1、专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)及答案解析(总分：99.98，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：9，分数：18.00)1.设 z=ln(x2+y)，则 等于A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 z=(lny)xy，则 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 z=sin(xy2)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.已知 f(xy，x-y)=x 2+y2，则 （分数：2.00）A.B.C.D.5.函数 z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分 dz|(1，1) 等于 A.4dx-3dy B.4dx+3dy C.8dx+9dy D.8dx
2、-9dy（分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.7.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f(x，y)= ，则 =_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 ，则 f(x，y)=_A B C （分数：2.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：13，分数：26.00)10.，则 =_ （分数：2.00）填空项 1:_11.f(x，y)=2x 2+y2，则 f(xy，x 2-y2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.f(x+y，x-y)=x 2-y2，则 f(x，y)=_（分数：2.00）填空项 1:_13.f(x
3、y，x-y)=x 2+y2+xy，则 f(x，y)=_（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 z=x2+yex，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 z=sin(x2y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.函数 z=ln(1+x2-y2)的全微分 dz=_（分数：2.00）填空项 1:_18.设 z=ln(x+y2)，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=x2y+siny，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.函数 z=z(x，y)是由方程 x2z+2y2z2+y=0 确定，则 dz=_（分数：2.00
4、）填空项 1:_21.函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2-y2的极大值点是_（分数：2.00）填空项 1:_22.函数 （分数：2.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域（分数：55.98）(1). （分数：3.11）_(2).z=ln(y2-2x+1)（分数：3.11）_(3). （分数：3.11）_(4). （分数：3.11）_(5).，求 （分数：3.11）_(6).设 z=eusinv，u=xy，v=x+y求 （分数：3.11）_(7).设 z=f(u，v)，而 u=x2y， ，其中 f(u，v)为可微函数，求 （分数：3.11
5、）_(8).设 z=f(xy，x 2+y2)，且 f 可微分，求 （分数：3.11）_(9).设函数 z=arctan(xy)+2x2+y，求 dz（分数：3.11）_(10).设函数 （分数：3.11）_(11).设函数 f(u，v)可微， （分数：3.11）_(12).设函数 z=ln(2-x+y)，求 （分数：3.11）_(13).设函数 z=ln(1-x+y)+x2y，求 （分数：3.11）_(14).设函数 ，求 （分数：3.11）_(15).设函数 z=z(x，y)是由方程 x2+y2-xyz2=0 确定，求 （分数：3.11）_(16).设 z=f(x，y)是由方程 F(x+mz
6、，y+nz)=0 所确定，其中 m、n 为常数，F(u，v)为可微分函数，求（分数：3.11）_(17).设 z=z(x，y)是由方程 yz+x2+z=0 所确定，求 dz（分数：3.11）_(18).设函数 z=z(x，y)是由方程 z=x+yez确定，求 （分数：3.11）_专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)答案解析(总分：99.98，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：9，分数：18.00)1.设 z=ln(x2+y)，则 等于A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算 *(答案为 B)2.设 z=(lny)
7、xy，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算 *(答案为 C)3.设 z=sin(xy2)，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算 *(答案为 C)4.已知 f(xy，x-y)=x 2+y2，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算f(xy，x-y)=x 2+y2=(x-y)2+2xy，f(x，y)=2x+y 2，*，*(答案为 A)5.函数 z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分 dz|(1，1) 等于 A.4dx-3dy B.4dx+3
8、dy C.8dx+9dy D.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *，*，dz|(1，1) 8dx+9dy(答案为 C)6.函数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：7.函数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：8.设 f(x，y)= ，则 =_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：9.设 ，则 f(x，y)=_A B C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：二、B填空题/B(总题数：13，分数：26.00)10.，则 =_ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 根据二元函数的定义，函数关系只取决于定义域
9、与对应法则，而与变量所选用的记号无关，如果函数表达式中的第一自变量用记号 u 表示，第二自变量用记号 v 表示，则给定的函数对应法则为 * 如果将第一自变量 u 用*替换，第二自变量 v 用*替换，则有 *11.f(x，y)=2x 2+y2，则 f(xy，x 2-y2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 4+y4）解析：解析 f(xy，x 2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y412.f(x+y，x-y)=x 2-y2，则 f(x，y)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：xy）解析：解析 解法 (置换法)令*解得*代入给定函数，则有 *，因为函数
10、关系与变量所选用的记号无关，再用字母 x，y 代换字母 u，v，则有 f(x，y)=xy 解法 (拼凑法)由于 f(x+y，x-y)=(x+y)(x-y)，则有 f(x，y)=xy13.f(xy，x-y)=x 2+y2+xy，则 f(x，y)=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3x+y 2）解析：解析 由于 f(xy，x-y)=x 2+y2+xy=(x-y)2+3xy，则有 f(x，y)=3x+y 214.设函数 z=x2+yex，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2x+ye x）解析：解析 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数*=2x+yex15.设 z=sin
11、(x2y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2cos(x2y)）解析：解析 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数 *16.设 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数解法 *，*解法 由于是求函数*在点(1，0)处对 x 的偏导数，可先求出 z(x，0) ，即将 y=0 代入函数*，可得到关于 x 的一元函数，然后再求其在 x=1 处的导数*，*17.函数 z=ln(1+x2-y2)的全微分 dz=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *， *18.设 z=ln(x+y2)，则
12、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：dx）解析：解析 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分 解法 *， *， * 解法 *， *19.设 z=x2y+siny，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2x）解析：解析 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数 *20.函数 z=z(x，y)是由方程 x2z+2y2z2+y=0 确定，则 dz=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 两种解法如下解法 (公式法)令 F(x，y，z)=x 2z+2y2z2+y，分别求出三元函数 F(x，y，z)对 x，y，z 的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视
13、为常数*，*解法 (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即*21.函数 f(x，y)=4(x-y)-x 2-y2的极大值点是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：解析 解方程组*得驻点(2，-2)，计算*，B2-AC=-40，A=-20，所以函数的极大值点为(2，-2)，极大值为 f(2，-2)=822.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(x，y)|1x 2+y22）解析：三、B解答题/B(总
14、题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域（分数：55.98）(1). （分数：3.11）_正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有*所以 D=(x，y)|0x 2+y24，此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以 2 为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的 y 轴部分的有界半开半闭区域(如下图)*)解析：(2).z=ln(y2-2x+1)（分数：3.11）_正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+10，即 y22x-1所以 D=(x，y)|y 22x-1，此函数的定义域是
15、以点(*，0)为顶点，以 x 为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)*)解析：(3). （分数：3.11）_正确答案：(对于函数 arcsinf(x，y)，arccosf(x，y)，要求|f(x，y)|1，则有 *即* 所以D=(x，y)|-2x2，-3y3， 此函数的定义域是直线 x=-2，x=2，y=-3，y=3 所围成的有界闭区域(如下图) *)解析：(4). （分数：3.11）_正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量 x，y 应同时满足*即*亦即*所以 D=(x，y)|y 24x，x 2+y21 且 x0，y0，此函数的定义域是抛物线 y2=4x 和圆 x2+y2
16、=1 所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)*)解析：(5).，求 （分数：3.11）_正确答案：(*， *)解析：(6).设 z=eusinv，u=xy，v=x+y求 （分数：3.11）_正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则，有*=exysin(x+y)y+exycos(x+y)=exyysin(x+y)+cos(x+y)，*=exysin(x+y)x+exycos(x+y)=exyxsin(x+y)+cos(x+y)解析：(7).设 z=f(u，v)，而 u=x2y， ，其中 f(u，v)为可微函数，求 （分数：3.11）_正确答案：(本题主要考查用二元复合
17、函数的链式法则求偏导数 *)解析：(8).设 z=f(xy，x 2+y2)，且 f 可微分，求 （分数：3.11）_正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数设 z=f(u，v)，u=xy，v=x 2+y2，*)解析：(9).设函数 z=arctan(xy)+2x2+y，求 dz（分数：3.11）_正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分 *)解析：(10).设函数 （分数：3.11）_正确答案：(*)解析：(11).设函数 f(u，v)可微， （分数：3.11）_正确答案：(本题主要考查计算二元复合函数的全微分 *， *)解析：(12).设函数 z=ln(2-x+y)，求
18、（分数：3.11）_正确答案：(*)解析：(13).设函数 z=ln(1-x+y)+x2y，求 （分数：3.11）_正确答案：(*)解析：(14).设函数 ，求 （分数：3.11）_正确答案：(*)解析：(15).设函数 z=z(x，y)是由方程 x2+y2-xyz2=0 确定，求 （分数：3.11）_正确答案：(令 F(x，y，z)=x 2+y3-xyz2，分别求出三元函数 F(x，y，z)对 x，y，z 的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数*)解析：(16).设 z=f(x，y)是由方程 F(x+mz，y+nz)=0 所确定，其中 m、n 为常数，F(u，v)为可微分函数，求（分数：3.11）_正确答案：(本题主要考查计算二元函数的偏导数 设 F(u，v)=0，u=x+mz，v=y+nz， * *)解析：(17).设 z=z(x，y)是由方程 yz+x2+z=0 所确定，求 dz（分数：3.11）_正确答案：(令 F(x，y，z)=yz+x 2+z，分别求出三元函数 F(x，y，z)对 x，y，z 的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数*)解析：(18).设函数 z=z(x，y)是由方程 z=x+yez确定，求 （分数：3.11）_正确答案：(令 F(x，y，z)=x+ye z-z，*)解析：
