1、专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)及答案解析(总分:99.98,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:9,分数:18.00)1.设 z=ln(x2+y),则 等于A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.2.设 z=(lny)xy,则 (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 z=sin(xy2),则 (分数:2.00)A.B.C.D.4.已知 f(xy,x-y)=x 2+y2,则 (分数:2.00)A.B.C.D.5.函数 z=3x2y+2xy3在点(1,1)处的全微分 dz|(1,1) 等于 A.4dx-3dy B.4dx+3dy C.8dx+9dy D.8dx
2、-9dy(分数:2.00)A.B.C.D.6.函数 (分数:2.00)A.B.C.D.7.函数 (分数:2.00)A.B.C.D.8.设 f(x,y)= ,则 =_ A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.9.设 ,则 f(x,y)=_A B C (分数:2.00)A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数:13,分数:26.00)10.,则 =_ (分数:2.00)填空项 1:_11.f(x,y)=2x 2+y2,则 f(xy,x 2-y2)= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.f(x+y,x-y)=x 2-y2,则 f(x,y)=_(分数:2.00)填空项 1:_13.f(x
3、y,x-y)=x 2+y2+xy,则 f(x,y)=_(分数:2.00)填空项 1:_14.设函数 z=x2+yex,则 (分数:2.00)填空项 1:_15.设 z=sin(x2y),则 (分数:2.00)填空项 1:_16.设 z= ,则 (分数:2.00)填空项 1:_17.函数 z=ln(1+x2-y2)的全微分 dz=_(分数:2.00)填空项 1:_18.设 z=ln(x+y2),则 (分数:2.00)填空项 1:_19.设 z=x2y+siny,则 (分数:2.00)填空项 1:_20.函数 z=z(x,y)是由方程 x2z+2y2z2+y=0 确定,则 dz=_(分数:2.00
4、)填空项 1:_21.函数 f(x,y)=4(x-y)-x 2-y2的极大值点是_(分数:2.00)填空项 1:_22.函数 (分数:2.00)填空项 1:_三、B解答题/B(总题数:1,分数:56.00)求下列二元函数的定义域(分数:55.98)(1). (分数:3.11)_(2).z=ln(y2-2x+1)(分数:3.11)_(3). (分数:3.11)_(4). (分数:3.11)_(5).,求 (分数:3.11)_(6).设 z=eusinv,u=xy,v=x+y求 (分数:3.11)_(7).设 z=f(u,v),而 u=x2y, ,其中 f(u,v)为可微函数,求 (分数:3.11
5、)_(8).设 z=f(xy,x 2+y2),且 f 可微分,求 (分数:3.11)_(9).设函数 z=arctan(xy)+2x2+y,求 dz(分数:3.11)_(10).设函数 (分数:3.11)_(11).设函数 f(u,v)可微, (分数:3.11)_(12).设函数 z=ln(2-x+y),求 (分数:3.11)_(13).设函数 z=ln(1-x+y)+x2y,求 (分数:3.11)_(14).设函数 ,求 (分数:3.11)_(15).设函数 z=z(x,y)是由方程 x2+y2-xyz2=0 确定,求 (分数:3.11)_(16).设 z=f(x,y)是由方程 F(x+mz
6、,y+nz)=0 所确定,其中 m、n 为常数,F(u,v)为可微分函数,求(分数:3.11)_(17).设 z=z(x,y)是由方程 yz+x2+z=0 所确定,求 dz(分数:3.11)_(18).设函数 z=z(x,y)是由方程 z=x+yez确定,求 (分数:3.11)_专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)答案解析(总分:99.98,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:9,分数:18.00)1.设 z=ln(x2+y),则 等于A B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算 *(答案为 B)2.设 z=(lny)
7、xy,则 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算 *(答案为 C)3.设 z=sin(xy2),则 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算 *(答案为 C)4.已知 f(xy,x-y)=x 2+y2,则 (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算f(xy,x-y)=x 2+y2=(x-y)2+2xy,f(x,y)=2x+y 2,*,*(答案为 A)5.函数 z=3x2y+2xy3在点(1,1)处的全微分 dz|(1,1) 等于 A.4dx-3dy B.4dx+3
8、dy C.8dx+9dy D.8dx-9dy(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 *,*,dz|(1,1) 8dx+9dy(答案为 C)6.函数 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:7.函数 (分数:2.00)A. B.C.D.解析:8.设 f(x,y)= ,则 =_ A B C D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:9.设 ,则 f(x,y)=_A B C (分数:2.00)A. B.C.D.解析:二、B填空题/B(总题数:13,分数:26.00)10.,则 =_ (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 根据二元函数的定义,函数关系只取决于定义域
9、与对应法则,而与变量所选用的记号无关,如果函数表达式中的第一自变量用记号 u 表示,第二自变量用记号 v 表示,则给定的函数对应法则为 * 如果将第一自变量 u 用*替换,第二自变量 v 用*替换,则有 *11.f(x,y)=2x 2+y2,则 f(xy,x 2-y2)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:x 4+y4)解析:解析 f(xy,x 2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y412.f(x+y,x-y)=x 2-y2,则 f(x,y)=_(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:xy)解析:解析 解法 (置换法)令*解得*代入给定函数,则有 *,因为函数
10、关系与变量所选用的记号无关,再用字母 x,y 代换字母 u,v,则有 f(x,y)=xy 解法 (拼凑法)由于 f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),则有 f(x,y)=xy13.f(xy,x-y)=x 2+y2+xy,则 f(x,y)=_(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:3x+y 2)解析:解析 由于 f(xy,x-y)=x 2+y2+xy=(x-y)2+3xy,则有 f(x,y)=3x+y 214.设函数 z=x2+yex,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:2x+ye x)解析:解析 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数*=2x+yex15.设 z=sin
11、(x2y),则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:x 2cos(x2y))解析:解析 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数 *16.设 z= ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:解析 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数解法 *,*解法 由于是求函数*在点(1,0)处对 x 的偏导数,可先求出 z(x,0) ,即将 y=0 代入函数*,可得到关于 x 的一元函数,然后再求其在 x=1 处的导数*,*17.函数 z=ln(1+x2-y2)的全微分 dz=_(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 *, *18.设 z=ln(x+y2),则
12、 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:dx)解析:解析 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分 解法 *, *, * 解法 *, *19.设 z=x2y+siny,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:2x)解析:解析 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数 *20.函数 z=z(x,y)是由方程 x2z+2y2z2+y=0 确定,则 dz=_(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 两种解法如下解法 (公式法)令 F(x,y,z)=x 2z+2y2z2+y,分别求出三元函数 F(x,y,z)对 x,y,z 的导数,对其中一个变量求导时,其他两个变量视
13、为常数*,*解法 (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0,2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0,经整理,得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy,即*21.函数 f(x,y)=4(x-y)-x 2-y2的极大值点是_(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:8)解析:解析 解方程组*得驻点(2,-2),计算*,B2-AC=-40,A=-20,所以函数的极大值点为(2,-2),极大值为 f(2,-2)=822.函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:(x,y)|1x 2+y22)解析:三、B解答题/B(总
14、题数:1,分数:56.00)求下列二元函数的定义域(分数:55.98)(1). (分数:3.11)_正确答案:(由于分式函数,要求分式的分母不为零,而对于根式函数,要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零,则有*所以 D=(x,y)|0x 2+y24,此函数的定义域是以点(0,0)为圆心,以 2 为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的 y 轴部分的有界半开半闭区域(如下图)*)解析:(2).z=ln(y2-2x+1)(分数:3.11)_正确答案:(由于对数函数,要求真数式必须大于零,则有y2-2x+10,即 y22x-1所以 D=(x,y)|y 22x-1,此函数的定义域是
15、以点(*,0)为顶点,以 x 为对称轴,开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)*)解析:(3). (分数:3.11)_正确答案:(对于函数 arcsinf(x,y),arccosf(x,y),要求|f(x,y)|1,则有 *即* 所以D=(x,y)|-2x2,-3y3, 此函数的定义域是直线 x=-2,x=2,y=-3,y=3 所围成的有界闭区域(如下图) *)解析:(4). (分数:3.11)_正确答案:(要使函数解析式有意义,自变量 x,y 应同时满足*即*亦即*所以 D=(x,y)|y 24x,x 2+y21 且 x0,y0,此函数的定义域是抛物线 y2=4x 和圆 x2+y2
16、=1 所围成的,但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)*)解析:(5).,求 (分数:3.11)_正确答案:(*, *)解析:(6).设 z=eusinv,u=xy,v=x+y求 (分数:3.11)_正确答案:(根据二元复合函数求导的链式法则,有*=exysin(x+y)y+exycos(x+y)=exyysin(x+y)+cos(x+y),*=exysin(x+y)x+exycos(x+y)=exyxsin(x+y)+cos(x+y)解析:(7).设 z=f(u,v),而 u=x2y, ,其中 f(u,v)为可微函数,求 (分数:3.11)_正确答案:(本题主要考查用二元复合
17、函数的链式法则求偏导数 *)解析:(8).设 z=f(xy,x 2+y2),且 f 可微分,求 (分数:3.11)_正确答案:(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数设 z=f(u,v),u=xy,v=x 2+y2,*)解析:(9).设函数 z=arctan(xy)+2x2+y,求 dz(分数:3.11)_正确答案:(本题主要考查计算二元函数的全微分 *)解析:(10).设函数 (分数:3.11)_正确答案:(*)解析:(11).设函数 f(u,v)可微, (分数:3.11)_正确答案:(本题主要考查计算二元复合函数的全微分 *, *)解析:(12).设函数 z=ln(2-x+y),求
18、(分数:3.11)_正确答案:(*)解析:(13).设函数 z=ln(1-x+y)+x2y,求 (分数:3.11)_正确答案:(*)解析:(14).设函数 ,求 (分数:3.11)_正确答案:(*)解析:(15).设函数 z=z(x,y)是由方程 x2+y2-xyz2=0 确定,求 (分数:3.11)_正确答案:(令 F(x,y,z)=x 2+y3-xyz2,分别求出三元函数 F(x,y,z)对 x,y,z 的导数,对其中一个变量求导时,其他两个变量视为常数*)解析:(16).设 z=f(x,y)是由方程 F(x+mz,y+nz)=0 所确定,其中 m、n 为常数,F(u,v)为可微分函数,求(分数:3.11)_正确答案:(本题主要考查计算二元函数的偏导数 设 F(u,v)=0,u=x+mz,v=y+nz, * *)解析:(17).设 z=z(x,y)是由方程 yz+x2+z=0 所确定,求 dz(分数:3.11)_正确答案:(令 F(x,y,z)=yz+x 2+z,分别求出三元函数 F(x,y,z)对 x,y,z 的导数,对其中一个变量求导时,其他两个变量视为常数*)解析:(18).设函数 z=z(x,y)是由方程 z=x+yez确定,求 (分数:3.11)_正确答案:(令 F(x,y,z)=x+ye z-z,*)解析: