1、专升本高等数学(二)-120 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 （分数：4.00）A.x=-2B.x=-1C.x=1D.x=02.设 f(x)在 x 0 及其邻域内可导，且当 xx 0 时 f“(x)0，当 xx 0 时 f“(x)0，则必有 f“(x 0 )_（分数：4.00）A.小于 0B.等于 0C.大于 0D.不确定3.设 ，则 y“=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)=sin(x 2 )+e -2x ，则 f“(x)等于_（分数：4.00）A.cos(x2)+2e-2x
2、B.2xcos(x2)-2e-2xC.-2xcos(x2)-e-2xD.2xcos(x2)+e-2x5.函数 f(x)的导函数 f“(x)的图像如下图所示，则在(-，+)内 f(x)的单调递增区间是_ （分数：4.00）A.(-，-1)B.(-，0)C.(0，1)D.(-1，+)6.若f(x)dx=xe -x +C，则 等于_ Axlnx+C B-xlnx+C C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f“(x)=cosx+x，则 f(x)等于_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)为连续的偶函数，且 F(x)= （分数：4.00）A.F(x)B.-F(x)C.0
3、D.2F(x)9.设函数 z=f(x+y)+f(x-y)，其中 f为可导函数，则 （分数：4.00）A.f“(x+y)+f“(x-y)B.f“(x+y)-f“(x-y)C.2f“(x+y)D.2f“(x-y)10.若事件 A发生必然导致事件 B发生，则事件 A和 B的关系一定是_ AA B BA （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设函数 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设函数 （分数：4.00）14.设函数 y=ln(1+x 2 )，则 dy= 1 （分数：4.00）15.设函数 y=x 5 ，则 y (5) | x=0 =
4、1 （分数：4.00）16. （分数：4.00）17.设函数 f(x)=lnx，则 （分数：4.00）18. （分数：4.00）19.设 ，则 （分数：4.00）20.由曲线 y=x和 y=x 2 围成的平面图形的面积 S= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：8.00）_22.设函数 （分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.设 f(x)的一个原函数为 arctanx，求x 2 f(x)dx （分数：8.00）_设随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 a 0.4 （分数：8.00）(1).求常数 a（分数
5、：4.00）_(2).求 X的数学期望 E(X)（分数：4.00）_25.当 x0 时，证明：e x 1+x （分数：10.00）_26.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：10.00）_27.求二元函数 （分数：10.00）_专升本高等数学(二)-120 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 （分数：4.00）A.x=-2B.x=-1C.x=1D.x=0 解析：解析 本题主要考查间断点的概念 读者若注意到初等函数在定义区间内是连续的结论，可知选项 A、B、C 都不正确，所以应选 D2.设 f(x)在 x
6、0 及其邻域内可导，且当 xx 0 时 f“(x)0，当 xx 0 时 f“(x)0，则必有 f“(x 0 )_（分数：4.00）A.小于 0B.等于 0 C.大于 0D.不确定解析：解析 本题主要考查函数在点 x 0 处取到极值的必要条件：若函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，且 x 0 为 f(x)的极值点，则必有 f“(x 0 )=0 本题虽未直接给出 x 0 是极值点，但是根据已知条件及极值的第一充分条件可知 f(x 0 )为极大值，故选B 考生必须注意的是：题目中的条件 f(x)在点 x 0 的邻域内可导是不可少的，否则相应的结论 f“(x 0 )=0不一定正确这是因为极值可以在
7、导数不存在的点处取到，如 3.设 ，则 y“=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式 因为 4.设函数 f(x)=sin(x 2 )+e -2x ，则 f“(x)等于_（分数：4.00）A.cos(x2)+2e-2xB.2xcos(x2)-2e-2x C.-2xcos(x2)-e-2xD.2xcos(x2)+e-2x解析：解析 本题主要考查复合函数的求导计算 求复合函数导数的关键是理清其复合过程：第一项是 sinu，u=x 2 ；第二项是 e v ，v=-2x利用求导公式可知 f“(x)=sin(x 2 )“+(e -2x
8、)“=cos(x 2 )(x 2 )“+e -2x (-2x)“ =2xcos(x 2 )-2e -2x 5.函数 f(x)的导函数 f“(x)的图像如下图所示，则在(-，+)内 f(x)的单调递增区间是_ （分数：4.00）A.(-，-1)B.(-，0)C.(0，1)D.(-1，+) 解析：解析 本题考查的知识点是根据一阶导数 f“(x)的图像来确定函数曲线的单调区间 因为在 x轴上方 f“(x)0，而 f“(x)0 的区间为 f(x)的单调递增区间，所以选 D6.若f(x)dx=xe -x +C，则 等于_ Axlnx+C B-xlnx+C C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析
9、：解析 本题考查的知识点是不定积分的概念和换元积分的方法 对于不定积分的积分公式如cosxdx=sinx+C，考生应该更深一层次地理解为其结构式是cossd=sin+C式中的方块“”既可以是变量 x，也可以是 x的函数式，例如 = ， 只要符合上述结构式的函数或变量，均有上面的积分公式成立其他的积分公式也有完全类似的结构式如果将上述式子内的函数的微分写出来，则有：cos(x 2 )d(x 2 )=2xcos(x 2 )dx及 ，如果在试题中将等式右边部分拿出来，这就需要用凑微分法(或换元积分法)将被积表达式写成能利用公式的不定积分的结构式，从而得到所需的结果或答案考生如能这样深层次理解基本积分
10、公式，则无论是解题能力还是计算能力与水平都会有一个较大层次的提高 基于上面对积分结构式的理解，本题亦为： 已知f()d=e - +C，则 等于_ 由于 ，此时=lnx，所以 =lnx 7.设 f“(x)=cosx+x，则 f(x)等于_ A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查的知识点是已知导函数求原函数的方法 f(x)=f“(x)dx=(cosx+x)dx=sinx+ 8.设 f(x)为连续的偶函数，且 F(x)= （分数：4.00）A.F(x)B.-F(x) C.0D.2F(x)解析：解析 利用 f(-x)=f(x)及 F(-x)= ，作变量代换 t=-u，则 9.
11、设函数 z=f(x+y)+f(x-y)，其中 f为可导函数，则 （分数：4.00）A.f“(x+y)+f“(x-y)B.f“(x+y)-f“(x-y)C.2f“(x+y) D.2f“(x-y)解析：解析 本题考查的知识点是二元复合函数偏导数的求法 本题只需将 z=f(x+y)+f(x-y)写成 z=f(u)+f(v)，其中 u=x+y，v=x-y，同时利用复合函数求偏导数公式 和 10.若事件 A发生必然导致事件 B发生，则事件 A和 B的关系一定是_ AA B BA （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查的知识点是事件关系的概念 根据两个事件相互包含的定义，可知选项 A正确
12、二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设函数 （分数：4.00）解析： 解析 利用函数在点 x 0 连续的定义 ，则有 12. （分数：4.00）解析： 解析 利用重要极限的结构式，则有 13.设函数 （分数：4.00）解析：解析 用复合函数求导公式计算可得答案注意 ln2是常数14.设函数 y=ln(1+x 2 )，则 dy= 1 （分数：4.00）解析： 解析 用复合函数求导公式求出 y“，再写出 dy 因为 ， 所以 15.设函数 y=x 5 ，则 y (5) | x=0 = 1 （分数：4.00）解析：120 解析 (x 5 ) (5) =5!16. （分数：4.00）解析
13、： 解析 用凑微分法积分 17.设函数 f(x)=lnx，则 （分数：4.00）解析：e -1 -e -2 解析 本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算 因为 ，则 ，所以 18. （分数：4.00）解析：1 解析 利用偶函数在对称区间定积分的性质，则有 19.设 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 对于对数函数应尽可能先化简以便于求导因为 ， 则 也可以将函数写成 ，则 20.由曲线 y=x和 y=x 2 围成的平面图形的面积 S= 1 （分数：4.00）解析： 解析 画出平面图形如下图阴影部分所示，则 三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：8.00）_正确答案：
14、()解析： 考生需要注意这种题型的变化由于 ， 尽管其形式不一样，但它都可以直接化为重要极限的形式： ， 而 对于 ，可以视为 与 的两个极限式相乘的形式如果熟练掌握了重要极限的结构式，就可以很容易地求解与它们相关的题目了 解析 本题考查的知识点是重要极限 对于重要极限： ，它的结构式为 ，式中的“”既可以是 x，又可以是 x的函数，只要当 xx 0 (或)时方块“”0，满足上述结构式的极限为 e例如： 22.设函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因为 ， 所以 23.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 24.设 f(x)的一个原函数为 arctanx，求x 2 f(x)
15、dx （分数：8.00）_正确答案：()解析：因为 ，所以 设随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 a 0.4 （分数：8.00）(1).求常数 a（分数：4.00）_正确答案：()解析：因为 0.2+0.3+a+0.4=1，所以 a=0.1(2).求 X的数学期望 E(X)（分数：4.00）_正确答案：()解析：E(X)=10.2+20.3+30.1+40.4=2.7 解析 本题考查的知识点是随机变量分布列的规范性及数学期望的求法 利用分布列的规范性可求出常数 a，再用公式求出 E(X)25.当 x0 时，证明：e x 1+x （分数：10.00）_正确答案：()解
16、析：证明 设 f(x)=e x -1-x，则 f(0)=0因为 f“(x)=e x -1，当 x0 时，f“(x)0，所以 f(x)是单调增加函数即 x0 时，f(x)f(0)，即 e x -1-x0，所以 e x x+1 解析 本题考查的知识点是用函数的单调性证明不等式的方法 通常情况下是将不等式写成一个函数 f(x)=e x -x-1，证明 f“(x)0(或 f“(x)0)，再根据单调性知，f(x)f(0)=026.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：10.00）_正确答案：()解析：设池底半径为 r，池高为 h(如下图)，则 ，得 又设制造成本为 S，则 ， 令 S“=0，得驻点 r=1 因为 ， 所以 r=1为唯一的极小值点，即为最小值点 所以，底半径为 1m，高为 27.求二元函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为 ， 由方程组 解得 x=5，y=2 由于 ， 所以 ， 则 ， 所以，点(5，2)为极小值点，极小值为
