1、专升本高等数学(一)分类模拟 34 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：29，分数：100.00)1.设 f(x+y，xy)=2x 2 +3xy+2y 2 +6，求 f(x，y) （分数：1.50）_2.求 z=3x 2 +5xy+y 3 在点(0，2)的偏导数 （分数：3.50）_3.求 （分数：3.50）_4.求 （分数：3.50）_5.求 z(x 2 +y 2 ) xy 的偏导数 （分数：3.50）_6.设 ，求 （分数：3.50）_7.设 ，求证 （分数：3.50）_8.设 ，求 （分数：3.50）_9.求由 （分数：3.50）_10.函数 z=z
2、(x，y)，)由方程 F(x+zy -1 ，y+zx -1 )=0 给出证明 （分数：3.50）_11.设 z=f(x，y)是由 F(x+mz，y+nz)=0 确定，其中 F 是可微函数，m，n 是常数，mF“ 1 +nF“ 2 0，求 （分数：3.50）_12.设方程 x 2 z+y+2y 2 z 2 =0 确定函数 z=f(x，y)，求 dz （分数：3.50）_13.设函数 z=x(x+y)+y(x+y)，其中 ， 有二阶偏导数证明 （分数：3.50）_14.设 ，求 （分数：3.50）_15.求函数 f(x，y)=e 2x (x+2y+y 2 )的极值 （分数：3.50）_16.求函数
3、 f(x，y)=x 3 -y 3 -6x 2 +6y 2 +9x 的极值点 （分数：3.50）_17.设矩形的长为 x，宽为 y，且 x+y=1，试判定矩形的两条边 x，y 各取多少时，能使矩形面积 S 最大 （分数：3.50）_18.计算 ，其中 （分数：3.00）_19.计算 ，其中 D 为直线 y=x 与抛物线 所围的区域(下图) （分数：3.00）_20.计算 （分数：3.00）_将下列二重积分化为顺序不同的二次积分（分数：7.00）(1).，其中 D 是由 x+y=1，x-y=1，x=0 所围的区域(图 1) （分数：3.50）_(2). ，其中 D 是由 y=x 2 ,y=4-x
4、2 所围的区域(图 2) 图 1（分数：3.50）_21.计算积分 ，其中 D 是由抛物线 y 2 =2x 和直线 （分数：3.50）_22.计算积分 （分数：3.50）_23.计算积分 （分数：3.50）_24.计算积分 （分数：3.50）_25.计算积分 （分数：3.50）_26.求由坐标平面 x=0，y=0，z=0 及 （分数：3.50）_27.求球面 x 2 +y 2 +z 2 =4 与圆柱面 x 2 +y 2 =2x 所围在柱体内的部分体积(图 1) （分数：3.50）_28.设平面薄片所占有区域 D 是由抛物线 y=x 2 及直线 y=x 所围，它在点(x，y)处的面密度 (x，y
5、)=x 2 y，求其质量 m （分数：2.00）_专升本高等数学(一)分类模拟 34 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：29，分数：100.00)1.设 f(x+y，xy)=2x 2 +3xy+2y 2 +6，求 f(x，y) （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 将 f(x+y，xy)变形为 x+y，xy 的关系式 2x 2 +3xy+2y 2 +6=2(x 2 +2xy+y 2 )-xy+6=2(x+y) 2 -xy+6， 即 f(x+y，xy)-2(x+y) 2 -xy+6，故 f(x，y)=2x 2 -y+62.求 z=3x 2 +5xy+y
6、 3 在点(0，2)的偏导数 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 3.求 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 1 下面给出一种方法，它可以化简本题的计算 设 x=f(x，y)的一阶偏导数存在，则 证明是简单的，从略 上述结果表明，求 f(x，y)在(a，b)关于 x 的偏导数值时，可先将 y=b 代入得 f(x，b)，再对 x 求导数后，代入 x=a 即可对 y 的情形类似这在实际计算中，可使求偏导数的工作量减少对本题，我们有 解 2 设 ，则 ， 4.求 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 5.求 z(x 2 +y 2 ) xy 的偏导数 （分数：3.50）_正确答案
7、：()解析：解 1 将函数变形得 z=e xyln(x2+y2) ，把 y 看作常数， 又因 x 与 y 轮换对称，在上式中，将 x 换为 y，y 换为 x，可得 解 2 引入中间变量，设 u=x 2 +y 2 ，v=xy，则 z=u v 是 x 与 y 的复合函数，由复合函数求导法 解 3 用全微分形式不变性求解： dz=du v =vu v-1 du+u v lnudv， 其中 du=d(x 2 +y 2 )=2xdx+2ydy，dv=d(xy)=ydx+xdy 故 由全微分形式不变性 将上面两个 dz 比较即得 解 4 由 z=u v ，取对数得 lnz=vlnu，再利用隐函数求导法，得
8、 类似可得 题中的函数是幂指函数，将等式变形后求导(如解 1)或先取对数后再求导(如解 4)将会使运算大大简化在利用复合函数求偏导时，要分清哪些是自变量，哪些是中间变量为了帮助记忆各种复合关系的求偏导数公式，可以利用变量间的关系图进行分析。下图表明 z 与中间变量 u 和 v 有关，而 u 和 v 又与自变量 x 和 y 有关求导法则是：求 x 的偏导数 时，先找出 z 与 x 有联系的路线，从左至右，前一个变量对后一个变量求偏导，同一条路线用乘号相连，不同的路线用加号故有 同理，z 与 y 之间有两条路线相连，故有 利用关系图，无论复合关系如何，都可以正确地导出复合函数的求偏导数公式 若只有
9、一个中间变量 z=f(u(x，y)，x，y)，求偏导数公式为 注意 上两式右端不写 f 而改写为 z，则往往容易出现混淆的记号问题，必须随时注意区分 若只有一个自变量 z=f(u(x)，v(x)，求偏导数公式应使用记号 ： 如 z=f(u(x，y)，v(x，y)，w(x，y)，则 6.设 ，求 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 1 解 2 将 u 和 v 代入 z，得 ，对 x 求导即得 7.设 ，求证 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证 1 对 l0，g0， 故 对 l0，g0，有 故 为避免遗漏讨论 l0,g0 的情形，分析其解法，不难发现，l/g 不分开是问题的关键，故
10、有 证 2 故 若使用对数求导法，则可避免上述讨论 证 3 ，(l 与 g 同号)， 利用隐函数求导法，有 故 8.设 ，求 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 把 x 和 y 分别看作常数 9.求由 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 1 直接利用公式，如隐函数 y=f(x)由方程 F(x，y)=0 所确定，则 设 故 解 2 利用全微分形式不变性，当求出全微分时，同时求出了偏导数 两端微分，得 整理即得 10.函数 z=z(x，y)，)由方程 F(x+zy -1 ，y+zx -1 )=0 给出证明 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证 1 其中 F“ 1 表示 F 对
11、 x+zy -1 求偏导数，F“ 2 表示 F 对 y+zx -1 求偏导数，下同整理得 若 ，则 于是 由 z=-xy，则 ，故 现在，反回去看(51)，(52)，不能直接看出 是什么条件，但由隐函数求导法， 有 证 2 若 F“ z 0，则 11.设 z=f(x，y)是由 F(x+mz，y+nz)=0 确定，其中 F 是可微函数，m，n 是常数，mF“ 1 +nF“ 2 0，求 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 F“ x =F“ 1 ，F“ y =F“ 2 ，F“ z =mF“ 1 +nF“ 2 ， 由隐函数求偏导数公式，有 故 12.设方程 x 2 z+y+2y 2 z 2 =
12、0 确定函数 z=f(x，y)，求 dz （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 1 两端微分，得 d(x 2 z)+dy+d(2y 2 z 2 )=2xzdx+x 2 dz+dy+4yz 2 dy+4y 2 zdz=0 由此解出 解 2 对 x，y 分别求偏导数，得 故由全微分公式， 13.设函数 z=x(x+y)+y(x+y)，其中 ， 有二阶偏导数证明 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证 对 x 求导，得 再对 x 求导，得 对 y 求导，得 类似可得， 故 14.设 ，求 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由于 x 和 y 轮换对称，从而有 故 如果将本题的 r
13、改为 ，求 ，则由 故有 15.求函数 f(x，y)=e 2x (x+2y+y 2 )的极值 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 先求驻点，再利用极值存在的充分条件判断是否存在极值点 f“ x =1+2(x+2y+y 2 )e 2x ，f“ y =2(1+y)e 2x 解方程组 为驻点 B 2 -AC=0-4e 2 =4e 2 0 且 A=2e0，故知 是极小值点，极小值为 16.求函数 f(x，y)=x 3 -y 3 -6x 2 +6y 2 +9x 的极值点 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 解方程组 17.设矩形的长为 x，宽为 y，且 x+y=1，试判定矩形的两条边 x
14、，y 各取多少时，能使矩形面积 S 最大 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 依题意可知，所给问题为求 S=xy 在条件 x+y=1 下的条件极值 构造拉格朗日函数： F(x，y，)=xy+(x+y-1) 解方程组 可得唯一一组解 由于“驻点”唯一，且实际问题存在最大值，可知 为所给问题的最大值点最大值为 18.计算 ，其中 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 该积分若先对 x 积分，则原函数不能求出 化二重积分的关键是定出积分限，即写出两个定积分的下限和上限一般可利用如下方法定限：为确定内层积分(比如先对 y 积分)的下限和上限，用平行于 y 轴的直线沿 y 轴正向穿越积分区
15、域 D，若最初的交线为 y= 1 (x)，则内层积分下限为 1 (x)；若最后的交线为 y= 2 (x)，则内层积分上限为 2 (x)内层积分变量 y 的积分限确定后，将区域 D 投影到 x 轴上，设投影区间为a，b，则外层积分的下限和上限分别为 a，b一般说来，内层积分的下限和上限是外层积分变量的函数，计算内层积分 19.计算 ，其中 D 为直线 y=x 与抛物线 所围的区域(下图) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 注意到被积函数在原点处无定义，但由于 ，故补充函数在原点处的值为 1， 则被积函数在积分区域 D 内连续看先对 y 后对 x 积分 由于内层积分中 的原函数不能用初等
16、函数表示，故改为先对 x 后对 y 积分 此题可从另一角度求积因为 是关于 x 的函数，由分部积分法，得 20.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于被积函数 e -y2 的原函数不是初等函数，故先交换积分次序，然后积分积分区域 如图 将下列二重积分化为顺序不同的二次积分（分数：7.00）(1).，其中 D 是由 x+y=1，x-y=1，x=0 所围的区域(图 1) （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (2). ，其中 D 是由 y=x 2 ,y=4-x 2 所围的区域(图 2) 图 1（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 首先求出二曲线交点 先对 y 积分 若先
17、对 x 积分，则积分区域分为两部分 21.计算积分 ，其中 D 是由抛物线 y 2 =2x 和直线 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 积分区域见图区域在 y 轴上的投影是-1，1 若先对 x 积分，则有 22.计算积分 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 积分区域见图D 被两个坐标轴分为四个面积相等且对称的子区域，又 f(x，y) =|xy|关于 x 和 y 都是对称的，即 f(x，y)=f(-x，y)=f(-x，-y)=f(x，-y) 从而所求积分只需要在 D 1 上计算即可，然后再乘以 4 23.计算积分 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 积分区域见图如采用直角
18、坐标下计算积分，需分为四个部分，积分计算困难 利用极坐标变换，则积分区域 D 为 D=(r，)|r2，02 故 24.计算积分 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 利用极坐标交换，积分区域 D 为 若在直角坐标下计算积分，因为 25.计算积分 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 积分区域见图极坐标变换下的积分区域 故 用极坐标变换计算二重积分时，若积分限均为常数，则多数情况下，r 与 的积分次序无关若积分限不是常数，一般要先对 r 后对 进行积分，这是因为先积 ，一般要涉及到反三角函数，其结果可能将积分化为比较复杂的情形 是否采用极坐标计算二重积分，应视积分区域 D 和被积函数
19、而定并兼顾两方面一般，若 D 为圆域或其一部分，或 D 的边界的极坐标方程较简，或被积函数含 26.求由坐标平面 x=0，y=0，z=0 及 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 此题是求曲顶为平面 的柱体体积在 O-xy 面上曲顶柱体的投影区域为由 x 轴，y 轴及直线 所围的三角形区域，其立体图和平面积分区域图分别见图 1，图 2 图 127.求球面 x 2 +y 2 +z 2 =4 与圆柱面 x 2 +y 2 =2x 所围在柱体内的部分体积(图 1) （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 由对称性只需考虑其在第一卦限部分的体积，它可以看作是以球面为曲顶的柱体，它在 o-xy 面上的投影区域见图 2，这是一个半径为 1 的半圆区域，其边界为 x=0 与圆 x 2 +y 2 =2x用极坐标计算该曲顶柱体体积，投影区域 图 128.设平面薄片所占有区域 D 是由抛物线 y=x 2 及直线 y=x 所围，它在点(x，y)处的面密度 (x，y)=x 2 y，求其质量 m （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 积分区域见图， D=(x，y)|0x1，x 2 yx， 故
