1、专升本高等数学(一)分类模拟一元函数微分学(四)及答案解析(总分：38.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.下列函数在 x=0处不可导的是_ A （分数：3.00）A.B.C.D.2.函数 y=e x +arctan x在区间-1，1上_（分数：1.00）A.单调递减B.单调递增C.无最大值D.无最小值3.设函数 f(x)在点 x=1处可导，且 ，则 f“(1)等于_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-100)，则 f“(0)等于_（分数：3.00）A.-100B.0C.100D.100!5.函
2、数 y=e -x 在定义域内是严格单调_（分数：1.00）A.递增且上凹的B.递增且下凹的C.递减且上凹的D.递减且下凹的6.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)等于_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.设 （分数：1.00）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点8.曲线 y=6x-24x 2 +x 4 的下凹区间是_（分数：1.00）A.(-2，2)B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)二、填空题(总题数：10，分数：10.00)9.设 y=xe x ，则 y“
3、(0)= 1 （分数：1.00）10.设函数 （分数：1.00）11.曲线 （分数：1.00）12.曲线 （分数：1.00）13.设 y=e cosx ，则 y“= 1 （分数：1.00）14.设 （分数：1.00）15.设 y (n-2) =a x +x a +a a (其中 a0，a1)，则 y (n) = 1 （分数：1.00）16.设 f(x)=x 3 ln x，则 f“(1)= 1 （分数：1.00）17.若函数 y=f(x)在点 x 0 处的二阶导数 f“(x 0 )存在，且点(x 0 ，y 0 )为拐点，则 f“(x 0 ，y 0 )= 1 （分数：1.00）18.设 y=cos
4、(e -x )，则 y“(0)= 1 （分数：1.00）三、解答题(总题数：6，分数：13.50)求下列函数的导数：（分数：4.00）(1).y=(3x-1) 5 ；（分数：0.50）_(2).y=ln(x 2 +sin x)：（分数：0.50）_(3).； （分数：0.50）_(4).y=e sin(x2-2x+1) ；（分数：0.50）_(5).y=ln ln(2x)；（分数：0.50）_(6).； （分数：0.50）_(7).y=cos 3 x 2 ；（分数：0.50）_(8). （分数：0.50）_求下列极限：（分数：4.00）(1).； （分数：0.50）_(2).； （分数：0.5
5、0）_(3).； （分数：0.50）_(4).； （分数：0.50）_(5).； （分数：0.50）_(6).； （分数：0.50）_(7).； （分数：0.50）_(8). （分数：0.50）_19.设函数 f(x)=e x ，g(x)=sin x，且 y=f(g“(x)，求 （分数：0.50）_求由下列方程所确定的隐函数 y=y(x)的导数：（分数：2.00）(1).e x -e y =sin(xy)；（分数：0.50）_(2).y 3 =x+arccos(xy)；（分数：0.50）_(3).x 2 -2xy+y 3 =0；（分数：0.50）_(4).x 2 =ln(x+y)+y（分数：0
6、.50）_求下列函数在给定点处的微分值：（分数：2.50）(1).； （分数：0.50）_(2).y=sin 2x-cos 3 x，x=0，x=0.01；（分数：0.50）_(3).，x=0，x=0.01； （分数：0.50）_(4).y=sin ln x，x=1，x=0.02；（分数：0.50）_(5).，x=e，x=0.01 （分数：0.50）_20.设 （分数：0.50）_四、证明题(总题数：1，分数：-1.00)21.当 x0 时，试证不等式 （分数：-1.00）_专升本高等数学(一)分类模拟一元函数微分学(四)答案解析(总分：38.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，
7、分数：16.00)1.下列函数在 x=0处不可导的是_ A （分数：3.00）A. B.C.D.解析：2.函数 y=e x +arctan x在区间-1，1上_（分数：1.00）A.单调递减B.单调递增 C.无最大值D.无最小值解析：3.设函数 f(x)在点 x=1处可导，且 ，则 f“(1)等于_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：4.设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-100)，则 f“(0)等于_（分数：3.00）A.-100B.0C.100D.100! 解析：由导数乘积运算法则 f“(x)=(x-1)(x-2)(x-100)+x(x-2)(x-100)+x
8、(x-1)(x-2)(x-99)，除第一项以外，每项都含有因子 x，当 x=0时，这些项必定为 0因此 f“(0)=(-1)(-2)(-100)=(-1) 100 100!=100!，故选 D5.函数 y=e -x 在定义域内是严格单调_（分数：1.00）A.递增且上凹的B.递增且下凹的C.递减且上凹的 D.递减且下凹的解析：6.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)等于_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：令 u=cos 2 x，则 sin 2 x=1-cos 2 x=1-u，因题设有 f“(u)=1-u，从而 由于 f(0)=0=
9、C，故 7.设 （分数：1.00）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点 C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点解析：8.曲线 y=6x-24x 2 +x 4 的下凹区间是_（分数：1.00）A.(-2，2) B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)解析：二、填空题(总题数：10，分数：10.00)9.设 y=xe x ，则 y“(0)= 1 （分数：1.00）解析：210.设函数 （分数：1.00）解析：2，大，11.曲线 （分数：1.00）解析：27x-3y-79=012.曲线 （分数：1.00）解析：y=-313.设 y=e cosx ，则 y“= 1
10、（分数：1.00）解析：e cosx (sin 2 x-cos x)14.设 （分数：1.00）解析：2xcos x 2 令 15.设 y (n-2) =a x +x a +a a (其中 a0，a1)，则 y (n) = 1 （分数：1.00）解析：a x ln 2 a+a(a-1)x a-2 y (n-1) =(y (n-2) )“=a x ln a+ax a-1 ， y (n) =(y (n-1) )“=a x ln 2 a+a(a-1)x a-2 16.设 f(x)=x 3 ln x，则 f“(1)= 1 （分数：1.00）解析：517.若函数 y=f(x)在点 x 0 处的二阶导数
11、f“(x 0 )存在，且点(x 0 ，y 0 )为拐点，则 f“(x 0 ，y 0 )= 1 （分数：1.00）解析：018.设 y=cos(e -x )，则 y“(0)= 1 （分数：1.00）解析：sin 1三、解答题(总题数：6，分数：13.50)求下列函数的导数：（分数：4.00）(1).y=(3x-1) 5 ；（分数：0.50）_正确答案：()解析：y“=15(3x-1) 4 ；(2).y=ln(x 2 +sin x)：（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(3).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(4).y=e sin(x2-2x+1) ；（分数：0.50）_正确答
12、案：()解析：y“=2(x-1)cos(x 2 -2x+1)e sin(x2-2x+1) (5).y=ln ln(2x)；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(6).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(7).y=cos 3 x 2 ；（分数：0.50）_正确答案：()解析：y“=-6xsin x 2 cos 2 x 2(8). （分数：0.50）_正确答案：()解析：求下列极限：（分数：4.00）(1).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：“ ”型(2).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：“ ”型(3).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：“ ”型先
13、对分母进行等价无穷小代换， (4).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：“ ”型先进行变换，令 ，则 x0 + 时，t+ 注意此处不能将 换为 (5).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：“ ”型注意当 x2 + 时，cos xcos 20，因此不要将 cos x参与洛必达法则运算 (6).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：“ ”型原式(7).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：“-”型(8). （分数：0.50）_正确答案：()解析：“0”型19.设函数 f(x)=e x ，g(x)=sin x，且 y=f(g“(x)，求 （分数：0.50）_正确答案：()
14、解析：因为 g“(x)=cos x，所以 y=f(cos x)=e cos x ，则 求由下列方程所确定的隐函数 y=y(x)的导数：（分数：2.00）(1).e x -e y =sin(xy)；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(2).y 3 =x+arccos(xy)；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(3).x 2 -2xy+y 3 =0；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(4).x 2 =ln(x+y)+y（分数：0.50）_正确答案：()解析：求下列函数在给定点处的微分值：（分数：2.50）(1).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：-0.15；(2)
15、.y=sin 2x-cos 3 x，x=0，x=0.01；（分数：0.50）_正确答案：()解析：02；(3).，x=0，x=0.01； （分数：0.50）_正确答案：()解析：0；(4).y=sin ln x，x=1，x=0.02；（分数：0.50）_正确答案：()解析：02；(5).，x=e，x=0.01 （分数：0.50）_正确答案：()解析：20.设 （分数：0.50）_正确答案：()解析：由于 四、证明题(总题数：1，分数：-1.00)21.当 x0 时，试证不等式 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：乍看所给不等式并不是函数的增量与自变量的增量之间的关系式，为了利用拉格朗日中值定理证明所给不等式，可以先将不等式变形，化为函数的增量与自变量增量之间关系式 由于 ln 1=0，因此 ln(1+x)=ln(1+x)-ln 1而 x=(1+x)-1从而可取 y=ln(1+t)，a=0，b=x则y=ln(1+t)在区间0，x上满足拉格朗日中值定理 由定理可知，至少存在一点 ，0x，满足 f(b)-f(a)=f“()(b-a)， 而 f(t)=ln(1+t)， ， 因此有 由于 0x，因此 ， 进而知
