1、专升本高等数学(一)-一元函数积分学(四)及答案解析(总分：90.05，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：11，分数：22.00)1.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_2.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_3.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:
2、_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_二、B解答题/B(总题数：2，分数：68.00)用换元积分法计算定积分（分数：12.00）(1).计算 （分数：2.00）_(2).计算 （分数：2.00）_(3).计算 （分数：2.00）_(4).计算 （分数：2.00）_(5).计算 （分数：2.00）_(6).计算 （分数：2.00）_用分部积分法计算定积分（分数：56.05）(1).计算 （分数：2.95）_(2).计算 （分数：2.95）_(3).计算 （分数：2.95）_(4).计算 （分数：2.95）_(5).计算 （分数：2.95）_(6).设 f(x)是(-，+)上的连续函数，
3、且满足 f(x)= （分数：2.95）_(7).已知 （分数：2.95）_(8).已知 ，证明 （分数：2.95）_(9).设函数 f(x)在区间0，1上连续，证明 （分数：2.95）_(10).设 f(x)是以 T 为周期的周期函数，证明 （分数：2.95）_(11).设函数 f(x)满足 f(x)= ，证明 （分数：2.95）_(12).在区间0，4上计算曲线 y=4-x2与 x 轴、y 轴以及 x=4 所围成的图形的面积（分数：2.95）_(13).求由抛物线 y=1-x2及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成的平面图形的面积（分数：2.95）_(14).设抛物线 y2=2x 与该曲
4、线在点 （分数：2.95）_(15).曲线 y=ex与 x 轴、y 轴以及直线 x=4 围成一个平面区域，试在区间(0，4)内找一点 x0，使直线 x=x0平分这个平面区域的面积（分数：2.95）_(16).确定常数 k，使曲线 y=x2与直线 x=k，x=k+2，y=0 所围图形的面积最小（分数：2.95）_(17).求由曲线 y=2-x2，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.95）_(18).求由曲线 y=x2与直线 x=1，x=2 及 y=0 所围成的平面图形的面积 S 及该平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 Vx（分数：
5、2.95）_(19).()求由直线 x=0，x=2，y=0 与抛物线 y=-x2+1 所围成的平面图形的面积；()求上述平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：2.95）_专升本高等数学(一)-一元函数积分学(四)答案解析(总分：90.05，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：11，分数：22.00)1.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：arctanx）解析：2.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：3.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：4.= 1 （分数：2.00）填空项
6、1:_ （正确答案：*）解析：5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：e 2-e）解析：6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：+）解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：二、B解答题/B(总题数：2，分数：68.00)用换元积分法计算定积分（分数：12
7、.00）(1).计算 （分数：2.00）_正确答案：(1-ln(4-e)+ln3)解析：(2).计算 （分数：2.00）_正确答案：(e e-e)解析：(3).计算 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(4).计算 （分数：2.00）_正确答案：(ln*)解析：(5).计算 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(6).计算 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：用分部积分法计算定积分（分数：56.05）(1).计算 （分数：2.95）_正确答案：(*)解析：(2).计算 （分数：2.95）_正确答案：(e-2)解析：(3).计算 （分数：2.95）_正确答案：(*)解析：(4)
8、.计算 （分数：2.95）_正确答案：(1)解析：(5).计算 （分数：2.95）_正确答案：(*)解析：(6).设 f(x)是(-，+)上的连续函数，且满足 f(x)= （分数：2.95）_正确答案：(令*，得 f(x)=3x2-Ax，两边取区间0，1上的定积分，得*，亦即*，得*，所以*)解析：(7).已知 （分数：2.95）_正确答案：(将等式两边对 x 求导，得*，即有*，将等式两边取不定积分*，得 lnf(x)=2x+C1，即 f(x)=*(其中 C=*)，由 f(0)=Ce0=C，得 C=1，所以 f(x)=e2x)解析：(8).已知 ，证明 （分数：2.95）_正确答案：(证明：
9、由已知，得*，两边对 x 求导，得 *，即*， 在上式中，令*，得*，即*)解析：(9).设函数 f(x)在区间0，1上连续，证明 （分数：2.95）_正确答案：(证明：作变换，令 1-2x=t，得*，dx=-*， 当 x=0 时，t=1；当*时，t=0， 则有*)解析：(10).设 f(x)是以 T 为周期的周期函数，证明 （分数：2.95）_正确答案：(证法 因为 f(x)是以 T 为周期的周期函数，所以 f(x+T)=f(x)。 * 其中右式的第 3 项*进行变量代换，令 x=t+T，dx=dt， 当 x=T 时，t=0；当 x=a+T 时，t=a，则有 *， 所以*， 即* 证法 设*
10、，根据变上限定积分求导定理的推论 3，有 F(a)=f(a+T)-f(a)， 因为 f(x)是以 T为周期的周期函数，即有 f(a+T)=f(a) 所以 F(a)=0由拉格朗日中值定理的推论可知，F(a)应为常数函数，所以 F(a)=F(0)， 即*)解析：(11).设函数 f(x)满足 f(x)= ，证明 （分数：2.95）_正确答案：(证明：令*，由已知，得 f(x)=lnx-A， 上式两边同时取区间1，e上的定积分，得 *， 得 eA=1，A=*，即*)解析：(12).在区间0，4上计算曲线 y=4-x2与 x 轴、y 轴以及 x=4 所围成的图形的面积（分数：2.95）_正确答案：(给
11、定的曲线所围成的平面图形(如下图所示)，其面积为 *， *)解析：(13).求由抛物线 y=1-x2及其在点(1，0)处的切线和 y 轴所围成的平面图形的面积（分数：2.95）_正确答案：(画出平面图形(如下图所示)，y=-2x，y| x=1=-2，*过点(1，0)处的切线方程为 y=-2(x-1)则有*)解析：(14).设抛物线 y2=2x 与该曲线在点 （分数：2.95）_正确答案：(给定的曲线所围成的平面图形(如下图所示)，首先要求出法线的方程*由 y2=2x 得 y=*，则*，抛物线在点*处的法线斜率为 k=-1，法线方程为*，即*解方程组*得*即抛物线及其法线的交点分别为*求平面图形
12、 D 的面积选择以 y 为积分变量较为方便，所求平面图形 D 的面积为*)解析：(15).曲线 y=ex与 x 轴、y 轴以及直线 x=4 围成一个平面区域，试在区间(0，4)内找一点 x0，使直线 x=x0平分这个平面区域的面积（分数：2.95）_正确答案：(依题意，如下图所示，应有*，得*，*即*，解方程得*，即 x0=ln(e4+1)-ln2)解析：(16).确定常数 k，使曲线 y=x2与直线 x=k，x=k+2，y=0 所围图形的面积最小（分数：2.95）_正确答案：(面积函数为*，S=4k+4，令 S=4k+4=0，得惟一驻点 k=-1，因为 S“=4，S“(-1)=40，所以当
13、k=-1 时，曲线 y=x2与直线 x=k，x=k+2，y=0 所围图形的面积最小)解析：(17).求由曲线 y=2-x2，y=x(x0)与直线 x=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积（分数：2.95）_正确答案：(本题为两条相交曲线及 y 轴所围成的平面图形(如下图所示)绕 x 轴旋转所生成的旋转体求体积，属 X 型， * *)解析：(18).求由曲线 y=x2与直线 x=1，x=2 及 y=0 所围成的平面图形的面积 S 及该平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 Vx（分数：2.95）_正确答案：(本题为一条抛物线与两条垂直于 x 轴的直线及 x 轴所围成的曲边梯形(如下图所示)所求图形的面积为*， * 所求旋转体的体积为*)解析：(19).()求由直线 x=0，x=2，y=0 与抛物线 y=-x2+1 所围成的平面图形的面积；()求上述平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：2.95）_正确答案：(所围成的平面图形(如下图所示) * ()*； ()*)解析：
