1、专升本高等数学(一)-常微分方程(一)及答案解析(总分：91.98，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：13，分数：26.00)1.下列方程为一阶线性微分方程的是_ A. (y)2+2y=x B. y+2y2=x C. y+y=x D. y“+y=x（分数：2.00）A.B.C.D.2.微分方程 的通解是_ A. B. C. D. （分数：2.00）A.B.C.D.3.微分方程 y“=y 的通解是_ A. y=C1+C2ex B. y=ex+e-x C. y=C1ex+C2e-x D. y=Cex+Ce-x(其中 C，C 1，C 2为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D.4.
2、微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 y“=y的通解为_ A. y=C1+C2e2x B. y=C1+C2ex C. y=C1+C2x D. y=C1x+C2x2（分数：2.00）A.B.C.D.6.下列方程为一阶线性微分方程的是_ A.y+xy3=x B.xy+y=x3 C.yy+xy=sinx D.y“+5y-6y=xe-x（分数：2.00）A.B.C.D.7.微分方程 y= 的通解是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.微分方程 y+xy=0 的通解是_ A B C Dy= （分数：2.00）A.B.C.D.9.微分方程 ylnxdx=xlnydy
3、 满足初始条件 y|x=1=1 的特解是_ A.ln2x+ln2y=0 B.ln2x+ln2y=1 C.ln2x-ln2y=0 D.ln2x-ln2y=1（分数：2.00）A.B.C.D.10.微分方程 y“+4y-5y=0 的通解是_ A.y=C1ex+C2e5x B.y=C1e-x+C2e5x C.y=C1ex+C2e-5x D.y=C1e-x+C2e-5x（分数：2.00）A.B.C.D.11.对于微分方程 y“+4y+4y=e-2x，利用待定系数法求其特解 y*时，下列特解设法正确的是_ A.y*=Ae-2x B.y*=(Ax+B)e-2x C.y*=Axe-2x D.y*=Ax2e-
4、2x（分数：2.00）A.B.C.D.12.已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解是 y=C1e-2x+C2e3x，则此方程为_ A.y“-y+6y=0 B.y“-y-6y=0 C.y“+y-6y=0 D.y“+y+6y=0（分数：2.00）A.B.C.D.13.已知二阶线性常系数齐次微分方程的两个特解是 y1=1 与 y2=e2x，则此方程为_ A.y“-2y=0 B.y“+2y=0 C.y“-3y+2y=0 D.y“+3y+2y=0（分数：2.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：11，分数：22.00)14.微分方程 xy=1 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_15.微分
5、方程 y=x 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 y-y=1 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 xyy=1-x2的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 y-3y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 y1(x)，y 2(x)是二阶线性常系数微分方程 y“+py+qy=0 的两个线性无关的解，则它的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_22.微分方程 y“-3y+2y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1
6、:_23.微分方程 y“-6y+9y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_24.微分方程 y“+2y+5y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：3，分数：44.00)设曲线 y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为 ，且该曲线经过点 （分数：4.00）(1).求函数 y=f(x)（分数：2.00）_(2).求由曲线 y=f(x)，y=0，x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_设函数 y=f(x)由微分方程 （分数：35.98）(1).求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.57）_(2).讨论函数 y=f
7、(x)在(0，+)内的单调性（分数：2.57）_(3).求连续函数 f(x)，使其满足 （分数：2.57）_(4).设 y=ex是微分方程xy+g(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足初始条件 y|x=ln2=0 的特解（分数：2.57）_(5).求解下列微分方程 求微分方程 y-y=1+xy的通解（分数：2.57）_(6).求解下列微分方程求微分方程 （分数：2.57）_(7).求解下列微分方程 求微分方程 （分数：2.57）_(8).求解下列微分方程求微分方程 cosxy-sinxy=cos2x 满足初始条件 y|x= =1 的特解（分数：2.57）_(9).设 f(x)为连续函数，它由
8、方程 （分数：2.57）_(10).求解二阶常系数线性非齐次微分方程求微分方程 y“+y-2y=e-x的通解（分数：2.57）_(11).求解二阶常系数线性非齐次微分方程求微分方程 y“+6y+5y=e-x的通解（分数：2.57）_(12).求解二阶常系数线性非齐次微分方程求微分方程 y“-2y+y=ex的通解（分数：2.57）_(13).求解二阶常系数线性非齐次微分方程 求微分方程 y“-2y-3y=x+1 的通解（分数：2.57）_(14).设 f(x)= （分数：2.57）_已知可导函数 y=f(x)满足关系式 y“+y=0，且其图形在点(0，0)处的切线与直线 x-y=1 平行（分数：
9、4.00）(1).求 f(x)（分数：2.00）_(2).求曲线 y=f(x)，与直线 x=1，y=0 所围成的平面图形的面积 S.（分数：2.00）_专升本高等数学(一)-常微分方程(一)答案解析(总分：91.98，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：13，分数：26.00)1.下列方程为一阶线性微分方程的是_ A. (y)2+2y=x B. y+2y2=x C. y+y=x D. y“+y=x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查微分方程的有关概念一阶线性微分方程要求方程中所含有关未知函数的导数的最高阶数为一阶的，且未知函数及其一阶导数均为一次幂(答案为
10、C)2.微分方程 的通解是_ A. B. C. D. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用直接积分法可求得给定线性微分方程的通解 *(答案为 D)3.微分方程 y“=y 的通解是_ A. y=C1+C2ex B. y=ex+e-x C. y=C1ex+C2e-x D. y=Cex+Ce-x(其中 C，C 1，C 2为任意常数)（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 已知微分方程 y“=y 为二阶线性微分方程，其通解中应含两个独立的任意常数 C1，C 2选项B、D 中的函数不含有任意常数或者只含有一个任意常数，所以选项 B、D 是错误的，应筛去选项 A 中，y=C 1+C
11、2ex中含有两个任意常数，通过求导可得 y=C2ex，y“=C 2ex，代入微分方程 y“=y，等式关系不成立，因此 y=C1+C2ex不是微分方程 y“=y 的通解选项 C 中，y=C 1ex+C2e-x中含有两个任意常数，通过求导得 y=C1ex-C2e-x，y“=C 1ex+C2e-x，代入微分方程y“=y，等式关系成立，因此 y=C1ex+C2e-x是微分方程 y“=y 的通解(答案为 C)4.微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本小题主要考查可分离变量方程的解法，分离变量*，两边积分，得lny=-x+C1，即原方程的通解为 y=Ce-x(其中*)将初始条件 y|
12、x=1代入通解，得 C=e，所求特解为 y=ee-x=e1-x(答案为 D)5.微分方程 y“=y的通解为_ A. y=C1+C2e2x B. y=C1+C2ex C. y=C1+C2x D. y=C1x+C2x2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 已知方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其相应的齐次方程的特征方程为r2-r=0，特征根 r1=0，r 2=1，故原方程的通解为 y=C1+C2ex(答案为 B)6.下列方程为一阶线性微分方程的是_ A.y+xy3=x B.xy+y=x3 C.yy+xy=sinx D.y“+5y-6y=xe-x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：7
13、.微分方程 y= 的通解是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：8.微分方程 y+xy=0 的通解是_ A B C Dy= （分数：2.00）A. B.C.D.解析：9.微分方程 ylnxdx=xlnydy 满足初始条件 y|x=1=1 的特解是_ A.ln2x+ln2y=0 B.ln2x+ln2y=1 C.ln2x-ln2y=0 D.ln2x-ln2y=1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：10.微分方程 y“+4y-5y=0 的通解是_ A.y=C1ex+C2e5x B.y=C1e-x+C2e5x C.y=C1ex+C2e-5x D.y=C1e-x+C2e-5
14、x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：11.对于微分方程 y“+4y+4y=e-2x，利用待定系数法求其特解 y*时，下列特解设法正确的是_ A.y*=Ae-2x B.y*=(Ax+B)e-2x C.y*=Axe-2x D.y*=Ax2e-2x（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：12.已知二阶线性常系数齐次微分方程的通解是 y=C1e-2x+C2e3x，则此方程为_ A.y“-y+6y=0 B.y“-y-6y=0 C.y“+y-6y=0 D.y“+y+6y=0（分数：2.00）A.B. C.D.解析：13.已知二阶线性常系数齐次微分方程的两个特解是 y1=1 与 y2=e2x，则此
15、方程为_ A.y“-2y=0 B.y“+2y=0 C.y“-3y+2y=0 D.y“+3y+2y=0（分数：2.00）A. B.C.D.解析：二、B填空题/B(总题数：11，分数：22.00)14.微分方程 xy=1 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：ln|x|+C）解析：解析 本小题主要考查可分离变量方程的解法 * y=ln|x|+C15.微分方程 y=x 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题主要考查求解可分离变量微分方程 *，即 dy=xdx，则*16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2+y2=20）
16、解析：解析 本题主要考查求解可分离变量方程微分方程，分离变量 ydy=-xdx，两边积分*，即方程的通解为 x2+y2=C(其中 C=2C1)将初始条件 y|x=2=4 代入通解，得 C=20，所求的特解为 x2+y2=2017.微分方程 y-y=1 的通解为_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=Ce x-1）解析：解析 本题给定方程是可分离变量的微分方程，也是一阶线性微分方程解法 *，ln(y+1)=x+C1，y+1=Cex(其中*)，即通解为 y=Cex-1解法 p(x)=-1，q(x)=1y=e-p(x)dx q(x)e p(x)dx dx+C-edx e dx dx+C=
17、exe -xdx+C=ex-e-x+C=Cex-118.微分方程 xyy=1-x2的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2+y2=2lnx+C）解析：19.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e -y=e-x+C）解析：20.微分方程 y-3y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=Ce 3x）解析：21.设 y1(x)，y 2(x)是二阶线性常系数微分方程 y“+py+qy=0 的两个线性无关的解，则它的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1y1(x)+C2y2(x)）解析：22.微分方程 y
18、“-3y+2y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1ex+C2e2x）解析：23.微分方程 y“-6y+9y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=(C 1+C2x)e3x）解析：24.微分方程 y“+2y+5y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=e -x(C1cos2x+C2sin2x)）解析：三、B解答题/B(总题数：3，分数：44.00)设曲线 y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为 ，且该曲线经过点 （分数：4.00）(1).求函数 y=f(x)（分数：2.00）_正确答案：(*， *
19、 由*知 C=0，故*)解析：(2).求由曲线 y=f(x)，y=0，x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(*)解析：设函数 y=f(x)由微分方程 （分数：35.98）(1).求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.57）_正确答案：(方程可化为*，则*将初始条件 y|x=1=0 代入得 C=-1，故*)解析：(2).讨论函数 y=f(x)在(0，+)内的单调性（分数：2.57）_正确答案：(因*，故*在(0，+)内单调增加)解析：(3).求连续函数 f(x)，使其满足 （分数：2.57）_正确答案：(对关系式两边求导，得f(x)+2f(x)=
20、2x.这是标准形式的一阶线性微分方程，其中 p(x)=2，q(x)=2x其通解为y=e-p(x)dx q(x)e -p(x)dx dx+C=e-2dx 2xe 2dxdx+C=e-2x2xe 2xdx+C=e-2xxe2x-e 2xdx+C=e-2x*，由关系式*，令 x=0，得 f(0)=0 代入通解，得*，所以所求函数为*)解析：(4).设 y=ex是微分方程xy+g(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足初始条件 y|x=ln2=0 的特解（分数：2.57）_正确答案：(将解 y=ex代入给定的微分方程，有xex+g(x)ex=x，解得 g(x)=x(e-x-1)代入原方程，得y+(e-
21、x-1)y=1这是一个一阶线性微分方程的标准形式，其中 p(x)=e-x-1，q(x)=1，则其通解*将初始条件 y|x=ln2=0 代入通解，得*，所以所求的特解为*)解析：(5).求解下列微分方程 求微分方程 y-y=1+xy的通解（分数：2.57）_正确答案：(y-1=C(x+1)解析：(6).求解下列微分方程求微分方程 （分数：2.57）_正确答案：(*)解析：(7).求解下列微分方程 求微分方程 （分数：2.57）_正确答案：(*)解析：(8).求解下列微分方程求微分方程 cosxy-sinxy=cos2x 满足初始条件 y|x= =1 的特解（分数：2.57）_正确答案：(*)解析
22、：(9).设 f(x)为连续函数，它由方程 （分数：2.57）_正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微分方程*，xf(x)=f(x)+2x，整理为一阶线性微分方程的标准形式 y-xy=-2x，其中 p(x)=-x，q(x)=-2x，y=e-p(x)dx q(x)e p(x)dx dx+C=exdx -2xe -xdx dx+C*把 x=0 代入*，得 f(0)=0把初始条件 f(0)=0 代入方程的通解*，得 C=-2，所求的函数为*)解析：(10).求解二阶常系数线性非齐次微分方程求微分方程 y“+y-2y=
23、e-x的通解（分数：2.57）_正确答案：(*)解析：(11).求解二阶常系数线性非齐次微分方程求微分方程 y“+6y+5y=e-x的通解（分数：2.57）_正确答案：(*)解析：(12).求解二阶常系数线性非齐次微分方程求微分方程 y“-2y+y=ex的通解（分数：2.57）_正确答案：(*)解析：(13).求解二阶常系数线性非齐次微分方程 求微分方程 y“-2y-3y=x+1 的通解（分数：2.57）_正确答案：(*)解析：(14).设 f(x)= （分数：2.57）_正确答案：(本题给定的关系式中含有变上限定积分，通过等式两边同时微分的方法，根据变上限定积分求导定理将给定的关系式转化为微
24、分方程*对于上式左右两边再对 x 求导，有 f“(x)=6x+f(x)，即 f“(x)-f(x)=6x，此为二阶常系数非齐次线性微分方程为了求解需先确定初始条件：取 x=0 代入 f(x)=x3+1+*，得f(0)=03+1+*，即得 f(0)=1取 x=0 代入关系式 f(x)=3x2+*，得*，即得 f(0)=0原题转化为求解二阶常系数非齐次线性微分方程 f“(x)-f(x)=6x 在初始条件 f(0)=1，且 f(0)=0 下的特解其对应的齐次方程为 f“(x)-f(x)=0特征方程为 r2-1=0，特征根为 r=1，齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2ex自由项 f(x)=6x，其中
25、 Pm(x)=6x，m=1，=0 不是特征根，设非齐次线性方程的特解y*=Ax+B，y *=A，y *“=0 代入微分方程 f“(x)-f(x)=6x，得 A=-6，B=0，得非齐次线性方程的特解为 y*=-6x所以微分方程 f“(x)-f(x)=6x 的通解为 f(x)=C1e-x+C2ex-6x，将初始条件 f(0)=1，且 f(0)=0 代入得*所以*)解析：已知可导函数 y=f(x)满足关系式 y“+y=0，且其图形在点(0，0)处的切线与直线 x-y=1 平行（分数：4.00）(1).求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(由题意可知本题实际上是求二阶常系数齐次线性微分方程 y“+y=0 在一定初始条件下的特解二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是 r2+r=0，特征根为 r1=0，r 2=-1，齐次方程的通解为 y=C1+C2e-xy=-C 2e-x，y(0)=-C 2由题意有 y(0)=C1+C2=0，已知直线 x-y=1 的斜率 k=1由平行条件可知 y(0)=-C2=1，解得 C1=1，C 2=-1，所求函数 y=f(x)=1-e-x)解析：(2).求曲线 y=f(x)，与直线 x=1，y=0 所围成的平面图形的面积 S.（分数：2.00）_正确答案：(*)解析：
