1、专升本高等数学(一)分类模拟一元函数微分学(一)及答案解析(总分：58.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：19.00)1.下列函数中在区间-1，1上满足罗尔中值定理条件的是_ A （分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)=e 2x-1 ，则 f(x)在 x=0 处的二阶导数 f“(0)等于_ A.0 B.e-1 C.4e-1 D.e（分数：3.00）A.B.C.D.3.函数 y=|x|+1 在 x=0 处_（分数：3.00）A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导4.以下结论正确的是_（分数：1.00）A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f“
2、(x)的极值点B.若 x0 点为函数 f(x)的驻点，则 x0 必为 f(x)的极值点C.若函数 f(x)在点 x0 处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f“(x0)=0D.若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f“(x0)一定存在5.直线 l 与 x 轴平行，且与曲线 y=x-e x 相切，则切点的坐标是_（分数：1.00）A.(1，1)B.(-1，1)C.(0，-1)D.(0，1)6.下列函数在 x=0 处可导的是_ Ay=|x| By=x 3 C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.已知函数 f(x)在点 x 0 可导，且 （分数：3.00）A.-4B.-2C.2D.48.函数
3、 y=ln(1+x 2 )的单调递增区间是_（分数：1.00）A.(-5，5)B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)9.函数 y=x-arctan x 在(-，+)内是_（分数：1.00）A.单调递增B.单调递减C.不单调D.不连续二、填空题(总题数：9，分数：9.00)10.函数 （分数：1.00）11.函数 y=2 x2 的单调增加区间为 1 （分数：1.00）12.设 f(x)=(1+x 2 )arctanx，则 f“(0)= 1 （分数：1.00）13.设 （分数：1.00）14.设 f(2x)=ln x，则 f“(x)= 1 （分数：1.00）15.设 （分数：1.00）16.设
4、 y=sin ln x 2 ，则 y“= 1 （分数：1.00）17.设 （分数：1.00）18.设函数 （分数：1.00）三、解答题(总题数：19，分数：31.50)19.欲围一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6 元，其余三面是每平方米 3 元问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最少? （分数：13.00）_20.求 （分数：0.50）_21.设 （分数：0.50）_22.求曲线 y=x 3 -3x+1 的拐点 （分数：0.50）_23.设 f(x)=ln(1+x 2 )，求 f“(-1) （分数：0.50）_(1).设 x 2 +xy+y 2 =
5、3，求 dy，dy| x=1 ；（分数：0.50）_(2).设 y=y(x)是由 xy=e x-y 所确定，求 dy（分数：0.50）_设曲线 y=x 2 +1 上一点(x 0 ，y 0 )处的切线 l 平行于直线 y=2x+1，（分数：1.00）(1).求切点(x 0 ，y 0 )；（分数：0.50）_(2).求切线 l 的方程（分数：0.50）_24.求曲线 （分数：0.50）_25.试从 导出 （分数：0.50）_26.设 （分数：0.50）_27.设 （分数：0.50）_求下列函数微分：（分数：4.00）(1).； （分数：0.50）_(2).y=sec x-tan x；（分数：0.5
6、0）_(3).y=sin 3 x-cos 3x；（分数：0.50）_(4).； （分数：0.50）_(5).y=e x arctan x；（分数：0.50）_(6).y=arcsin e x ：（分数：0.50）_(7).y=xln sin x；（分数：0.50）_(8).y=e 2x cos 3x（分数：0.50）_28.设 y=xln x，求 y (10) （分数：0.50）_29.已知 f(x)=ln sin x 在 上满足罗尔中值定理，找出一点 （分数：0.50）_30.求函数 （分数：0.50）_31.求函数 y=x 3 -3x 2 -1 的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点 （
7、分数：0.50）_求下列由参数方程确定的函数 y=y(x)的导数 （分数：2.00）(1).x=a(t-sin t)，y=b(1-cos t)；（分数：0.50）_(2).x=t 2 ， （分数：0.50）_(3).x=cos t，y=sin t；（分数：0.50）_(4). （分数：0.50）_32.在曲线 （分数：0.50）_求下列函数的导数：（分数：4.00）(1).； （分数：0.50）_(2).y=sin x+cos x；（分数：0.50）_(3).y=x 2 (x+1) 2 ；（分数：0.50）_(4).y=tan xln x；（分数：0.50）_(5).(a 为常数，且 a-1)
8、； （分数：0.50）_(6).； （分数：0.50）_(7).； （分数：0.50）_(8). （分数：0.50）_四、证明题(总题数：1，分数：-1.00)33.当 x0 时，试证不等式 （分数：-1.00）_专升本高等数学(一)分类模拟一元函数微分学(一)答案解析(总分：58.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：19.00)1.下列函数中在区间-1，1上满足罗尔中值定理条件的是_ A （分数：3.00）A.B.C. D.解析：2.设函数 f(x)=e 2x-1 ，则 f(x)在 x=0 处的二阶导数 f“(0)等于_ A.0 B.e-1 C.4e-1 D.e（分数：
9、3.00）A.B.C. D.解析：f“(x)=2e 2x-1 ，f“(x)=4e 2x-1 ，因此 f“(0)=4e -1 ，故选 C3.函数 y=|x|+1 在 x=0 处_（分数：3.00）A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导 解析：4.以下结论正确的是_（分数：1.00）A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f“(x)的极值点B.若 x0 点为函数 f(x)的驻点，则 x0 必为 f(x)的极值点C.若函数 f(x)在点 x0 处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f“(x0)=0 D.若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f“(x0)一定存在解析：5.直线 l 与 x
10、 轴平行，且与曲线 y=x-e x 相切，则切点的坐标是_（分数：1.00）A.(1，1)B.(-1，1)C.(0，-1) D.(0，1)解析：6.下列函数在 x=0 处可导的是_ Ay=|x| By=x 3 C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：7.已知函数 f(x)在点 x 0 可导，且 （分数：3.00）A.-4B.-2 C.2D.4解析：8.函数 y=ln(1+x 2 )的单调递增区间是_（分数：1.00）A.(-5，5)B.(-，0)C.(0，+) D.(-，+)解析：9.函数 y=x-arctan x 在(-，+)内是_（分数：1.00）A.单调递增 B.单调递减C.不
11、单调D.不连续解析：二、填空题(总题数：9，分数：9.00)10.函数 （分数：1.00）解析：411.函数 y=2 x2 的单调增加区间为 1 （分数：1.00）解析：(0，+)或0，+)12.设 f(x)=(1+x 2 )arctanx，则 f“(0)= 1 （分数：1.00）解析：113.设 （分数：1.00）解析：14.设 f(2x)=ln x，则 f“(x)= 1 （分数：1.00）解析：令 t=2x，可知 =ln t-1n 2，从而 f(x)=ln x-ln 2， 15.设 （分数：1.00）解析：16.设 y=sin ln x 2 ，则 y“= 1 （分数：1.00）解析：17.
12、设 （分数：1.00）解析： 18.设函数 （分数：1.00）解析：三、解答题(总题数：19，分数：31.50)19.欲围一个面积为 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米 6 元，其余三面是每平方米 3 元问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最少? （分数：13.00）_正确答案：()解析：设所围矩形场地正面长为 x，另一边长为 y，则矩形场地面积 xy=150， 设四面围墙高相同，都是 h，则四面围墙所使用材料的费用 f(x)为 令 f“(x)=0 得驻点 x 1 =10，x 2 =-10(舍掉) 20.求 （分数：0.50）_正确答案：()解析：所给函数定义域为
13、(-，+)，此函数为奇函数，只需研究0，+)中函数的性态； (2) ，令 y“=0，可得驻点 x=1，(0，1)为递增区间，(1，+)为递减区间，x=1 为极大值点，极大值为 ； (3) ，令 y“=0，可得 x=0，x= ，(0， )为下凹区间，( ，+)为上凹区间，拐点为 ； (4)由于 21.设 （分数：0.50）_正确答案：()解析：令 ，则 ， 22.求曲线 y=x 3 -3x+1 的拐点 （分数：0.50）_正确答案：()解析：(0，1)23.设 f(x)=ln(1+x 2 )，求 f“(-1) （分数：0.50）_正确答案：()解析：由于(1).设 x 2 +xy+y 2 =3，
14、求 dy，dy| x=1 ；（分数：0.50）_正确答案：()解析：两边求导数得 2x+y+xy“+2yy“=0，从而 由于当 x=1 时，原方程化为 1+y+y 2 =3，解得y=1，y=-2 故 (2).设 y=y(x)是由 xy=e x-y 所确定，求 dy（分数：0.50）_正确答案：()解析：设曲线 y=x 2 +1 上一点(x 0 ，y 0 )处的切线 l 平行于直线 y=2x+1，（分数：1.00）(1).求切点(x 0 ，y 0 )；（分数：0.50）_正确答案：()解析：由 y“=2x，y“| x=x0 =2x 0 ，知切线的斜率为 2x 0 ，由于 l 平行于直线 y=2x
15、+1，故 2x 0 =2，x 0 =1，y 0 =2，即切点的坐标为(1，2)；(2).求切线 l 的方程（分数：0.50）_正确答案：()解析：y-2=2(x-1)或 y=2x24.求曲线 （分数：0.50）_正确答案：()解析：y=-2 为水半渐近线；x=0 为铅直渐近线25.试从 导出 （分数：0.50）_正确答案：()解析：26.设 （分数：0.50）_正确答案：()解析：设 y 1 =sin x， 则 y=y 1 +y 2 ， 因此 y“=y 1 “+y 2 “，y 1 “=cos x； 又 ， ， 27.设 （分数：0.50）_正确答案：()解析： ，两边对 x 求导 求下列函数微
16、分：（分数：4.00）(1).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(2).y=sec x-tan x；（分数：0.50）_正确答案：()解析：dy=sec x(tan x-sec x)dx；(3).y=sin 3 x-cos 3x；（分数：0.50）_正确答案：()解析：dy=3sin 2 xcos x+sin 3xdx；(4).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(5).y=e x arctan x；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(6).y=arcsin e x ：（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(7).y=xln sin x；（分数：0.50）_正
17、确答案：()解析：dy=(ln sin x+xcot x)dx；(8).y=e 2x cos 3x（分数：0.50）_正确答案：()解析：dy=e 2x (2cos 3x-3sin 3x)dx28.设 y=xln x，求 y (10) （分数：0.50）_正确答案：()解析：求高阶导数不能采用简单的逐阶求导运算，其关键问题是找出规律 由于 y=xln x， ，y“=(-1)x -2 ，y (4) =(-1)(-2)x -3 ，可知 y (n) =(-1)(-2)(-n+2)x -(n-1) =(-1) n-2 (n-2)!x -(n-1) 因此， 29.已知 f(x)=ln sin x 在 上
18、满足罗尔中值定理，找出一点 （分数：0.50）_正确答案：()解析：30.求函数 （分数：0.50）_正确答案：()解析：y 的定义域为(0，+)， 当 0x1 时，因为 ln x0，因此 x 2 +1-ln x0； 当 x1 时，(x-1) 2 =x 2 -2x+10，因此有 x 2 +12xx，又 xln x，所以 x 2 +1ln x，即 x 2 +1-ln x0总之，当 x0 时，总有 x 2 +1-ln x0，即 y“0，因此 31.求函数 y=x 3 -3x 2 -1 的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点 （分数：0.50）_正确答案：()解析：函数的定义域为(-，+)； y“
19、=3x 2 -6x，y“=6x-6 令 y“=0 得 x 1 =0，x 2 =2；令 y“=0 得 x 3 =1，增减和凹凸区间入下表： 求下列由参数方程确定的函数 y=y(x)的导数 （分数：2.00）(1).x=a(t-sin t)，y=b(1-cos t)；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(2).x=t 2 ， （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(3).x=cos t，y=sin t；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(4). （分数：0.50）_正确答案：()解析：.32.在曲线 （分数：0.50）_正确答案：()解析：切线方程为求下列函数的导数：（分数：4.
20、00）(1).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(2).y=sin x+cos x；（分数：0.50）_正确答案：()解析：y“=cos x-sin x(3).y=x 2 (x+1) 2 ；（分数：0.50）_正确答案：()解析：y“=2x(x+1)(2x+1)；(4).y=tan xln x；（分数：0.50）_正确答案：()解析：；(5).(a 为常数，且 a-1)； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(6).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(7).； （分数：0.50）_正确答案：()解析：；(8). （分数：0.50）_正确答案：()解析：四、证明题(
21、总题数：1，分数：-1.00)33.当 x0 时，试证不等式 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：乍看所给不等式并不是函数的增量与自变量的增量之间的关系式，为了利用拉格朗日中值定理证明所给不等式，可以先将不等式变形，化为函数的增量与自变量增量之间关系式 由于 ln 1=0，因此 ln(1+x)=ln(1+x)-ln 1而 x=(1+x)-1从而可取 y=ln(1+t)，a=0，b=x则y=ln(1+t)在区间0，x上满足拉格朗日中值定理 由定理可知，至少存在一点 ，0x，满足 f(b)-f(a)=f“()(b-a)， 而 f(t)=ln(1+t)， ， 因此有 由于 0x，因此 ， 进而知
