1、专升本高等数学(一)-空间解析几何、无穷级数、常微分方程及答案解析(总分:88.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:5,分数:5.00)1.设平面过 点(1,0,-1)且与平面 4x-y+2z-8=0 平行,则平面 的方程为 1(分数:1.00)填空项 1:_2.过两点(1,-1,-1),(0,2,-1)的直线的方程是 1(分数:1.00)填空项 1:_3.空间平面 :x+2y-z+3=0 与空间直线 l: (分数:1.00)填空项 1:_4.直线 l 过点(0,2,-1)且与平面 4x-y+2z-8=0 垂直,则直线 l 的方程为 1(分数:1.00)填空项 1:_5.点(
2、1,0,-1)到平面 x+2y-2z-2=0 的距离是 1(分数:1.00)填空项 1:_二、B解答题/B(总题数:11,分数:83.00)设曲线 y=x2+1 上一点(x 0,y 0)处的切线 l 平行于直线 y=2x+1,求(分数:3.00)(1).切点(x 0,y 0);(分数:1.00)_(2).切线 l 的方程(分数:1.00)_(3).求过点 M0(1,-1,2)且与直线 l1,l 2都垂直的直线,其中(分数:1.00)_试确定下列各组直线与平面间的关系:(分数:5.00)(1). (分数:1.00)_(2). (分数:1.00)_(3). (分数:1.00)_(4). (分数:1
3、.00)_(5).求所给球面 x2+y2+z2+2y-4z-4=0 的球心与半径(分数:1.00)_指出下列方程在空间直角坐标系中所表示曲面的名称(分数:17.00)(1).x2+y2+z2-2z=0;(分数:1.00)_(2).; (分数:1.00)_(3).x2-y2+z2=0;(分数:1.00)_(4).y2+z2=1;(分数:1.00)_(5).x+2y2+2z2=1;(分数:1.00)_(6).x2-y2+z2=1(分数:1.00)_(7).求出曲线 l 绕 Oz 轴旋转一周所得到的曲面方程,其中 l: (分数:1.00)_(8).判断下列级数的收敛性,如果收敛,试求出级数的和. (
4、分数:1.00)_(9).判断下列级数的收敛性,如果收敛,试求出级数的和. (分数:1.00)_(10).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_(11).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_(12).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_(13).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_(14).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_(15).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_(16).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_(17).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_判断下列级数的收敛性:(分数:3.00)(1).; (分数:1.00)_
5、(2).; (分数:1.00)_(3). (分数:1.00)_判断下列级数的收敛性,如果级数收敛,请说明是绝对收敛还是条件收敛(分数:13.00)(1).; (分数:1.00)_(2).; (分数:1.00)_(3).; (分数:1.00)_(4).; (分数:1.00)_(5).; (分数:1.00)_(6) (分数:1.00)_(7).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. (分数:1.00)_(8).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. (分数:1.00)_(9).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. (分数:1.00)_(10).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. (分数:1.00)_(11)
6、.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. (分数:1.00)_(12).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. (分数:1.00)_(13).求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. (分数:1.00)_将下列函数展开成 x 的幂级数(分数:5.00)(1).f(x)=ln(1-x)(分数:1.00)_(2). (分数:1.00)_(3). (分数:1.00)_(4).f(x)=ax(分数:1.00)_(5).f(x)=(1+x)ln(1+x)(分数:1.00)_将下列函数展开成 x-x0的幂级数(分数:15.00)(1).f(x)=ln(x-1),x 0=2(分数:1.00)_(2).f(x)=ex,x
7、0=1;(分数:1.00)_(3). (分数:1.00)_(4). (分数:1.00)_(5).将函数 (分数:1.00)_(6).求微分方程 xdx+ydy=0 的通解(分数:1.00)_(7).求微分方程 y=xey的通解(分数:1.00)_(8).求微分方程 (分数:1.00)_(9).求微分方程 (分数:1.00)_(10).求微分方程 xy+y=ex的通解(分数:1.00)_(11).求解微分方程 xy-y=x2-2(分数:1.00)_(12).求微分方(e x+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0,满足初始条件 y|x=0=1 的特解(分数:1.00)_(13).求微分方程
8、x3y+(2-3x2)y=x3满足初始条件 y|x=1=0 的特解(分数:1.00)_(14).求微分方程 (分数:1.00)_(15).设连续函数 f(x)满足积分方程 (分数:1.00)_已知二阶常系数齐次线性微分方程有如下两个特解,求该微分方程:(分数:3.00)(1).e-x,e x;(分数:1.00)_(2).1,e -3x;(分数:1.00)_(3).e2x,(3+2x)e 2x(分数:1.00)_求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解:(分数:5.00)(1).y“+y-2y=0;(分数:1.00)_(2).y“-5y=0;(分数:1.00)_(3).4y“-4y+y=0;(分数
9、:1.00)_(4).y“+4y=0;(分数:1.00)_(5).y“+2y+2y=0(分数:1.00)_求下列微分方程满足相应初始条件的特解:(分数:3.00)(1).y“-3y-4y=0,y| x=0=0,y| x=0=-5;(分数:1.00)_(2).4y“+4y+y=0,y| x=0=2,y| x=0=10;(分数:1.00)_(3).y“-4y+13y=0,y| x=0=3,y| x=0=0(分数:1.00)_求解下列二阶常系数非齐次线性微分方程:(分数:11.00)(1).2y“+y-y=9e2x;(分数:2.20)_(2).y“+y-2y=e-x;(分数:2.20)_(3).y“
10、+3y=3x;(分数:2.20)_(4).y“-y-2y=xe-x;(分数:2.20)_(5).4y“-4y+y=3xe2x(分数:2.20)_专升本高等数学(一)-空间解析几何、无穷级数、常微分方程答案解析(总分:88.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:5,分数:5.00)1.设平面过 点(1,0,-1)且与平面 4x-y+2z-8=0 平行,则平面 的方程为 1(分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:4x-y+2z-2=0;)解析:2.过两点(1,-1,-1),(0,2,-1)的直线的方程是 1(分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*;)解析:3.空间平面
11、 :x+2y-z+3=0 与空间直线 l: (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:直线在平面内;)解析:4.直线 l 过点(0,2,-1)且与平面 4x-y+2z-8=0 垂直,则直线 l 的方程为 1(分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*;)解析:5.点(1,0,-1)到平面 x+2y-2z-2=0 的距离是 1(分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:二、B解答题/B(总题数:11,分数:83.00)设曲线 y=x2+1 上一点(x 0,y 0)处的切线 l 平行于直线 y=2x+1,求(分数:3.00)(1).切点(x 0,y 0);(分数:1.00)_正
12、确答案:(由 y=2x,y| x=x0=2x0,可知切线 l 的斜率为 2x0,由于切线 l 平行于直线 y=2x+1,故2x0=2,x 0=1,y 0=2,即切点的坐标为(1,2);)解析:(2).切线 l 的方程(分数:1.00)_正确答案:(过点(1,2),斜率为 2 的切线方程为 y=2x)解析:(3).求过点 M0(1,-1,2)且与直线 l1,l 2都垂直的直线,其中(分数:1.00)_正确答案:(直线 l1,l 2的方向向量 s1=1,2,-1,s 2=-2,1,1,直线 l 与 l1,l 2都垂直,可取 l 的方向向量 s=s1s2=3,1,5,M 0(1,-1,2),由直线的
13、标准式方程可得知,所求直线方程为*)解析:试确定下列各组直线与平面间的关系:(分数:5.00)(1). (分数:1.00)_正确答案:(l 与 平行,但不落在 上;)解析:(2). (分数:1.00)_正确答案:(l 落在 上;)解析:(3). (分数:1.00)_正确答案:(l;)解析:(4). (分数:1.00)_正确答案:(l 与 斜交)解析:(5).求所给球面 x2+y2+z2+2y-4z-4=0 的球心与半径(分数:1.00)_正确答案:(球心(0,-1,2),半径 R=3)解析:指出下列方程在空间直角坐标系中所表示曲面的名称(分数:17.00)(1).x2+y2+z2-2z=0;(
14、分数:1.00)_正确答案:(球面,球心(0,0,1),半径 R=1;)解析:(2).; (分数:1.00)_正确答案:(椭球面;)解析:(3).x2-y2+z2=0;(分数:1.00)_正确答案:(圆锥面,顶点在原点,Oy 轴为轴;)解析:(4).y2+z2=1;(分数:1.00)_正确答案:(母线平行于 Ox 轴的圆柱面;)解析:(5).x+2y2+2z2=1;(分数:1.00)_正确答案:(旋转抛物面;)解析:(6).x2-y2+z2=1(分数:1.00)_正确答案:(旋转抛物面)解析:(7).求出曲线 l 绕 Oz 轴旋转一周所得到的曲面方程,其中 l: (分数:1.00)_正确答案:
15、(2x 2+2y2+z=1)解析:(8).判断下列级数的收敛性,如果收敛,试求出级数的和. (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛,和为*)解析:(9).判断下列级数的收敛性,如果收敛,试求出级数的和. (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛,和为 1 原式=*)解析:(10).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_正确答案:(级数发散提示:用比较判别法,*)解析:(11).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_正确答案:(级数发散提示:*)解析:(12).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛提示:*)解析:(13).判断下列级数的收敛性. (分数:
16、1.00)_正确答案:(级数收敛提示:*)解析:(14).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛提示:用比值判别法)解析:(15).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛提示:用比值判别法或比较判别法均可)解析:(16).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛提示:可用比值判别法)解析:(17).判断下列级数的收敛性. (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛提示:可用比值判别法)解析:判断下列级数的收敛性:(分数:3.00)(1).; (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛;)解析:(2).; (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛;)解析:(3). (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛)解析:判断下列级数的收敛性,如果级数收敛,请说明是绝对收敛还是条件收敛(分数:13.00)(1).; (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛,绝对收敛,)解析:(2).; (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛,条件收敛;)解析:(3).; (分数:1.00)_正确答案:(级数收敛,绝对收敛;)解析:(4).; (分数:1.00)_