1、专升本高等数学(一)分类模拟 35 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.是级数发散的 （分数：1.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.是级数 收敛的_ （分数：1.00）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.4.设正项级数 收敛，则级数收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.5.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.6.下列级数条件收敛的是_
2、A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.7.若级数 收敛，记 ，则_ A B 存在 C （分数：1.00）A.B.C.D.8.设 与 都是正项级数，且 u n v n (n=1，2，)，则下列命题正确的是_ A若 收敛，则 收敛 B 发散，则 收敛 C若 发散，则 发散 D 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D.9.级数 （分数：1.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性不能判定10.设常数 k0，则 （分数：1.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 k 有关11.设 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性无法判定二、填空题(总题数
3、：5，分数：5.00)12.当 k 1 时，级数 （分数：1.00）13.设 S n 是级数 的前 n 项和，则 （分数：1.00）14.级数 （分数：1.00）15.级数 （分数：1.00）16.级数 （分数：1.00）三、解答题(总题数：18，分数：84.00)17.判断级数 （分数：9.00）_判断下列级数的敛散性（分数：18.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_(5). （分数：3.00）_(6). （分数：3.00）_18.判断级数 （分数：3.00）_19.判断级数 （分数：3.00）_20.
4、判断级数 （分数：3.00）_21.判断级数 （分数：3.00）_判断下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛（分数：12.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_22.判断 （分数：3.00）_23.求幂级数 （分数：3.00）_24.求幂级数 （分数：3.00）_25.求幂级数 （分数：3.00）_26.把 （分数：3.00）_27.把函数 （分数：3.00）_28.求 （分数：3.00）_29.把 （分数：3.00）_30.把 f(x)=cos 2 x 展开为 x 的幂级数 （分数：3.00）_
5、31.把 f(x)=sinx 展开为 （分数：3.00）_32.将 arctanx 在 x=0 处展开为幂级数 （分数：3.00）_专升本高等数学(一)分类模拟 35 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.是级数发散的 （分数：1.00）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：解析 由级数收敛的必要条件的逆否命题，应选 A2.是级数 收敛的_ （分数：1.00）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：3.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解
6、析：4.设正项级数 收敛，则级数收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：5.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：6.下列级数条件收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：7.若级数 收敛，记 ，则_ A B 存在 C （分数：1.00）A.B. C.D.解析：8.设 与 都是正项级数，且 u n v n (n=1，2，)，则下列命题正确的是_ A若 收敛，则 收敛 B 发散，则 收敛 C若 发散，则 发散 D 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：9.级数 （分数：1.00）A
7、.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性不能判定解析：10.设常数 k0，则 （分数：1.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与 k 有关解析：11.设 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性无法判定解析：解析 设幂级数 的收敛半径为 R，则当|x|R 时，原级数绝对收敛由于二、填空题(总题数：5，分数：5.00)12.当 k 1 时，级数 （分数：1.00）解析：k113.设 S n 是级数 的前 n 项和，则 （分数：1.00）解析：14.级数 （分数：1.00）解析：P015.级数 （分数：1.00）解析：发散16.级数 （分数：1.00）解析：绝
8、对收敛三、解答题(总题数：18，分数：84.00)17.判断级数 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 级数的一般项 ，由级数发散的充分条件，可知判断下列级数的敛散性（分数：18.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 先把 u n 进行分母有理化： 其部分和 (2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 先把 u n 分解为 其部分和 (3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因 ，而 是 p=2 的 p 级数，故(4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因(n+1) 2 =n 2 +2n+1n 2 +1(n1)，故 而级数 ，因调和
9、级数发散，可知 (5). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 是一个几何级数的一般项，因为公比(6). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 含有参数 a0，应分情况讨论 若 0a1，因 ，由级数收敛的必要条件可知，原级数发散 若 ，原级数发散 若 ，由于 a1，所以 ，从而级数 收敛，由比较判别法知原级数收敛 综上所述，级数 18.判断级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由比值判别法，有 19.判断级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由此得到， 20.判断级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 为21.判断级数 （分数：3.00）_正
10、确答案：()解析：解 因为 cosn=(-1) n ，所以 是 的幂级数，故为发散级数 注意：此级数表面上看是交错级数且 判断下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛（分数：12.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因 ，故 ，由级数收敛的必要条件，知(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 类似于第一小题的讨论，(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因 是 p=2 的 p 级数，故 收敛，因此，(4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：因 是 的 p 级数，是发散级数，但 为满足 Leibniz 判别法的交错级数，知22.判
11、断 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，后者为调和级数，故发散由比较判别法， 发散 因原级数为交错级数， ，且 ，故由 Leibniz 判别法，知 收敛 综上所述， 23.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 先求级数的收敛半径，再分析区间端点的情况 ，半径 当 x=-3 时， 是 的 p 级数，故发散 当 x=3 时， 24.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 故收敛半径 25.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 1 所给幂级数为缺项情形应该用后项与前项绝对值相比再取极限 由比值判别法知，当 ，即 时幂级数收敛；当 时幂级数发散，
12、故原幂级数的收敛区间为 解 2 可经过一个变换 x 2 =t，待缺项幂级数转化为正常幂级数设 x 2 =t，得到新幂级数 ，对于此幂级数，有 新幂级数的收敛半径 ，它在|t|2，即-2t2 时绝对收敛故原幂级数在|x 2 |2，即 内收敛，收敛区间为 26.把 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 在 e x 的麦克劳林级数中将 x 换为 即可 27.把函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 收敛区间为 28.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因 故 29.把 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于 2+x-x 2 =(1+x)(2-x)，可将 f(x)分解为以 1+x 和 2-x 为分母的两个分式之和，然后用公式将其展开 故 30.把 f(x)=cos 2 x 展开为 x 的幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因 故 31.把 f(x)=sinx 展开为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 利用 及 (-x+)代入得 故相加得 32.将 arctanx 在 x=0 处展开为幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于 用 x 2 代替 x 得 两端逐项积分得
