1、专升本高等数学(一)-常微分方程(二)-2 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.微分方程 y“=y“的通解是_（分数：2.00）A.y=c1x+c2exB.y=c1+c2exC.y=c1+c2xD.y=c1x+c2x22.对于微分方程 y“+3y“+2y=e -x ，利用待定系数法求其特解 y * 时，下面特解设法正确的是_（分数：2.00）A.y*=Ae-xB.y*=(Ax+B)e-xC.y*=Axe-xD.y*=Ax2e-x3.对于微分方程 y“+y=sinx，利用待定系数法求其特解 y * 时，下面特解设法正确的是_（分数：2
2、.00）A.y*=asinxB.y*=acosxC.y*=x(asinx+bcosx)D.y*=asinx+bcosx二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.设 y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程 y“+py“+qy=0 的两个线性无关的解，则它的通解为 1 （分数：2.00）5.二阶常系数齐次线性微分方程 y“+2y=0 的通解为 1 （分数：2.00）6.二阶常系数齐次线性微分方程 y“-4y“+4y=0 的通解为 1 （分数：2.00）7.微分方程 y“+y“=0 的通解为 1 （分数：2.00）三、解答题(总题数：10，分数：86.00)解下列微分方程（分数：2
3、7.00）(1).(Gompertz 方程) y“=rye -kx ，r 和 k 是常数，k0，y| x=0 =y 0 （分数：3.00）_(2).xy“-ylny=0（分数：3.00）_(3).ydx+(y-x)dy=0（分数：3.00）_(4).(e y -1)e x dx+(e x +1)e y dy=0（分数：3.00）_(5).y“=(x+y) 2 （分数：3.00）_(6).y“=(x+y) -2 （分数：3.00）_(7).y“+y=e -x ，y| x=0 =5（分数：3.00）_(8). （分数：3.00）_(9).(x 2 -1)y“+2xy-cosx=0（分数：3.00）
4、_8.求 （分数：3.00）_9.已知 f“(x)=1+x 2 ，且 f(0)=1，求 f(x) （分数：3.00）_10.求 （分数：3.00）_设曲线 y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率是 ，且该曲线经过点 （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_(2).求由曲线 y=f(x)，y0，x1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x （分数：2.00）_11.设 f(x)是连续函数，由 （分数：3.00）_12.设 f(x)连续且满足 （分数：3.00）_已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程（分数：4.00）(1).y 1
5、 =e x ，y 2 =e -4x ；（分数：1.00）_(2).y 1 =e 2x ，y 2 =xe 2x ；（分数：1.00）_(3).y 1 =sin2x，y 2 =cos2x；（分数：1.00）_(4).y 1 =e x sinx，y 2 =e x cosx（分数：1.00）_解下列微分方程（分数：33.00）(1).y“-5y“+6y=0（分数：3.00）_(2).y“+6y“+13y=0（分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4).s“+4s“+29s=0，s| t=0 =0，s“| t=0 =15（分数：3.00）_(5).4y“+43y“+y=0，y| x=0 =2
6、，y“| x=0 =0（分数：3.00）_(6).y“+6y“+5y=e 2x （分数：3.00）_(7).x“+x“-2x=8sin2t（分数：3.00）_(8).y“+y=sinx-cos2x（分数：3.00）_(9).x“+9x=tsin3t（分数：3.00）_(10).s“-a 2 s=t+1（分数：3.00）_(11).x“+9x=6e 3t ，x(0)=x“(0)=0（分数：3.00）_13.设 （分数：3.00）_专升本高等数学(一)-常微分方程(二)-2 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.微分方程 y“=y“的通解是
7、_（分数：2.00）A.y=c1x+c2exB.y=c1+c2ex C.y=c1+c2xD.y=c1x+c2x2解析：2.对于微分方程 y“+3y“+2y=e -x ，利用待定系数法求其特解 y * 时，下面特解设法正确的是_（分数：2.00）A.y*=Ae-xB.y*=(Ax+B)e-xC.y*=Axe-x D.y*=Ax2e-x解析：3.对于微分方程 y“+y=sinx，利用待定系数法求其特解 y * 时，下面特解设法正确的是_（分数：2.00）A.y*=asinxB.y*=acosxC.y*=x(asinx+bcosx) D.y*=asinx+bcosx解析：二、填空题(总题数：4，分数
8、：8.00)4.设 y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程 y“+py“+qy=0 的两个线性无关的解，则它的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)，其中 c 1 ，c 2 为任意常数5.二阶常系数齐次线性微分方程 y“+2y=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：6.二阶常系数齐次线性微分方程 y“-4y“+4y=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=(c 1 +c 2 x)e 2x 7.微分方程 y“+y“=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=c 1 +c 2 e -x 三、解答题(总题数：10，分数：8
9、6.00)解下列微分方程（分数：27.00）(1).(Gompertz 方程) y“=rye -kx ，r 和 k 是常数，k0，y| x=0 =y 0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：记 e x =expx， (2).xy“-ylny=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：y=e cx (3).ydx+(y-x)dy=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：本题 x 和 y 处于平等地位 (1)x 看作自变量， 是齐次方程，令 则 ，对 u0(即 y0)， ，方程的解为 和 y=0 (2)y 看作自变量，y0， 是 x 的一阶线性微分方程，可解出 (4).(e y -1)e x
10、 dx+(e x +1)e y dy=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：(1+e x )(1-e y )c(5).y“=(x+y) 2 （分数：3.00）_正确答案：()解析：设 x+y=u，方程的解 y=-x+tan(x+c)(6).y“=(x+y) -2 （分数：3.00）_正确答案：()解析：arctan(x+y)=y+c(提示：将 y 看作自变量)(7).y“+y=e -x ，y| x=0 =5（分数：3.00）_正确答案：()解析：y=e -x (x+5)(8). （分数：3.00）_正确答案：()解析：y=x(ln|lnx|+c)(9).(x 2 -1)y“+2xy-cos
11、x=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：8.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：y=x+c9.已知 f“(x)=1+x 2 ，且 f(0)=1，求 f(x) （分数：3.00）_正确答案：()解析：10.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：设曲线 y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率是 ，且该曲线经过点 （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(2).求由曲线 y=f(x)，y0，x1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V x （分数：2.00）_正确答案：()解析：11.设 f(x)是连续函数，由 （分数：
12、3.00）_正确答案：()解析：因 f(x)是连续函数，故 可导，由此得到 可导对 ，两端关于 x 求导，得 xf(x)=2x+f“(x)记 yf(x)，则该式化为 y“-xy=-2x 是一阶线性微分方程的标准形式，积分可得 当x=0 时，有 ，从而 f(0)=0，即 y| x=0 =0，代入 ，得 0=y| x=0 =ce 0 +2，知 c=-2，故 为所求 解析 对于含有积分上(下)限的关系式，一般可利用求导法，将其化为微分方程形式另外，此类题目要注意微分方程的初始条件隐含在所给出的关系式中，即 12.设 f(x)连续且满足 （分数：3.00）_正确答案：()解析：先证 f(x)可导已知二
13、阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程（分数：4.00）(1).y 1 =e x ，y 2 =e -4x ；（分数：1.00）_正确答案：()解析：y“+3y“-4y=0；(2).y 1 =e 2x ，y 2 =xe 2x ；（分数：1.00）_正确答案：()解析：y“-4y“+4y=0；(3).y 1 =sin2x，y 2 =cos2x；（分数：1.00）_正确答案：()解析：y“+4y=0；(4).y 1 =e x sinx，y 2 =e x cosx（分数：1.00）_正确答案：()解析：y“-2y“+2y=0解下列微分方程（分数：33.00）(1).y“-5y“+6y=
14、0（分数：3.00）_正确答案：()解析：y=c 1 e 2x +c 2 e 3x (2).y“+6y“+13y=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：y=e -3x (c 1 cos2x+c 2 sin2x)(3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(4).s“+4s“+29s=0，s| t=0 =0，s“| t=0 =15（分数：3.00）_正确答案：()解析：s=3e -2t sin5t(5).4y“+43y“+y=0，y| x=0 =2，y“| x=0 =0（分数：3.00）_正确答案：()解析：(6).y“+6y“+5y=e 2x （分数：3.00）_正确答案：()解析：(7).x“+x“-2x=8sin2t（分数：3.00）_正确答案：()解析：(8).y“+y=sinx-cos2x（分数：3.00）_正确答案：()解析：(9).x“+9x=tsin3t（分数：3.00）_正确答案：()解析：x=c 1 cos3t+c 2 sin3t-36t(3tcos3t+sin3t)(10).s“-a 2 s=t+1（分数：3.00）_正确答案：()解析：(11).x“+9x=6e 3t ，x(0)=x“(0)=0（分数：3.00）_正确答案：()解析：13.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：
