1、专升本高等数学(一)分类模拟 32 及答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：24.00)1.平面 （分数：3.00）A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交但不重合，不垂直2.设有直线 （分数：3.00）A.过原点且垂直于 x 轴B.过原点且平行于 x 轴C.不过原点，但垂直于 x 轴D.不过原点，且不平行于 x 轴3.设平面 过点(1，0，-1)且与平面 4x-y+2z-8=0 平行，则平面 的方程是_（分数：3.00）A.4x+y+2z-2=0B.4x-y-2z-2=0C.4x-y+2z-2=0D.4x-y-2z+2=04.平面 ：x+2y-z+3
2、=0 与空间直线 l： （分数：3.00）A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上C.既不平行也不垂直D.直线在平面上5.过点 M 0 (1，-1，2)且垂直于直线 l： （分数：3.00）A.2x+3y+z-7=0B.2x+3y+z+1=0C.2x+3y+z+7=0D.2x+3y+z-1=06.在空间直角坐标系中，方程 x 2 -4(y-1) 2 =0 表示_（分数：3.00）A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面7.方程 x 2 +y 2 -z 2 =0 表示的二次曲面是_（分数：3.00）A.球面B.旋转抛物面C.圆锥面D.圆柱面8.方程 z=x 2 +y 2 表示的二次曲面是_
3、（分数：3.00）A.椭球面B.柱面C.圆锥面D.抛物面二、填空题(总题数：1，分数：19.00)列出下列平面方程的一般形式（分数：19.02）(1).过原点的平面方程 1（分数：3.17）(2).过 y 轴的平面方程 1（分数：3.17）(3).平行于 y 轴的平面方程 1（分数：3.17）(4).平行于 O-yz 面的平面方程 1（分数：3.17）(5).表示 1 （分数：3.17）(6).表示 1 （分数：3.17）三、解答题(总题数：16，分数：57.00)9.求通过点 M(1，1，1)且法向量为4，2，1的平面方程 （分数：6.00）_10.求过三点 A(0，0，0)，B(-2，1，
4、3)和 C(1，2，4)的平面方程 （分数：6.00）_11.求过两点 A(1，1，1)和 B(-1，1，0)且与平面 x+y-z=0 垂直的平面 （分数：3.00）_12.求过点 M(4，-3，-2)且垂直于两平面 x+2y-z=0 和 2x-3y+4z-5=0 的平面方程 （分数：3.00）_13.确定两平面 2x+3y+4z+4=0 与 2x-3y+4z-4=0 的位置关系 （分数：3.00）_求下列方程中的系数 a 和 b：（分数：6.00）(1).两平面 3x+by+3z-5=0 与 ax-6y-z+2=0 平行；（分数：3.00）_(2).两平面 3x+4y+3z-3=0 与 ax
5、-6y-z+2=0 垂直（分数：3.00）_14.若平面 过点 M(2，-1，5)且与直线 l： （分数：3.00）_15.求过点 A(1，2，1)和 B(2，4，3)的直线方程 （分数：3.00）_16.将 （分数：3.00）_17.确定直 l 1 ： 和 （分数：3.00）_18.求直线 l： （分数：3.00）_19.求过点 M(1，2，3)且与直线 x=2+3t，y=2t，z=-1+t 垂直的平面方程 （分数：3.00）_20.求直线 l： （分数：3.00）_21.求球面 x 2 +y 2 +z 2 +2x-8y+6z+1=0 的球心和半径 （分数：3.00）_22.一球面过点 A(
6、0，0，0)，B(1，-1，1)，C(1，2，-1)和 D(2，3，0)，求球面方程 （分数：3.00）_23.指出下列方程在空间直角坐标系下所表示的曲面 (1) （分数：3.00）_专升本高等数学(一)分类模拟 32 答案解析(总分：100.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：24.00)1.平面 （分数：3.00）A.平行B.相交且垂直 C.重合D.相交但不重合，不垂直解析：2.设有直线 （分数：3.00）A.过原点且垂直于 x 轴 B.过原点且平行于 x 轴C.不过原点，但垂直于 x 轴D.不过原点，且不平行于 x 轴解析：3.设平面 过点(1，0，-1)且与平面
7、4x-y+2z-8=0 平行，则平面 的方程是_（分数：3.00）A.4x+y+2z-2=0B.4x-y-2z-2=0C.4x-y+2z-2=0 D.4x-y-2z+2=0解析：4.平面 ：x+2y-z+3=0 与空间直线 l： （分数：3.00）A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上C.既不平行也不垂直D.直线在平面上 解析：5.过点 M 0 (1，-1，2)且垂直于直线 l： （分数：3.00）A.2x+3y+z-7=0B.2x+3y+z+1=0C.2x+3y+z+7=0D.2x+3y+z-1=0 解析：6.在空间直角坐标系中，方程 x 2 -4(y-1) 2 =0 表示_（分数：3.0
8、0）A.两个平面 B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面解析：7.方程 x 2 +y 2 -z 2 =0 表示的二次曲面是_（分数：3.00）A.球面B.旋转抛物面C.圆锥面 D.圆柱面解析：8.方程 z=x 2 +y 2 表示的二次曲面是_（分数：3.00）A.椭球面B.柱面C.圆锥面D.抛物面 解析：二、填空题(总题数：1，分数：19.00)列出下列平面方程的一般形式（分数：19.02）(1).过原点的平面方程 1（分数：3.17）解析：Ax+By+Cz=0(2).过 y 轴的平面方程 1（分数：3.17）解析：Ax+Cz=0(3).平行于 y 轴的平面方程 1（分数：3.17）解析：Ax+C
9、z+D=0(4).平行于 O-yz 面的平面方程 1（分数：3.17）解析：Cx+D=0(5).表示 1 （分数：3.17）解析：z 轴(6).表示 1 （分数：3.17）解析：平行于 z 轴的直线三、解答题(总题数：16，分数：57.00)9.求通过点 M(1，1，1)且法向量为4，2，1的平面方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由平面的点法式方程有 4(x-1)+2(y-1)+z-1=0， 即 4x+2y+z-7=010.求过三点 A(0，0，0)，B(-2，1，3)和 C(1，2，4)的平面方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 1 设所求平面的法向量为 n，由
10、，得到 ，而 ， 取 n=-2，11，-5，由平面的点法式方程，得 -2(x-0)+11(y-0)-5(2-0)=0 即 2x-11y+5z=0 解 2 因平面方程过原点，由一般式方程知道 D=0，故设 Ax+By+Cz=0(A，B，C 不全为零) 为所求平面方程又平面过 B，C 点，于是 11.求过两点 A(1，1，1)和 B(-1，1，0)且与平面 x+y-z=0 垂直的平面 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设所求平面方程为 A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0，A，B，C 不全为零 因平面过 A 点，故 A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0
11、又平面过 B 点，则 A(-1-1)+B(1-1)+C(0-1)=-2A-C=0 于是 C=-2A 又所求平面垂直于平面 x+y-z=0，故A，B，C(1，1，-1，即 A+B-C=0 在 C=-2A 中，取 A=1，得 C=-2，代入上式得 B=-3，所求平面方程为 (x-1)-3(y-1)-2(z-1)=0 整理得 x-3y-2z+4=012.求过点 M(4，-3，-2)且垂直于两平面 x+2y-z=0 和 2x-3y+4z-5=0 的平面方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设所求平面的法向量为 n，因为两平面的法向量分别为 n 1 =1，2，-1，n 2 =2，-3，4，n
12、n 1 n 2 ， 13.确定两平面 2x+3y+4z+4=0 与 2x-3y+4z-4=0 的位置关系 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为两平面的法向量分别是 n 1 =2，3，4和 n 2 =2，-3，4显然，n 1 与 n 2 不平行，则两平面不平行也不重合；又 n 1 n 2 =22+3(-3)+44=110，故两平面不垂直，应为相交但不重合求下列方程中的系数 a 和 b：（分数：6.00）(1).两平面 3x+by+3z-5=0 与 ax-6y-z+2=0 平行；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 两平面的法向量分别是 n 1 =3，b，3和 n 2 =(a，-
13、6，-1)，由于两平面平行，故 n 1 n 2 等价于 n 1 =n 2 (A 是常数)于是 (2).两平面 3x+4y+3z-3=0 与 ax-6y-z+2=0 垂直（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 两垂直的平面的法向量分别是 n 1 =3，4，3，n 2 =a，-6，-1，由于，n 1 n 2 ，故，n 1 n 2 =3a-24-3=0，得 a=914.若平面 过点 M(2，-1，5)且与直线 l： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于 l， 的法向量可取 n=3，2，-1，又 过 M 点，由点法式得平面方程为 3(x-2)+2(y+1)-(z-5)=0， 整理得 3
14、x+2y-z+1=015.求过点 A(1，2，1)和 B(2，4，3)的直线方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 所求直线的方向向量 ，由直线的点向式方程得 注意 过两定点(x 1 ，y 1 ，z 1 )和(x 2 ，y 2 ，z 2 )的两点式方程为 16.将 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设所求直线的方向矢量是 s，由两平面的法向量分别是 n 1 =1，-1，-1)和，n 2 =2，-3，6，sn 1 n 2 ， 取 s=9，8，1，在 l 上任取一点，令 z=0，得方程组 得点(4，5，0)所求标准式方程为 17.确定直 l 1 ： 和 （分数：3.00）_正确
15、答案：()解析：解 l 1 的方向向量 s 1 =3，-2，1， l 2 的方向向量 18.求直线 l： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 l 化为参数方程 代入平面 ，得 3+2t+1-t-2=0 19.求过点 M(1，2，3)且与直线 x=2+3t，y=2t，z=-1+t 垂直的平面方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 取直线的方向向量 s=3，2，1作为平面的法向量，由点法式即得平面方程为 3(x-1)+2(y-2)+z-3=0 整理得 3x+2y+z-10=020.求直线 l： （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 l 化为参数式 代入 的方程得 -
16、3+3t-2(2+2t)+2(-1+t)-8=0 解出 t=17，从而交点坐标为 x=-3+317=48，y=-2-217=-36，z=-1+17=16，即 l 与 的交点为(48，-36，16) l 的方向向量 ， 的法向量 n=1，2，2，设 为 l 与 的夹角，则 故 21.求球面 x 2 +y 2 +z 2 +2x-8y+6z+1=0 的球心和半径 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因 x 2 +y 2 +z 2 +2x-8y+6z+1=(x+1) 2 +(y-4) 2 +(z+3) 2 -1-16-9+1=0，故 (x+1) 2 +(y-4) 2 +(x+3) 2 =5 2
17、 球心坐标(-1，4，-3)，半径为 522.一球面过点 A(0，0，0)，B(1，-1，1)，C(1，2，-1)和 D(2，3，0)，求球面方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设球面方程为 x 2 +y 2 +z 2 +ax+by+cz+d=0 因 B，C，D，A 点的坐标满足上述方程，代入得 所求球面方程为 2x 2 +2y 2 +2z 2 -7x-4y-3z=0 也可化为标准形式 23.指出下列方程在空间直角坐标系下所表示的曲面 (1) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (1)母线平行于 y 轴，准线为 的圆柱面 缺一变数的方程一般都表示一柱面(x 2 +y 2 =0 表示直线)反之不一定成立 (2)，(4)，(8)均为柱面：(2)是椭圆柱面，(4)是双曲柱面，(8)是抛物柱面 (3)，(7)是椭球面 (5)可看作曲线 绕 z 轴旋转一周而成的旋转抛物面，也可看作曲线 绕 x 轴旋转一周而成 (6)可看作直线 或
