1、专升本高等数学(一)分类模拟 22 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)求下列数列的极限：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_1.计算 （分数：2.50）_2.计算 （分数：2.50）_3.计算 （分数：2.50）_求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_4.计算 （分数：2.50）_5.计算 （分数：2.50）_计算下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(
2、2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_6.计算 （分数：2.50）_计算下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_(3). （分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_计算下列极限：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_7.计算 （分数：2.50）_8.设 （分数：2.50）_9.设 （分数：2.50）_求下列函数在分段点处的极限：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_当 x0 时，将下列函数与 x 进行比较：哪
3、些是高阶、同阶、等价无穷小?（分数：10.00）(1).tan 2 x（分数：2.50）_(2).1-cosx（分数：2.50）_(3).ln(1+x)（分数：2.50）_(4). （分数：2.50）_10.讨论函数 （分数：2.50）_11.设函数 （分数：2.50）_12.求函数 （分数：2.50）_13.求函数 （分数：2.50）_14.设 （分数：2.50）_15.计算 （分数：2.50）_16.计算 （分数：2.50）_17.证明方程性 x 3 -3x+1=0 在 0 与 1 之间至少有一个实根 （分数：2.50）_18.证明方程 xe x =1 至少有一个小于 1 的正根 （分数：
4、2.50）_专升本高等数学(一)分类模拟 22 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)求下列数列的极限：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 这 4 个极限均为 型，一般采用分母和分子同除以 n 的某次幂的方法求极限 分母和分子同除以 n 3 ，得 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 分母和分子同除以 n，得 1.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 此数列极限为“-”型，将其有理化后求极限 2.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因 故 3.计算 （分数：
5、2.50）_正确答案：()解析：解 由于 故 求下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (4). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 4.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 极限是 型，分母和分子同时分解因式，约去分母为零的因式，得 5.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 极限是 型，将分母和分子同除以 x 3 ，得 一般情形有如下结论，设 a 0 0，b 0 0，m，n 是正整数，则 计算下列极限：（分数：
6、10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 另解 1 另解 2 利用等价无穷小代换，当 x0 时， ，故 另解 3 由洛必达法则，有 (3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (4). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 当 x0 + 时，tanxx， ，故 6.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 极限是“-”型，将其有理化后求极限 计算下列极限：（分数：10.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，x 是无穷小量，由 ，即 是有界量，故 是无穷小量，
7、于是 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 当 x时， 是无穷小量，因|sinx|1，即 sinx 是有界量，故 是无穷小量，于是 (3). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (4). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 注意 计算下列极限：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 凑成重要极限需要一些技巧如使用代换，令 x-1=t，则当 x1 时，t0，故 7.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 极限是“ 0 ”型设 ，则 ，由洛必达法则，有 故 容易计算 ，故
8、有 在两个重要极限的使用中，有些人易将 与 与 混淆，此处将 8.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 则 k=ln2 或 9.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 已知极限存在，而极限式的分母的极限是 0，分子的极限也必须是 0， 即 ，得 a=-2，且 求下列函数在分段点处的极限：（分数：5.00）(1). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 故 (2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因 f(1-0)f(1+0)，故 当 x0 时，将下列函数与 x 进行比较：哪些是高阶、同阶、等价无穷小?（分数：10.00）(1).tan 2 x（分数：2.50
9、）_正确答案：()解析：解 因 (2).1-cosx（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因(3).ln(1+x)（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因(4). （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因 ，故当 x0 时， 与 x 是同阶无穷小，即10.讨论函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因 f(0-0)f(0+0)，故 11.设函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因 f(1)=2， 12.求函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 所给函数在 x=n(n=0，1，2，)无定义，故 x=0，n(n=1，2，)是函数的间断点 当 x=0
10、 时， ，故 x=0 时是第一类间断点，且是可去间断点若补充定义 f(0)=1，则 f(x)在 x=0 处连续 当 x=n(n=0，1，2，)时， 13.求函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 所给函数在 x=0 是函数的间断点因 14.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 f(x)在 x=0 处有定义且 f(0)=0 15.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因 但函数 yarcsinu 在 处连续，故 16.计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因 ，故 17.证明方程性 x 3 -3x+1=0 在 0 与 1 之间至少有一个实根 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证 设 f(x)=x 3 -3x+1，则 f(0)=10，f(1)=-10，即 f(0)f(1)=-10，故由零点定理知，函数f(x)在 0 与 1 之间至少有一个零点，即方程 x 3 -3x+1=0 在 0 与 1 之间至少有一个实根18.证明方程 xe x =1 至少有一个小于 1 的正根 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证 设 f(x)=xe x -1，则 f(0)=-10，f(1)=e-10，故由取零值定理知，函数 f(x)在 0 与 1 之间至少有一个零点，即方程 xe x =1 至少有一个小于 1 的正根
