-，+)内连续的奇函数，证明*(3)类似的证明题如：f(x)在0，1上连续，证明*这种举一反三的学习方法不仅能开拓考生的思路，而且能极大地提高
14、考生的解题能力26.设函数 z=z(x，y)由方程式 ez=xy2+sin(zy)确定，试求 dz（分数：8.00）_正确答案：(本题主要考查对隐函数偏导数的求解方法和对全微分概念的理解求隐函数偏导数的方法有以下三种解法一公式法设*则*代入公式得* 所以*解法二 直接求微分法将等式两边求微分得d(ez)=d(xy2)+d sin(zy)，e xdz=y2dx+2xydy+cos(zy)(ydz+zdy)，所以*解法二显然比解法一简捷，但要求考生对微分运算很熟练解法三 隐函数求导法将等式两边对 x 求导，此时的 z=z(x，y)，则有*同理，有*分别解出*)解析：27. （分数：8.00）_正确
15、答案：(本题的关键是求出切线与坐标轴的交点解 如图 5-2 所示，因为*，所以切线方程为*，设切线与两坐标轴的交点分别为(a，0)(0，6)，由切线方程可得*所截线段长度的平方为*上式两边对 x0 求导得*由于只有唯一的驻点，所以*必为所求，所以点 Mo 的坐标为*)解析：28.一个袋子中有编号为 1，2，3，4，5 的 5 个球，从中任取 3 个球，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码，求随机变量 X 的分布列，并求 E(X)（分数：8.00）_正确答案：(本题考查的知识点是随机变量 X 的分布列的概念及数学期望的计算解 一次取 3 个球的最大号码只能是 3，4，5当 X 取 3 时其样本点数为 1(只能是 1，2，3 一种)而 X 取 4和 5 时，其样本点数分别为*，而样本空间中的样本点数为*，所以 P(X= *则*请考生注意：检查随机变量分布列正确与否的一个重要方法是：查看所求得的分布列是否满足规范性：P1+P2+P3+P4+P5+是否等于 1，如果不等于 1，此题肯定计算错误)解析：
