1、专升本高等数学(一)分类模拟 26 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：17，分数：100.00)1.证明 1+xe x （分数：4.00）_2.计算 （分数：4.00）_3.计算 （分数：4.00）_4.计算 （分数：4.00）_5.计算 （分数：4.00）_6.计算 （分数：4.00）_7.计算 （分数：4.00）_求下列函数的单调增减区间：（分数：8.00）(1).f(x)=2x 3 -6x 2 -18x+1；（分数：4.00）_(2).f(x)=2x 2 -lnx（分数：4.00）_8.判断函数 f(x)=x+arctanx 的增减性 （分数：4.
2、00）_9.证明：当 x0 时，xarctanx （分数：4.00）_10.求 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-4 的极值 （分数：4.00）_11.判断 （分数：4.00）_12.求 f(x)=2x 3 -12x 2 +4 在-1，7的最大值和最小值 （分数：4.00）_13.设有一根长为 l 的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 s 1 ，正方形面积为 s 2 ，证明：当 s 1 +s 2 为最小时， （分数：4.00）_判定下列曲线的凹凸性：（分数：8.00）(1).y=xe x2 ；（分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_求下列曲线的拐点及凹凸区间
3、：（分数：16.00）(1). （分数：8.00）_(2). （分数：8.00）_求下列曲线的水平渐近线及铅直渐近线：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_(3). （分数：4.00）_(4). （分数：4.00）_专升本高等数学(一)分类模拟 26 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：17，分数：100.00)1.证明 1+xe x （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 只需证 e x -x-10 即可为此，构造辅助函数 f(x)=e x -x-1在以 0 和 x 为端点的区间上对函数 f(x)应用拉格朗日
4、中值定理，得到 f(x)-f(0)=f“()(x-0)，即 f(x)=x(e -1) ( 在 0 与 x 之间) 当 x0 时，x0，e -10，故 f(x)=x(e -1)0，即 e x -x-10； 当 x0 时，0x，e -10，故 f(x)=x(e -1)0，即 e x -x-10 当 x=0 时，f(x)=0，即 e x -x-1=0 故对任何 x，均有 e x -x-10，即 1+xe x 该题也可以做辅助函数 y=e x ，在x，0及0，x上分别应用拉格朗日中值定理，证明方法类似2.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：该式为 型，由洛必达法则，有 原式 解 2原式 3.
5、计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 该式为“-”型，通分后使用两次洛必达法则，得 4.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 未定式为 型，使用洛必达法则得 5.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 未定式为“0”型，将其化为 型，再应用洛必达法则求极限 6.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 该题如连续使用三次洛必达法则，则计算过程繁杂当然，本题也可以使用等价无穷小量替换后求解因为当 x0 时， ，故 在计算极限时，如能正确使用无穷小替换，会使问题大为简化但在使用时可能出现这样或那样的错误，建议慎重使用，在此不做深入讨论 洛必达法则是求几种未
6、定式极限的一种重要方法，应熟练掌握使用时应注意以下几点 (1)只有 型和 型未定式才能使用洛必达法则，其它未定式需转化成 型或 型未定式才能使用，转化时可能需要一定技巧 (2)使用洛必达法则，必须分母和分子分别同时求导，不是整个表达式求导 (3)只要满足条件，可以多次使用洛必达法则 (4)当 不存在时，极限 7.计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 此极限为 型，但分子和分母的导数之比的极限不是 A(或)，即 极限不存在，此时，洛必达法则失效事实上， 求下列函数的单调增减区间：（分数：8.00）(1).f(x)=2x 3 -6x 2 -18x+1；（分数：4.00）_正确答案：()
7、解析：解 f(x)的定义域为(-，+) f“(x)=6x 2 -12x-18=6(x+1)(x-3) 令 f“(x)=0，得驻点 x 1 =-1，x 2 =3 当 x(-，-1)时，f“(x)0，故 f(x)在(-，-1)内单调增加； 当 x(-1，3)时，f“(x)0，故 f(x)在(-1，3)内单调减少； 当 x(3，+)时，f“(x)0，故 f(x)在(3，+)内单调增加(2).f(x)=2x 2 -lnx（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的定义域为(0，+) 令 f“(x)=0，得驻点 ，舍去 当 时，f“(x)0，故 f(x)在 内单调减少； 当 时，f“(x)0，
8、故 f(x)在 8.判断函数 f(x)=x+arctanx 的增减性 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 f(x)=x+arctanx 的定义域是(-，+) 9.证明：当 x0 时，xarctanx （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 设 f(x)=x-arctanx(x0)，f(0)=0-arctan0=0， 由 10.求 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-4 的极值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：(1)f(x)的定义域是(-，+) (2)f“(x)=3x 2 -12x+9=3(x-1)(X-3)=0，得驻点 x 1 =1，x 2 =3 (3)f“(x)=6x
9、-12，f“(1)=-60，则 f(x)在 x=1 取得极大值，f(1)=0；f“(3)=60，则 f“(x)在 x=3 取得极小值，f(3)=-411.判断 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (1)f(x)的定义域是(-，+) (2) 12.求 f(x)=2x 3 -12x 2 +4 在-1，7的最大值和最小值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)=6x 2 -24x=6x(x-4)=0，得驻点 x 1 =0，x 2 =4因 f(-1)=-10， f(0)=4，f(4)=-60，f(7)=102，故 f(7)=102 是最大值，f(4)=-60 是最小值13.
10、设有一根长为 l 的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 s 1 ，正方形面积为 s 2 ，证明：当 s 1 +s 2 为最小时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设圆形周长为 x，则正方形周长为 l-x，圆形面积和正方形面积之和为 令 ，则 是 s 的唯一驻点，是 s 的极小值点，也是 s 的最小值点此时， 在应用问题中，解决最值问题的关键是根据具体问题的条件建立函数关系首先要搞清题意，谁是变量，谁是常量；其次要适当选一个变量做为自变量在本题中，我们选圆形周长 x 为自变量，则 ；如选正方形周长 x 为自变量，则 ；如选圆形半径 x 为自变量，则 ；如选正方形
11、边长 x 为自变量，则 判定下列曲线的凹凸性：（分数：8.00）(1).y=xe x2 ；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 此函数的定义域是(-，+) y“=(1+2x 2 )e x2 令 y“=4xe x2 +(1+2x 2 )2xe x2 =2x(3+2x 2 )e x2 =0，得 x=0 当 x(-，0)时，y“0，故曲线 y=xe x2 是下凹的；当 x(0，+)时，y“0，曲线 y=xe x2 是上凹的(2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ，令 y“=0，得 x=0 当 x(-，0)时，y“0，故曲线 是上凹的 当 x(0，+)时，y“0，故曲线 求下列曲线
12、的拐点及凹凸区间：（分数：16.00）(1). （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=0，解得 此三点将函数的定义域分为四个区间(-， 和 当 时，y“0，故曲线是下凹的； 当 时，y“0，故曲线是上凹的； 当 时，y“0，故曲线是下凹的； 当 时，y“0，故曲线是上凹的 曲线的拐点是 和 (2). （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 求下列曲线的水平渐近线及铅直渐近线：（分数：16.00）(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，故 y=0 是曲线的水平渐近线，又(2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因 ，故水平渐近线是 y=0；又(3). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因(4). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因 ，故 y=0 是曲线的水平渐近线；又
