1、专升本高等数学(一)分类模拟 24 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：28.00)1.在-1，1上满足罗尔中值定理的所有条件的函数 f(x)=_ A （分数：3.00）A.B.C.D.2.在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的函数，f(x)=_ Aln(x-1) Blnx C （分数：3.00）A.B.C.D.3.设 在1，2满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的 _ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.函数 （分数：3.00）A.(-，-2)，(2，+)B.(-2，2)C.(-，0)，(0，+)D.(-2，0)，(0，2)5.
2、设 （分数：3.00）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点6.设 axb，f“(x)0，f“(x)0，则曲线 f(x)在区间(a，b)内沿 x 轴正向_（分数：3.00）A.下降且上凹B.下降且下凹C.上升且上凹D.上升且下凹7.设 f“(x)0，f“(x)0，x0，y=f(x+x)-f(x)，dy=f“(x)x，则_（分数：3.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy08.曲线 （分数：7.00）A.仅有水平B.仅有铅直C.既有水平又有铅直D.既无水平又无铅直二、解答题(总题数：14，分数：72.00)9.设
3、函数 （分数：3.00）_10.按定义求 （分数：3.00）_11.讨论函数 f(x)=|sinx|在点 x=0 处的连续性与可导性 （分数：3.00）_求下列函数的导数：（分数：18.00）(1).y=sin3xcos5x；（分数：3.00）_(2).y=3 x e x ；（分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_(5). （分数：3.00）_(6). （分数：3.00）_求下列函数的导数：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2).f(x)=coslnx（分数：3.00）_12.求 （分数：3.00）_13.设曲线 y=xlnx，在该曲线上
4、的点 P(x 0 ，y 0 )处的切线平行于直线 y=2x，求点 P(x 0 ，y 0 )的坐标和切线方程 （分数：3.00）_设 f(x)可导，求：（分数：12.00）(1).f 3 (x)“；（分数：3.00）_(2).f(x 3 )“；（分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4).-lnf(x 3 )“（分数：3.00）_14.求由方程 xy=e x+y ，确定的函数 y(x)的导数 （分数：3.00）_15.求由方程 x y =y x 确定的函数 x(y)的导数 （分数：3.00）_16.求星形线 在 （分数：3.00）_17.在曲线 y=4-x 2 (x0)上求一点 P，
5、使过 P 点的切线在两个坐标轴上的截距相等 （分数：3.00）_18.设 ，求 （分数：3.00）_求下列函数的微分：（分数：6.00）(1).y=xlnx+sin(x 2 )；（分数：3.00）_(2).y=x cosx （分数：3.00）_专升本高等数学(一)分类模拟 24 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：28.00)1.在-1，1上满足罗尔中值定理的所有条件的函数 f(x)=_ A （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 罗尔中值定理有三个条件：(1)函数 y=f(x)在a，b上连续；(2)在(a，b)内可导，(3)f(a)=f(
6、b) 对 A， 在 x=0 不连续 对 B， 2.在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的函数，f(x)=_ Aln(x-1) Blnx C （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 当 x=1 时，函数 ln(x-1)无定义，ln(x-1)在1，e不连续，故不选 A 对 B，f(x)=lnx 在1，e连续，在(1，e)内可导，故 y=lnx 在1，e上满足拉格朗日中值定理的条件，应选 B 对 C， 3.设 在1，2满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的 _ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因 ，又 a=1，b=2；f(a)=1， ，故 ，于是 但 ，故4.函
7、数 （分数：3.00）A.(-，-2)，(2，+)B.(-2，2)C.(-，0)，(0，+)D.(-2，0)，(0，2) 解析：解析 由 ，定义域是(-，0)(0，+)， 5.设 （分数：3.00）A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点 C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点解析：解析 f“(x)=x 2 -1令 f“(x)=0，得驻点 x 1 =-1，x 2 =1f“(x)=2x，f“(1)=20，故 x=1 是极小值点但 6.设 axb，f“(x)0，f“(x)0，则曲线 f(x)在区间(a，b)内沿 x 轴正向_（分数：3.00）A.下降且上凹 B.下降且
8、下凹C.上升且上凹D.上升且下凹解析：解析 当 axb 时，f“(x)0，曲线 f(x)在(a，b)内沿 x 轴下降；由 f“(x)0，知曲线 f(x)在(a，b)内沿 x 轴正向上凹，故曲线 f(x)在(a，b)内下降且上凹，选 A7.设 f“(x)0，f“(x)0，x0，y=f(x+x)-f(x)，dy=f“(x)x，则_（分数：3.00）A.ydy0B.ydy0 C.dyy0D.dyy0解析：解析 由于 f“(x)0，x0，知道 dy=f“(z)x0，故除掉 A，C 由 f(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)是单调下降且上凸，如图所示从中可知 ydy0，故选 B 8.曲线 （分数
9、：7.00）A.仅有水平 B.仅有铅直C.既有水平又有铅直D.既无水平又无铅直解析：解析 ，知 有水平渐近线 y=1，又函数 y 在 x=0 处无定义，且 ，知二、解答题(总题数：14，分数：72.00)9.设函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x)在 x 0 =1 处可导，所以在 x 0 =1 处连续但 f(1)=a， 故 a=1+b 再由于 f(x)在 x 0 =1 处可导，其左、右导数存在且相等，即 f“-(1)=f“+(1)，于是 故 a=2将 a=2 代入 a=1+b，得 b=1 利用 f“-(1)=f“+(1)的条件也可用如下方法用求导的方法可得 又 f“(
10、1)存在，故 f“(1)=f“-(1)=f“+(1)，但 10.按定义求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据导数定义求函数的导数，如果是求在一点处的导数，用 求较方便；如果是求在任意一点处的导数，用 11.讨论函数 f(x)=|sinx|在点 x=0 处的连续性与可导性 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 可只考虑 x 在 内的情形，故 由于 即 f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，故 f(x)在点 x=0 处连续又 求下列函数的导数：（分数：18.00）(1).y=sin3xcos5x；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y“=(sin3xcos5x)“=
11、(sin3x)“cos5x+sin3x(cos5x)“ =cos3x(3x)“cos5x+sin3x(-sin5x)(5x)“ =3cos3xcos5x-5sin3xsin5x 如先将 y 做恒等交换： ，则 (2).y=3 x e x ；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y=(3e) x “=(3e) x ln(3e)=(3e) x (1+ln3)(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 若直接求导数，则 (4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (5). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (6). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 求下
12、列函数的导数：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (2).f(x)=coslnx（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 12.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 故 13.设曲线 y=xlnx，在该曲线上的点 P(x 0 ，y 0 )处的切线平行于直线 y=2x，求点 P(x 0 ，y 0 )的坐标和切线方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于点 P(x 0 ，y 0 )在曲线 y=xlnx 上，故 y 0 =x 0 lnx 0 ，y“=(xlnx)“=1+lnx， y“|x=x 0 =1+lnx 0 又曲线上的点 P(x 0
13、，y 0 )处的切线平行于直线 y=2x，直线 y=2x 的斜率 k=2，故曲线上点 P(x 0 ，y 0 )处的切线斜率是 2，即 1+lnx 0 =2，解得 x 0 =e，相应地得 y 0 =x 0 lnx 0 =elne=e，故 P(x 0 ，y 0 )=(e，e)，所求切线方程为 y-e=2(x-e)，即 2x-y-e=0设 f(x)可导，求：（分数：12.00）(1).f 3 (x)“；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f 3 (x)“=3f 2 (x)，f“(x)；(2).f(x 3 )“；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x 3 )“=3x 2 f“(x
14、3 )；(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 (4).-lnf(x 3 )“（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 14.求由方程 xy=e x+y ，确定的函数 y(x)的导数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 1 两端对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，则 y+xy“ x =e x+y (1+y“ x )， 化简得 解 2 利用微分形式不变性，得 ydx+xdy=e x+y (dx+dy)， 化简即得 解 3 设 F(x，y)=xy-e x+y 0，得 ，其中 F“ x (x，y)和 F“ y (x，y)分别表示 F(x，y)对 x 和 y 的偏导数 把
15、y 看作常数，对 x 求导，得 F“ x (x，y)=y-e x+y ，把 x 看作常数，对 y 求导，得 F“ y (x，y)=x-e x+y ， 故 解 4 利用对数求导法，两端取对数，得 ln|x|+ln|y|=x+y(因 x 与 y 同号，此处取绝对值)， 两端对 x 求导，得 整理得 15.求由方程 x y =y x 确定的函数 x(y)的导数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 两端取对数，得 ylnx=xlny， 注意 x 是 y 的函数，两端对 y 求导，得 整理得 若对方程取对数后两端求微分，得 则 对只有相乘、相除、乘幂、根式和指数等运算的函数，用对数求导法常常比较
16、方便对于幂指函数 y=u(x) v(x) (u(x)0)，可以利用指数函数与对数函数的关系，将其化为 y=e v(x)lnu(x) 再利用复合函数求导法则求导，得 16.求星形线 在 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 时， 切线斜率 ，法线斜率 ，故法线方程为 17.在曲线 y=4-x 2 (x0)上求一点 P，使过 P 点的切线在两个坐标轴上的截距相等 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 1 因为过 P 点的切线在两个坐标轴上的截距相等，故设在 P 点的切线方程为 其中 a 为截距，即 y=-x+a，于是，过 P 点的切线斜率是-1又曲线 y=4-x 2 的斜率是 y“
17、=-2x，故-2x=-1，解得 ，将其代入 y=4-x 2 ，得 因此，P 点坐标是 解 2 设切点 P 的坐标是(x 0 ，y 0 )，曲线 y=4-x 2 。在 P 点的斜率为 y“| x=x0 =-2x| x=x0 =-2x 0 ，故过 P 点的切线方程是 y-y 0 =-2x 0 (x-x 0 )， 即 y=y 0 -2x 0 (x-x 0 )=4-x 0 2 -2x 0 (x-x 0 ) 令 y=0，得切线在 x 轴上的截距 ；令 x=0，得切线在 y 轴上的截距 y=4+x 0 2 由于截距相等，故 解出 ，即 18.设 ，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 求下列函数
18、的微分：（分数：6.00）(1).y=xlnx+sin(x 2 )；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 求微分有两种方法：运用微分定义 dy=f“(x)dx，求出 f“(x)后代入即得；或利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分 因为 y“=lnx+1+2xcosx 2 ，故 dy=(1+lnx+2xcosx 2 )dx 或 dy=d(xlnx+sinx 2 )=d(xlnx)+d(sinx 2 ) =lnxdx+xd(lnx)+cosx 2 d(x 2 ) =lnxdx+dx+2xcosx 2 dx =(1+lnx+2xcosx 2 )dx(2).y=x cosx （分数：3.00）_正确答案：()解析：解
