1、专升本高等数学(一)-一元函数微分学(三)及答案解析(总分：85.94，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：20.00)1.函数 f(x)=x （分数：2.00）A.B.C.D.2.函数 f(x)=e-xsinx 在区间0，上使罗尔定理成立的 =_A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 f(x)=x3+2x 在区间0，1上使拉格朗日中值定理成立的 =_A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在区间(a，b)内可导，x 1和 x2(x1x 2)是(a，b)内任意两点，则下列结论正确的是_ A.f(x2)-f(x1)=f(x
2、1)(x2-x1) B.在 x1与 x2之间恰好有一点 ，使得 f(x2)-f(x1)=f()(x 2-x1) C.在 x1与 x2之间至少有一点 ，使得 f(x2)-f(x1)=f()(x 2-x1) D.对于 x1与 x2之间的任意一点 ，均有 f(x2)-f(x1)=f()(x 2-x1)（分数：2.00）A.B.C.D.5.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 y=ln(1+x2)在(-，+)内_ A.单调增加 B.单调减少 C.先减后增 D.先增后减（分数：2.00）A.B.C.D.7.以下结论正确的是_ A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B
3、.若 x0为 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C.若 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：2.00）A.B.C.D.8.曲线 y=6x-24x2+x4的凸(下凹)区间是_ A.(-2，2) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：2.00）A.B.C.D.9.设函数 y=f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，又 y=f(x 0+x)-f(x 0)，dy=f(x)x则当x0 时，有_ A.ydy0 B.ydy0 C.dyy0 D.dyy0（分数：2.00）A.
4、B.C.D.10.曲线 y= （分数：2.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：7，分数：14.00)11.函数 y=ln(x+1)在区间0，1上满足拉格朗日中值定理的 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.如果函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点 (a，b)，使得f(b)-f(a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 y=f(x)在点 x0处可导，且在点 x0处取得极小值，则曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项
5、1:_15.设函数 f(x)在区间a，b(ab)上可导，且 f(x)0，则 f(x)在区间a，b上的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 y=x3-3x+1 的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：2，分数：52.00)求下列极限（分数：14.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3).求 （分数：2.00）_(4).求 （分数：2.00）_(5).求 （分数：2.00）_(6).求 （分数：2.00）_(7).求 （分数：2.00）_求下列函数的极值（
6、分数：37.94）(1).设 f(x)=xe-x，求函数 f(x)的极值（分数：2.71）_(2).求函数 y=x3-3x2-9x+1 的极值（分数：2.71）_(3).求函数 y=x3-3x2-1 的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点（分数：2.71）_(4).求函数 （分数：2.71）_(5).求 （分数：2.71）_(6).设有一根长为 l 的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 S1，正方形面积为S2，证明当 S1+S2为最小值时 （分数：2.71）_(7).将边长为 a 的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如下图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做一个
7、无盖的正三棱柱盒子，问当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积 （分数：2.71）_(8).欲做一个底为正方形，容积为 108cm3的长方体无盖容积，问长方体的底面边长和高为多少时，用料最少，最少用料为多少?（分数：2.71）_(9).计划建造一个深为 4m，容积为 1600m2的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为 20 元，池底每平方米的造价为 40 元，问池壁与池底造价之和最低为多少元?（分数：2.71）_(10).证明：当 x0 时，xarctanx（分数：2.71）_(11).证明：当 x1 时， （分数：2.71）_(12).证明：当 x0 时， （分数：2.71）
8、_(13).设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，证明方程 f(x)=0 仅有两个实根，且分别位于区间(1，2)，(2，3)内（分数：2.71）_(14).设 f(x)在(-，+)上可导，且 f(x)1，证明 f(x)=x 最多有一个实根（分数：2.71）_专升本高等数学(一)-一元函数微分学(三)答案解析(总分：85.94，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：20.00)1.函数 f(x)=x （分数：2.00）A.B. C.D.解析：2.函数 f(x)=e-xsinx 在区间0，上使罗尔定理成立的 =_A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析
9、：3.函数 f(x)=x3+2x 在区间0，1上使拉格朗日中值定理成立的 =_A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：4.设函数 f(x)在区间(a，b)内可导，x 1和 x2(x1x 2)是(a，b)内任意两点，则下列结论正确的是_ A.f(x2)-f(x1)=f(x1)(x2-x1) B.在 x1与 x2之间恰好有一点 ，使得 f(x2)-f(x1)=f()(x 2-x1) C.在 x1与 x2之间至少有一点 ，使得 f(x2)-f(x1)=f()(x 2-x1) D.对于 x1与 x2之间的任意一点 ，均有 f(x2)-f(x1)=f()(x 2-x1)（分数：2.00
10、）A.B.C. D.解析：5.函数 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：6.函数 y=ln(1+x2)在(-，+)内_ A.单调增加 B.单调减少 C.先减后增 D.先增后减（分数：2.00）A.B.C. D.解析：7.以下结论正确的是_ A.函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点 B.若 x0为 f(x)的驻点，则 x0必为 f(x)的极值点 C.若 f(x)在点 x0处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0 D.若 f(x)在点 x0处连续，则 f(x0)一定存在（分数：2.00）A.B.C. D.解析：8.曲线 y=6x-24x2+x4的凸(下凹)区
11、间是_ A.(-2，2) B.(-，0) C.(0，+) D.(-，+)（分数：2.00）A. B.C.D.解析：9.设函数 y=f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，又 y=f(x 0+x)-f(x 0)，dy=f(x)x则当x0 时，有_ A.ydy0 B.ydy0 C.dyy0 D.dyy0（分数：2.00）A.B. C.D.解析：10.曲线 y= （分数：2.00）A. B.C.D.解析：二、B填空题/B(总题数：7，分数：14.00)11.函数 y=ln(x+1)在区间0，1上满足拉格朗日中值定理的 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：12.如果函数
12、 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点 (a，b)，使得f(b)-f(a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：f()(b-a)）解析：13.设函数 y=f(x)在点 x0处可导，且在点 x0处取得极小值，则曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=f(x 0)）解析：14.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：15.设函数 f(x)在区间a，b(ab)上可导，且 f(x)0，则 f(x)在区间a，b上的最大值为 1（分数：2.00）填
13、空项 1:_ （正确答案：f(a)）解析：16.曲线 y=x3-3x+1 的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，1)）解析：17.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=1）填空项 1:_ （正确答案：x=1）解析：三、B解答题/B(总题数：2，分数：52.00)求下列极限（分数：14.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(2)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(0)解析：(3).求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(4).求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：(5).求 （分数：2.00）_正确答案：(0
14、)解析：(6).求 （分数：2.00）_正确答案：(1)解析：(7).求 （分数：2.00）_正确答案：(*)解析：求下列函数的极值（分数：37.94）(1).设 f(x)=xe-x，求函数 f(x)的极值（分数：2.71）_正确答案：(f(x)的极大值为 f(1)=e-1)解析：(2).求函数 y=x3-3x2-9x+1 的极值（分数：2.71）_正确答案：(f(-1)=6 为极大值，f(3)=-26 为极小值)解析：(3).求函数 y=x3-3x2-1 的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点（分数：2.71）_正确答案：(D(f)=(-，+)，y=3x 2-6x，y“=6x-6， 令
15、 y=0，得 x=0，x=2，令 y“=0，得 x=1 以下列表讨论： x(-，0)0(0，1)1(1，2)2(2，+)y + 0 - - 0 +y“ - - 0 + +y 极大拐点极小值f(0)=-1(1，-3)值f(2)=-5所以函数的单调增加区间为(-，0)(2，+)，单调减少区间为(0，2)， 极大值为 f(0)=-1，极小值为 f(2)=-5 其曲线的凸区间为(-，1)，凹区间为(1，+)，拐点为(1，-3)解析：(4).求函数 （分数：2.71）_正确答案：(*，令 f(x)=0，得驻点*(舍去) *， *， 所以函数 f(x)在区间1，6上的最大值为*，最小值为*)解析：(5).
16、求 （分数：2.71）_正确答案：(函数的定义域为(-，-1)(-1，+) 由于*，则 y=0 为曲线的水平渐近线 *，则x=-1 为曲线的铅直渐近线)解析：(6).设有一根长为 l 的铁丝，将其分为两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为 S1，正方形面积为S2，证明当 S1+S2为最小值时 （分数：2.71）_正确答案：(证明：将铁丝分成两段，设其长分别为 x，l-x，将长为 x 的一段构成半径为 R 的圆形，则2R=x，*，则有*，*，令 S=0，得惟一驻点*又*，所以*为极小值点由于实际问题存在最小值，所以*亦为最小值点故当 S1+S2为最小值时，有*)解析：(7).将边长为 a 的
17、正三角形铁皮剪去三个全等的四边形(如下图所示的阴影部分)，然后将其沿虚线折起，做一个无盖的正三棱柱盒子，问当图中的 x 取何值时，该盒子的容积最大?并求出最大容积 （分数：2.71）_正确答案：(由于正三棱柱盒子的高为*， 正三棱柱盒子的底面积为*(*)， 所以正三棱柱盒子的容积为*， * 令 V(x)=0，得驻点*(舍去) 由于*， 所以*为极大值点，由于实际问题存在最大值， 所以*亦为最大值点，即*时容积最大，最大容积为*)解析：(8).欲做一个底为正方形，容积为 108cm3的长方体无盖容积，问长方体的底面边长和高为多少时，用料最少，最少用料为多少?（分数：2.71）_正确答案：(设底面
18、边长为 xcm，高为 hcm，总用料为 Scm2x 2h=108，*则 S=*，*，令 S=0，得驻点 x=6(cm)，*，S“(6)=60，x=6 是惟一极小值点，即是最小值点即当底面边长为 6cm，高为 3cm 时，用料最少，最少用料为*(cm2)解析：(9).计划建造一个深为 4m，容积为 1600m2的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为 20 元，池底每平方米的造价为 40 元，问池壁与池底造价之和最低为多少元?（分数：2.71）_正确答案：(设池底边长分别为 x 和 y，由题设可知* 设池壁与池底造价之和为 u，则 *， u=*，令 u=0，得驻点 x=20，x=-20(舍去)，
19、*， 即当 x=20 时，u 取最小值此时 u=16000+160220=16000+6400=22400 答：池壁与池底造价之和最低为 22400 元)解析：(10).证明：当 x0 时，xarctanx（分数：2.71）_正确答案：(证明：设 f(x)=x-arctanx，f(0)=0，当 x0 时， *，所以当 x0 时，f(x)=x-arctanx 为单调增加函数， f(x)f(0)=0，即 xarctanx)解析：(11).证明：当 x1 时， （分数：2.71）_正确答案：(证明：令*， *(x1)， 所以当 x1 时，f(x)=*为单调增加函数，f(x)f(1)=0， 即当 x1
20、 时，*)解析：(12).证明：当 x0 时， （分数：2.71）_正确答案：(证明：令*， * 当 0x1 时，f(x)0，f(x)为单调减少函数，有 f(x)f(1)=0， 即* 当 x1 时，f(x)0，f(x)为单调增加函数，有 f(x)f(1)=0， 即* 综上所述，当 x0 时，*)解析：(13).设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，证明方程 f(x)=0 仅有两个实根，且分别位于区间(1，2)，(2，3)内（分数：2.71）_正确答案：(证明：函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)在其定义域(-，+)上连续且可导 由 f(1)=f(2)=f(3)=0 可知，f(
21、x)在区间1，2，2，3上满足罗尔定理条件， 由罗尔定理可知，至少存在一点 (1，2)，使得 f()=0；至少存在一点 (2，3)， 使得 f()=0，即方程 f(x)=0 至少有两个实根 又因为f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)为三次多项式函数，f(x)为二次多项式， f(x)=0 为一元二次方程，至多有 2 个实根 综上所述，方程 f(x)=0 仅有两个实根，且分别位于区间(1，2)，(2，3)内)解析：(14).设 f(x)在(-，+)上可导，且 f(x)1，证明 f(x)=x 最多有一个实根（分数：2.71）_正确答案：(证明：令 F(x)=f(x)-x，F(x)=f(x)-1， 因为 f(x)1，所以 F(x)0，即 F(x)0 或F(x)0 这说明 F(x)=f(x)-x 为单调函数，其相应曲线最多有一个零点， 即方程 f(x)=x 最多有一个实根)解析：
