1、专升本高等数学(一)分类模拟 36 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.微分方程 y“=y“的通解是_ A.y=c1x+c2ex B.y=c1+c2ex C.y=c1+c2x D.y=c1x+c2x2（分数：2.00）A.B.C.D.2.对于微分方程 y“+3y“+2y=e -x ，利用待定系数法求其特解 y*时，下面特解设法正确的是_ A.y*=Ae-x B.y*=(Ax+B)e-x C.y*=Axe-x D.y*=Ax2e-x（分数：2.00）A.B.C.D.3.对于微分方程 y“+y=sinx，利用待定系数法求其特解 y*时，
2、下面特解设法正确的是_（分数：2.00）A.y*=asinxB.y*=acosxC.y*=x(asinx+bcosx)D.y*=asinx+bcosx二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.设 y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程 y“+py“+qy=0 的两个线性无关的解，则它的通解为 1 （分数：2.00）5.二阶常系数齐次线性微分方程 y“+2y=0 的通解为 1 （分数：2.00）6.二阶常系数齐次线性微分方程 y“-4y“+4y=0 的通解为 1 （分数：2.00）7.微分方程 y“+y“=0 的通解为 1 （分数：2.00）三、解答题(总题数：16，分数：86
3、.00)麦尔萨斯(Malthus)模型设方程 （分数：3.00）(1).求它的通解；（分数：1.50）_(2).若给定初始条件 y| x=0 =y 0 ，求特解（分数：1.50）_设方程 y“+y=0，（分数：12.00）(1).验证 y=c 1 cost+c 2 sint 是它的通解（分数：6.00）_(2).给定初始条件 y| x=0 =1，y“| x=0 =1，求特解（分数：6.00）_逻辑斯谛(Logistic)模型设方程 （分数：6.00）(1).求它的通解；（分数：3.00）_(2).若给定初始条件 y| x=0 =y 0 ，求特解（分数：3.00）_8.求 xyy“=1-x 2
4、的通解 （分数：6.00）_9.解方程 y“=(2x+2y+3) 2 （分数：6.00）_10.解方程 （分数：6.00）_11.设 g(x)为连续函数且满足 （分数：6.00）_12.求 （分数：6.00）_求下列齐次线性方程的通解：（分数：14.01）(1).y“-2y“-3y=0；（分数：4.67）_(2).y“-2y“+y=0；（分数：4.67）_(3).y“-2y“+5y=0（分数：4.67）_13.求方程 y“-4y“+3y=0 当 y| x=0 =6，y“| x=0 =10 的特解 （分数：3.00）_14.求以 y=(c 1 +c 2 x)e x 为通解的二阶常系数齐次线性微分
5、方程 （分数：3.00）_15.已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解是 y 1 =1 和 y 2 =e 2x ，求相应的微分方程 （分数：3.00）_16.求微分方程 y“+y“-2y=e -x 的通解 （分数：3.00）_17.求微分方程 y“+y“=x 的通解 （分数：3.00）_18.求微分方程 y“+4y=2sin2x 的通解 （分数：3.00）_19.设 （分数：3.00）_专升本高等数学(一)分类模拟 36 答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.微分方程 y“=y“的通解是_ A.y=c1x+c2ex B.y=c1+c2
6、ex C.y=c1+c2x D.y=c1x+c2x2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：2.对于微分方程 y“+3y“+2y=e -x ，利用待定系数法求其特解 y*时，下面特解设法正确的是_ A.y*=Ae-x B.y*=(Ax+B)e-x C.y*=Axe-x D.y*=Ax2e-x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：3.对于微分方程 y“+y=sinx，利用待定系数法求其特解 y*时，下面特解设法正确的是_（分数：2.00）A.y*=asinxB.y*=acosxC.y*=x(asinx+bcosx) D.y*=asinx+bcosx解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.0
7、0)4.设 y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程 y“+py“+qy=0 的两个线性无关的解，则它的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)，其中 c 1 ，c 2 为任意常数5.二阶常系数齐次线性微分方程 y“+2y=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：6.二阶常系数齐次线性微分方程 y“-4y“+4y=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=(c 1 +c 2 x)e 2x 7.微分方程 y“+y“=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=c 1 +c 2 e -x 三、解答题(总题数：16，分数：86.00
8、)麦尔萨斯(Malthus)模型设方程 （分数：3.00）(1).求它的通解；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 分离变量 两端积分得 (2).若给定初始条件 y| x=0 =y 0 ，求特解（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 利用初值条件 y| x=0 =y 0 ，得 y 0 =e r0+c =e c ，故所求特解为 y=y 0 e rx 此即通常所说的指数模型设方程 y“+y=0，（分数：12.00）(1).验证 y=c 1 cost+c 2 sint 是它的通解（分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 y=c 1 cost+c 2 sint，则 y“=-c 1 s
9、int+c 2 cost，y“=-c 1 cost-c 2 sint，代入原方程可得 y“+y=(-c 1 cost-c 2 sint)+(c 1 cost+c 2 sint)=0， 故 y=c 1 cost+c 2 sint 是 y“+y=0 的解 由于 c 1 和 c 2 是两个任意常数，故 y=c 1 cost+c 2 sint 是 y“+y=0 的通解(2).给定初始条件 y| x=0 =1，y“| x=0 =1，求特解（分数：6.00）_正确答案：()解析：解 将 y| x=0 =1 代入通解得 1=c 1 cos0+c 2 sin0=c 1 ；将 y“| x=0 =1 代入 y“=
10、-c 1 sint+c 2 cost 得 1=-c 1 sin0+c 2 cos0=c 2 ，故所求满足初始条件 y=| x=0 =1，y“| x=0 =1 的特解为 y=cost+sint逻辑斯谛(Logistic)模型设方程 （分数：6.00）(1).求它的通解；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 分离变量 两端积分得 lny-ln(k-y)=rx+c， (2).若给定初始条件 y| x=0 =y 0 ，求特解（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由初值条件 y| x=0 =y 0 ，得 ，所求特解为 8.求 xyy“=1-x 2 的通解 （分数：6.00）_正确答案：()解
11、析：解 分离变量得 两端积分得 即 9.解方程 y“=(2x+2y+3) 2 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 作变换 u=2x+2y+3，对 x 求导得 由原方程 ，故 分离变量得 两端积分 10.解方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 y=ux，对 x 求导得 代入原方程得 故 两端积分得 将 代入得原方程的通解 11.设 g(x)为连续函数且满足 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 这是一个积分方程，因 g(x)连续，x 连续，故 可导；又 x 2 可导，故 可导，因此g(x)可导方程两端 对 x 求导数，得 xg(x)=g“(x)+2x 即 g“(x)
12、-xg(x)=-2x 这是一阶线性微分方程，利用通解公式求解 由于 p(x)=-x，f(x)=-2x，故 (用公式求解时，计算不定积分一律不写常数)因此， 由所给方程可知当 x=0 时，g(0)=0，代入上式，可得 c=-2，故所求函数为 本题也可以用一阶线性方程的常数变易法求通解先求对应的齐次方程 g“(x)=xg(x)的通解 分离变量得 两端积分得 即 使用常数变易法，设 两端对 x 求导得 代入原非齐次方程得 即 积分得 代回 f(x)可得 12.求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 对|y|1， (1)|x|1，有 两端积分得 arcsiny=arcsinx+c，或 y=si
13、n(arcsinx+c)， 因 ，又 ，故 c(-，)，因为若 c=，y=sin(arcsinx+)=- 不是解；同理，c- (2)|x|1 有 两端积分得 此外方程还有解 y=1，故原方程的解为 求下列齐次线性方程的通解：（分数：14.01）(1).y“-2y“-3y=0；（分数：4.67）_正确答案：()解析：解 由特征方程求出特征根后，写出通解 特征方程 r 2 -2r-3=(r+1)(r-3)=0，特征根 r 1 =-1，r 2 =3，通解为 y=c 1 e -x +c 2 e 3x (2).y“-2y“+y=0；（分数：4.67）_正确答案：()解析：解 特征方程 r 2 -2r+1
14、=(r-1) 2 =0，特征根 r 1 =r 2 =1，通解为 y=(c 1 +c 2 x)e x (3).y“-2y“+5y=0（分数：4.67）_正确答案：()解析：解 特征方程 r 2 -2r+5=0，特征根 r 1 =1+2i，r 2 =1-2i，通解为 y=e x (c 1 cos2x+c 2 sin2x)13.求方程 y“-4y“+3y=0 当 y| x=0 =6，y“| x=0 =10 的特解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 先求通解，其特征方程 r 2 -4r+3=(r-1)(r-3)=0，特征根 r 1 =1，r 2 =3，通解为 y=c 1 e x +c 2 e
15、 3x ，且 y“=c 1 e x +3c 2 e 3x 将初始条件 x=0，y=6，y“=10 代入上式得 14.求以 y=(c 1 +c 2 x)e x 为通解的二阶常系数齐次线性微分方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 所给问题是求解微分方程的逆问题常用的有两种求解方法 先由通解写出所求二阶常系数齐次线性微分方程的特征根 r 1 和 r 2 ，再写出相应的特征方程 (r-r 1 )(r-r 2 )=0， r 2 =(r 1 +r 2 )r+r 1 r 2 =0， 最后，按特征方程写出相应的微分方程 y“-(r 1 +r 2 )y“+r 1 r 2 y=0 或利用微分法，消去通
16、解中的任意常数，得到相应的微分方程 在本题中，由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解 y=(c 1 +c 2 x)e x ，知其特征根是二重根 r=1相应的特征方程是(r-1) 2 =0，即 r 2 -2r+1=0，故知相应的微分方程是 y“-2y“+y=0 另解 由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解是 y=(c 1 +c 2 x)e x (713) y“=(c 1 +c 2 +c 2 x)e x (714) y“=(c 1 +2c 2 +c 2 x)e x (715) 由(715)-2(714)+(713)可消去 c 1 ，c 2 ，得 y“-2y“+y=0 为所求微分方程15.已知二阶常系数
17、齐次线性微分方程的两个特解是 y 1 =1 和 y 2 =e 2x ，求相应的微分方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于二阶常系数齐次线性微分方程的特解是 y 1 =1，y 2 =e 2x ，则原方程有特征根 r 1 =0，r 2 =2，其特征方程是(r-0)(r-2)=0，即 r 2 -2r=0，相应的微分方程是 y“-2y“=016.求微分方程 y“+y“-2y=e -x 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 先求出齐次方程 y“+y“-2y=0 的通解它的特征方程是 r 2 +r-2=(r-1)(r+2)=0，特征根 r 1 =1，r 2 =-2通解为 Y=
18、c 1 e x +c 2 e -2x 再求 y“+y“-2y=e -x 的一个特解因 f(x)=e -x ，即 n=0，=-1，由 =-1 不是特征根，设其特解为 y*=Ae -x ，y*“=-Ae -x ，y*“=Ae -x ， 代原方程中得 Ae -x -Ae -x -2Ae -x e -x 比较两边的系数得到 ，故其特解为 从而原方程的通解是 17.求微分方程 y“+y“=x 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 对应的齐次方程 y“+y“=0，特征方程 r 2 +r=r(r+1)=0，特征根 r 1 =0，r 2 =-1，通解为 Y=c 1 +c 2 e -x 由于 f(
19、x)=x=xe 0x ，因 =0 是特征方程的单根，故设 y“+y“=x 的特解为 y*=x(Ax+B)， y*“=2Ax+B，y*“=2A， 代入 y“+y“=x，得 2A+2Ax+Bx，比较两边系数得 特解为 将 y“+y“=0 的通解和 y“+y“=x 的特解相加，得 y“+y“=x 的通解为 18.求微分方程 y“+4y=2sin2x 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y“+4y=0 的特征方程 r 2 +4=0 有共轭复根 r=2i，其通解为 Y=c 1 cos2x+c 2 sin2x 因为 f(x)=2sin2x=e 0x (0cos2x+2sin2x)，即 =0，=2，A=0，B=2，又 0+2i 是特征根，应设原方程的特解(取 k=1)为 y*=x(acos2x+bsin2x)， y*“=(a+2bx)cos2x+(-2ax+b)sin2x， y*“=(4b-4ax)cos2x+(-4a-4bx)sin2x， 代入原方程得 4bcos2x-4asin2x2sin2x 比较两边 cos2x 和 sin2x 的系数，得 ，其特解为 从而原方程的通解为 19.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 x 3 +1 可导，x、f(x)均是连续函数，故 均可导，所以 f(x)可导，于是 因为 3x 2 可导，
