1、专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)及答案解析(总分：93.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：17，分数：17.00)1.求下列函数的定义域. （分数：1.00）填空项 1:_2.求下列函数的定义域.u=ln(x2-y-1)（分数：1.00）填空项 1:_3.求下列函数的定义域. （分数：1.00）填空项 1:_4.求下列函数的定义域. （分数：1.00）填空项 1:_5.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_6.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_7.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_8.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_9.设函数 ，则
2、 = 1， （分数：1.00）填空项 1:_10.设函数 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_11.函数 z=ln(1+x2-y2)的全微分 dz= 1（分数：1.00）填空项 1:_12.函数 z=x2-2xy+y2的全微分 （分数：1.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：1.00）填空项 1:_14.若积分区域 D 是由 x=0，x=1，y=0，y=1 围成的矩形区域，则 （分数：1.00）填空项 1:_15.交换二次积分次序 （分数：1.00）填空项 1:_16.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，则 （分数：1.00）填空项 1:_17.平面上一块半径为 2 的圆形薄板，其
3、密度函数为 1，则这块薄板的质量为 1（分数：1.00）填空项 1:_二、B解答题/B(总题数：10，分数：76.00)求下列各函数对 x，y 的偏导数 （分数：6.00）(1).z=ex2+y；（分数：1.00）_(2).； （分数：1.00）_(3).z=ln(ln x+ln y)；（分数：1.00）_(4).； （分数：1.00）_(5).z=sin(x+2y)+2xy；（分数：1.00）_(6).z=(xy) (其中 为非零常数)（分数：1.00）_求下列函数的二阶偏导数：（分数：9.00）(1).z=sin xy；（分数：1.00）_(2).z=ln(x2+xy+y2)（分数：1.0
4、0）_(3).设函数 z=ln(1-x+y)+x2y，求 （分数：1.00）_(4).设 z=x2y-xy2，x=ucos v，yusinv，求 （分数：1.00）_(5).设 zarctan xy，y=e x，求 （分数：1.00）_(6).设 ，x=u-2v，y=2u+v，求 （分数：1.00）_(7).设 z=(2x+y)(2x+y)，求 （分数：1.00）_(8).设 z=f(x2+y2，e xy)，其中 f(u，v)有连续偏导数，求 （分数：1.00）_(9).设 ，其中 有连续偏导数，证明 （分数：1.00）_求下列各式确定的隐函数 y=f(x)的导数 （分数：2.00）(1).c
5、os y-ex+2xy=0；（分数：1.00）_(2). （分数：1.00）_求下列各式确定的隐函数 z=f(x，y)的偏导数 （分数：3.00）(1).x2+y2+z2-3xyz=0；（分数：1.00）_(2). （分数：1.00）_(3).设 z=arctan(xy)+2x2+y，求 dz（分数：1.00）_求下列各函数的全微分 dz：（分数：11.00）(1).； （分数：1.00）_(2).z=ln(3x-2y+3)；（分数：1.00）_(3).z=exy(x2+y2)；（分数：1.00）_(4).z=arctan xy；（分数：1.00）_(5).z=xe-xy+sin(xy)；（分
6、数：1.00）_(6).z=sin(x+y)-x2+y2（分数：1.00）_(7).设 ，求 （分数：1.00）_(8).设 z=f(2x+3y，e xy)，其中 f(u，v)有连续偏导数，求 dz（分数：1.00）_(9).设 z=z(x，y)是由方程 yz+x2+z=0 确定，求 dz（分数：1.00）_(10).设 z=f(x，y)，由方程 x2+y2+z2-4z=0 确定，求在点(1，- )；( ，0)；(0， （分数：1.00）_(11).设 z=f(x，y)由方程 cos2x+cos2y=1+cos2z 所确定，求 dz（分数：1.00）_求下列函数的极值与极值点（分数：4.50）
7、(1).f(x，y)=4x+2y-x 2-y2；（分数：1.50）_(2).f(x，y)=e 2x(x+y2+2y)；（分数：1.50）_(3).f(x，y)=y 3-x2+6x-12y+5（分数：1.50）_求下列条件极值（分数：15.00）(1).做一个体积为 V 的无盖的圆柱形桶，试问当桶的高和底面半径各是多少时，可使圆桶所用的材料最省（分数：1.50）_(2).设生产某种产品的数量 Q 与所用两种原料 A，B 的数量 x，y 间有关系式 Q=Q(x，y)=0.005x 2y，欲用150 元购买原料，已知 A，B 原料的单价分别为 1 元，2 元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数
8、量最多?（分数：1.50）_(3).计算二重积分 （分数：1.50）_(4).计算二重积分 （分数：1.50）_(5).，其中 D 是由直线 y=x，y=1 及 y 轴所围成的平面区域 （分数：1.50）_(6).，其中 D 是由直线 x=2，y=x 及双曲线 xy=1 所围成的平面区域 （分数：1.50）_(7).，其中 D 是由直线 y=0， ，x=2 所围成的平面区域 （分数：1.50）_(8).，其中 D 是由直线 y=x，y=2x，x=2，x=4 所围成的平面区域 （分数：1.50）_(9).求 （分数：1.50）_(10).将二重积分 （分数：1.50）_交换下列二次积分次序（分数
9、：4.50）(1). （分数：1.50）_(2).(a0 为常数) （分数：1.50）_(3).计算二重积分 （分数：1.50）_试将下列直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分（分数：3.00）(1). （分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_计算下列二重积分：（分数：18.00）(1). （分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_(3). （分数：1.50）_(4). （分数：1.50）_(5). （分数：1.50）_(6).利用重积分求由平面 （分数：1.50）_(7).利用二重积分求由曲线 y=x2与 y2=x 所围成的面积（分数：1.50）_(8).求由柱面
10、x2+y2=a2，z=0 及平面 x+y+z=a 所围成的立体的体积（分数：1.50）_(9).设有平面三角形薄片，其边界线可由方程 x=0，y=x 及 y=1 表示，薄片上的点(x，y)处的密度(x，y)=x 2+y2，求该三角形薄片的质量（分数：1.50）_(10).设半径为 1 的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求该薄片的质量（分数：1.50）_(11).设 f(x)在0，1上连续，证明 （分数：1.50）_(12). （分数：1.50）_专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)答案解析(总分：93.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：17，分数：1
11、7.00)1.求下列函数的定义域. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：x0，y0）解析：2.求下列函数的定义域.u=ln(x2-y-1)（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：yx 2-1）解析：3.求下列函数的定义域. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：x0，y1，x 2+1y）解析：4.求下列函数的定义域. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：r 2x 2+y2R 2）解析：5.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：6.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-2，先求出 f(x，y)=x-*）解析：7.设
12、 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：8.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-e）解析：9.设函数 ，则 = 1， （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：10.设函数 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：11.函数 z=ln(1+x2-y2)的全微分 dz= 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：12.函数 z=x2-2xy+y2的全微分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-2dx+2dy）解析：13.= 1 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：14.
13、若积分区域 D 是由 x=0，x=1，y=0，y=1 围成的矩形区域，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：15.交换二次积分次序 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：16.设区域 D=(x，y)|x 2+y24，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：17.平面上一块半径为 2 的圆形薄板，其密度函数为 1，则这块薄板的质量为 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：二、B解答题/B(总题数：10，分数：76.00)求下列各函数对 x，y 的偏导数 （分数：6.00）(1).z=ex2+y；（分数：1.00）_正确
14、答案：(2xe x2+y，e x2+y；)解析：(2).； （分数：1.00）_正确答案：(*；)解析：(3).z=ln(ln x+ln y)；（分数：1.00）_正确答案：(*；)解析：(4).； （分数：1.00）_正确答案：(*；)解析：(5).z=sin(x+2y)+2xy；（分数：1.00）_正确答案：(cos(x+2y)+2y，2cos(x+2y)+2x；)解析：(6).z=(xy) (其中 为非零常数)（分数：1.00）_正确答案：(y(xy) -1 ，x(xy) -1 )解析：求下列函数的二阶偏导数：（分数：9.00）(1).z=sin xy；（分数：1.00）_正确答案：(*
15、)解析：(2).z=ln(x2+xy+y2)（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：(3).设函数 z=ln(1-x+y)+x2y，求 （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：(4).设 z=x2y-xy2，x=ucos v，yusinv，求 （分数：1.00）_正确答案：(*=(2xy-y 2)cos v+(x2-2xy)sin v3u 2sin vcos v(cos v-sin v)同样地，有*)解析：(5).设 zarctan xy，y=e x，求 （分数：1.00）_正确答案：(*(注意：在本题中，*不同于*)解析：(6).设 ，x=u-2v，y=2u+v，求 （分数：1.00）_
16、正确答案：(*)解析：(7).设 z=(2x+y)(2x+y)，求 （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：(8).设 z=f(x2+y2，e xy)，其中 f(u，v)有连续偏导数，求 （分数：1.00）_正确答案：(设 z=f(u，v)，u=x 2+y2，v=e xy，则由复合函数求偏导法则得*)解析：(9).设 ，其中 有连续偏导数，证明 （分数：1.00）_正确答案：(因为*，其中 有连续偏导数，令 u=xy，所以有*，*，将之代入*即可证得)解析：求下列各式确定的隐函数 y=f(x)的导数 （分数：2.00）(1).cos y-ex+2xy=0；（分数：1.00）_正确答案：(
17、*)解析：(2). （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：求下列各式确定的隐函数 z=f(x，y)的偏导数 （分数：3.00）(1).x2+y2+z2-3xyz=0；（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：(2). （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：(3).设 z=arctan(xy)+2x2+y，求 dz（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：求下列各函数的全微分 dz：（分数：11.00）(1).； （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：(2).z=ln(3x-2y+3)；（分数：1.00）_正确答案：(*；)解析：(3).z=exy(x2+y2)；（分数：1.00）_
18、正确答案：(令 u=xy，v=x 2+y2，dz=e xy(x2+y2)(3x2y+y3)dx+(3y2x+x3)dy；)解析：(4).z=arctan xy；（分数：1.00）_正确答案：(*)解析：(5).z=xe-xy+sin(xy)；（分数：1.00）_正确答案：(dz=e -xy(1-xy)+ycos(xy)dx+-x2e-xy+xcos(xy)dy；)解析：(6).z=sin(x+y)-x2+y2（分数：1.00）_正确答案：(dz=cos(x+y)-2zdx+cos(x+y)+2ydy)解析：(7).设 ，求 （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：(8).设 z=f(2x+3
19、y，e xy)，其中 f(u，v)有连续偏导数，求 dz（分数：1.00）_正确答案：(今 u=2x+3y，e xy，*)解析：(9).设 z=z(x，y)是由方程 yz+x2+z=0 确定，求 dz（分数：1.00）_正确答案：(设*)解析：(10).设 z=f(x，y)，由方程 x2+y2+z2-4z=0 确定，求在点(1，- )；( ，0)；(0， （分数：1.00）_正确答案：(*， (1)当 x=1，*时，由原方程得 z=1 或 z=3 当 z=1 时， 当 z=3 时， * (2)当*，y=0 时，由原方程得 z=1 或 z=3 当 z=1 时， 当 z=3 时， * (3)当 x=0，*时，由原方程得 z=1 或 z=3 当 z=1 时， 当 z=3 时， *)解析：(11).设 z=f(x，y)由方程 cos2x+cos2y=1+cos2z 所确定，求 dz（分数：1.00）_正确答案：(令 F(x，y，z)=cos 2x+cos2y-cos2z-1，*)解析：求下列函数的极值与极值点（分数：4.50）(1).f(x，y)=4x+2y-x 2-y2；（分数：1.50）_正确
