1、专升本高等数学(二)-146 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第卷(总题数：10，分数：40.00)1.下列极限等于 1 的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 y=|x|+1 在 x=0 处_（分数：4.00）A.无定义B.不连续C.连续但是不可导D.可导3.函数 y= （分数：4.00）A.单调减少B.单调增加C.不增不减D.有增有减4.函数 f(x)=x 4 -24x 2 +6x 在定义域内的凸区间是_（分数：4.00）A.(-，0)B.(-2，2)C.(0，+)D.(-，+)5._ （分数：4.00）A.2B.4C.8D.166.积
2、分 （分数：4.00）A.-1B.0C.1D.27.若 ，则 k 等于_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 z=xe xy ，则 （分数：4.00）A.xyexyB.x2exyC.exyD.(1+xy)exy9.设函数 z=lnxy+e x2y ，则 =_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.10.把两封信随机地投入标号为 1，2，3，4 的 4 个邮筒中，则 1，2 号邮筒各有一封信的概率等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、第卷(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）12.y=arctane x ，则 y“| x=0 = 1
3、. （分数：4.00）13.设 y=y(x)由 x 2 +2xy-y 2 =2x 确定，且 y| x=2 =0，则 y“| x=2 1 （分数：4.00）14.曲线 x 2 +y 2 =2x 在点(1，1)处的切线方程为 1 （分数：4.00）15.曲线 y=x 3 -3x 3 +2x+1 的拐点是 1 （分数：4.00）16. （分数：4.00）17.sin2xcosxdx= 1 （分数：4.00）18. （分数：4.00）19. （分数：4.00）20.若 z=in(x+e y )，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_22.求极限
4、 （分数：8.00）_23.求 （分数：8.00）_24.设 f“存在，z= f(xy)+yf(x+y)，求 （分数：8.00）_25.一个袋子中有 5 个球，编号为 1，2，3，4，5，同时从中任取 3 个，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码，求随机变量 X 的概率分布 （分数：8.00）_26.求 y=f(x)=2x 3 -3x 2 -12x+14 的极值点和极值，以及函数曲线的凸凹性区间和拐点 （分数：10.00）_27.设 z=sin(xy 2 )+e x2y ，求 dz （分数：10.00）_28.当 x0 时，证明：e x 1+x （分数：10.00）_专升本高等数学(二)-
5、146 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第卷(总题数：10，分数：40.00)1.下列极限等于 1 的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 本题考查了极限的知识点 (arctanx 是有界函数)， (用无穷小代换：arctanxx(x0)， 2.函数 y=|x|+1 在 x=0 处_（分数：4.00）A.无定义B.不连续C.连续但是不可导 D.可导解析：考点 本题考查了函数在一点可导、连续的性质的知识点 从四个选项的内容来看，我们可以一步一步地处理，x=0 时，y=1， (|x|+1)=1，故 f(x)在 x=0 处连续 y 在 x=0
6、的可导性可从左右导数出发进行讨论 3.函数 y= （分数：4.00）A.单调减少B.单调增加C.不增不减D.有增有减 解析：考点 本题考查了函数的单调性的知识点 因为 y= (e x +e -x )，所以 y“= 4.函数 f(x)=x 4 -24x 2 +6x 在定义域内的凸区间是_（分数：4.00）A.(-，0)B.(-2，2) C.(0，+)D.(-，+)解析：考点 本题考查了函数的凸区间的知识点 因为 f(x)=x 4 -24x 2 +6x，则 f“(x)=4x 3 -48x+6，f“(x)=12x 2 -48=12(x 2 -4)，令 f“(x)0，有 x 2 -40，于是-2x2，
7、即凸区间为(-2，2)5._ （分数：4.00）A.2B.4C.8D.16 解析：考点 本题考查了定积分的换元积分法的知识点 解法 1： 解法 2： 因 ，于是 f(x)=2x 3 ，从而 6.积分 （分数：4.00）A.-1B.0 C.1D.2解析：考点 本题考查了定积分的知识点 解法 1： 因 为奇函数，故由积分性质知， 解法 2： 7.若 ，则 k 等于_ A B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查了无穷区间的反常积分的知识点 8.设 z=xe xy ，则 （分数：4.00）A.xyexyB.x2exyC.exyD.(1+xy)exy 解析：考点 本题考查了二元函数
8、的一阶偏导数的知识点 因 z=xe xy ，所以 9.设函数 z=lnxy+e x2y ，则 =_ A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 本题考查了二元函数的一点处的一阶偏导数的知识点 注：也可先将 x=1 代入，则 z| (1，y) =lny+e y ，则 10.把两封信随机地投入标号为 1，2，3，4 的 4 个邮筒中，则 1，2 号邮筒各有一封信的概率等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查了古典概率的知识点 因两封信投向四个由筒共有的投法(可重复排列)为 n=4 2 =16；满足 1，2 号由筒各有一封信的投法为 k= =2，故
9、所求概率为 二、第卷(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）解析：e -6 考点 本题考查了 的应用的知识点 12.y=arctane x ，则 y“| x=0 = 1. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了一元函数在一点处的一阶导数的知识点 由 ，令 x=0则 13.设 y=y(x)由 x 2 +2xy-y 2 =2x 确定，且 y| x=2 =0，则 y“| x=2 1 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了隐函数在一点处的一阶导数的知识点 x 2 +2xy-y 2 =2x 两边对 x 求导(注意 y 是 x 的函数)， 因 2x+2y+2xy“-2yy“=2
10、， 故 令 x=2，且 y| x=2 =0，则 14.曲线 x 2 +y 2 =2x 在点(1，1)处的切线方程为 1 （分数：4.00）解析：y=1 考点 本题考查了曲线上一点处的切线方程的知识点 由 x 2 +y 2 =2x，两边对 x 求导得 2x+2yy“=2，取 x=1，y=1，则 y“| x=1 =0，所以切线方程为 y=115.曲线 y=x 3 -3x 3 +2x+1 的拐点是 1 （分数：4.00）解析：(1，1) 考点 本题考查了曲线的拐点的知识点 y“=3x 2 -6x+2，y“=6x-6，令 y“=0，得 x=1则当 x1 时，y“0；当 x1 时，y“0又因 x=1 时
11、y=1，故点(1，1)是拐点(因 y=x 3 -3x 2 +2x+1 在(-，+)上处处有二阶导数，故没有其他形式的拐点)16. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了不定积分的知识点 17.sin2xcosxdx= 1 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了不定积分的知识点 sin2xcosxdx=2sinxcos 2 xdx=-2cos 2 xdcosx=-2 cos 3 x+C=- 18. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了定积分的知识点 注：本题可另解如下：令 =t，则 x= (10-t 2 ) 所以 19. （分数：4.00）解析：1 考点 本题考查了定积分的分部积分
12、法的知识点 20.若 z=in(x+e y )，则 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点 因 z=ln(x+e y )，则 ， 三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 注：本题也可用洛必达法则求解 本题还可用变量代换求解如下：令 =t， 22.求极限 （分数：8.00）_正确答案：()解析：23.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：24.设 f“存在，z= f(xy)+yf(x+y)，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：25.一个袋子中有 5 个球，编号为 1，2，3，4，5，同时从中任取
13、 3 个，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码，求随机变量 X 的概率分布 （分数：8.00）_正确答案：()解析：依题意，随机变量 X 只能取值 3，4，5；日 PX=3= ； 所以 X 的概率分布为 26.求 y=f(x)=2x 3 -3x 2 -12x+14 的极值点和极值，以及函数曲线的凸凹性区间和拐点 （分数：10.00）_正确答案：()解析：y“=6x 2 -6x-12，y“=12x-6， 令 y“=0 得驻点 x 1 =-1，x 2 =2， 当 x 2 =2 时，y“=180所以 f(x)在 x=2 处取极小值-6 当 x 1 =-1 时，y“0所以 f(x)在 x=-1 处
14、取极大值 21 又令 y“=0，得 时，y“0，从而曲线为凸的， 即函数曲线的凸区间为 时，y“0，从而曲线为凹的，即函数曲线的凹区间为 ；又因 ，故曲线的拐点为 27.设 z=sin(xy 2 )+e x2y ，求 dz （分数：10.00）_正确答案：()解析：28.当 x0 时，证明：e x 1+x （分数：10.00）_正确答案：()解析：证法 1：在0，x上令 F(x)=e x ，则使用拉格朗日定理得 F(x)-F(0)=F“()(x-0)，(0，x)，即 e x -1=e x。 由于 e 1，所以 e x -1x，即 e x 1+x 证法 2：令 G(x)=e x -1-x，则 G“(x)=e x -1，故在0，x内 G“(x)0， 所以在0，x上 G(x)单调递增，由 G(0)=0，得 x0 时，G(x)0， 即 e x -1-x0。亦即 e x 1+x
