1、专升本高等数学(一)-57 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 z=ln(x2+y)，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.不存在3.设 f(x)在点 x0处连续，则下列命题中正确的是( )（分数：4.00）A.f(在点 x0必定可导B.f(在点 x0必定不可导C.必定存在D.可能不存在4.设 f(x)为连续函数，则 等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)=2sinx，则 f(x)等于( )（分数：4.00）A.2sinxB.2c
2、osxC.-2sinxD.-2cos6.方程 x2+y2-z=0表示的二次曲面是( )（分数：4.00）A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面7.设区域 ，将二重积分 在极坐标系下化为二次积分为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.8.等于( ) （分数：4.00）A.2B.1C.D.09.设函数 y=f(x)的导函数，满足 f(-1)=0，当 x-1 时，f(x)0；x-1 时，f(x)0则下列结论肯定正确的是( )（分数：4.00）A.x=-1是驻点，但不是极值点B.x=-1不是驻点C.x=-1为极小值点D.x=-1为极大值点10.设 （分数：4.00）A.必定收敛B.必定发散C.
3、收敛性与 a有关D.上述三个结论都不正确二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(0)=0，f(0)存在，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.y=x3-27x+2在1，2上的最大值为_（分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17.过点(1，-1，0)且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_18.级数 （分数：4.00）填空项 1:_19.微分方程 exy=1的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_20.设区域 D
4、由曲线 y=x2，y=x 围成，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_22.计算 （分数：8.00）_23.设 y=y(x)由方程 y2-3xy+x3=1确定，求 dy（分数：8.00）_24.设 z=f(xy，x 2)，其中 f(x，y)有连续偏导数，求 （分数：8.00）_25.求微分方程 xy-y=x2的通解（分数：8.00）_26.求由曲线 y=2x-x2，y=x 所围成的平面图形的面积 S并求此平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：10.00）_27.设区域 D由 x2+y21，x0，y
5、0 所围成求 （分数：10.00）_28.研究 y=3x4-8x3+6x2+5的增减性、极值、极值点、曲线 y=f(x)的凹凸区间与拐点（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-57 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设 z=ln(x2+y)，则 等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为偏导数的计算 由于 故知应选 A2.设函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.不存在 解析：本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系 由于 f(x)为分段函数，点 x=1为 f(x)的分段点，且在
6、x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限 可知 ，从而知3.设 f(x)在点 x0处连续，则下列命题中正确的是( )（分数：4.00）A.f(在点 x0必定可导B.f(在点 x0必定不可导C.必定存在 D.可能不存在解析：本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系函数 f(x)在点 x0可导，则 f(x)在点 x0必连续函数 f(x)在点 x0连续，则4.设 f(x)为连续函数，则 等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式 5.设函数 f(x)=2sinx，则 f(x)等于( )（分数：4.00）A.2sinxB.2
7、cosx C.-2sinxD.-2cos解析：本题考查的知识点为导数的运算 f(x)=2sinx， f(x)=2(sinx)=2cosx， 可知应选 B6.方程 x2+y2-z=0表示的二次曲面是( )（分数：4.00）A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面 D.柱面解析：本题考查的知识点为二次曲面的方程将 x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选 C7.设区域 ，将二重积分 在极坐标系下化为二次积分为( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分 由于在极坐标系下积分区域 D可以表示为 0，0ra 因此 8.等于(
8、 ) （分数：4.00）A.2B.1C.D.0 解析：本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小性质 注意：极限过程为 x，因此不是重要极限形式!由于 x时， 为无穷小，而 sin2x为有界变量由无穷小与有界变量之积仍为无穷小的性质可知 9.设函数 y=f(x)的导函数，满足 f(-1)=0，当 x-1 时，f(x)0；x-1 时，f(x)0则下列结论肯定正确的是( )（分数：4.00）A.x=-1是驻点，但不是极值点B.x=-1不是驻点C.x=-1为极小值点 D.x=-1为极大值点解析：本题考查的知识点为极值的第一充分条件 由 f(-1)=0，可知 x=-1为 f(x)的驻点，当 x-1 时，f
9、(x)0；当 x-1 时，f(x)1，由极值的第一充分条件可知 x=-1为 f(x)的极小值点，故应选 C10.设 （分数：4.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a有关D.上述三个结论都不正确 解析：本题考查的知识点为正项级数的比较判别法正项级数的比较判别法为：设 都为正项级数，且 unv n(n=1，2，)：(1)若 收敛，则 必收敛(2)若 发散，则 必发散通常还有个使用较方便的比较判别法：设 都为正项级数，且存在 a0，使 unau n(n=1，2，)，则上述两个结论依然成立需要指出的是：上述判别法是对正项级数而言的由于题目没有指明 为正项级数，因此，比较判别法的结论不能套用在
10、本题中故本例应选 D本题中有些考生选 A，这是由于误将二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为微分的四则运算 注意若 u，v 可微，则 当 时，有 本例也可以利用 dy=ydx，先求出 y，再乘以 dx，得出 dy 由于 可得 12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为重要极限公式 13.设 f(0)=0，f(0)存在，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(0)）解析：解题指导 本题考查的知识点为导数的定义 由于 f(0)=0，
11、f(0)存在，因此 本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误： 因为题设中只给出 f(0)存在，并没有给出，f(z)(x0)存在，也没有给出，f(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误14.y=x3-27x+2在1，2上的最大值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-24）解析：解题指导 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值若 f(x)在(a，b)内可导，在a，b上连续，常可以利用导数判定 f(x)在a，b上的最值：(1)求出 f(x)(2)求出 f(x)在(a，b)内的驻点 x1，x k(3)比较 f(x1)，f(x
12、2)，f(x k)，f(a)，f(b)其中最大(小)值为 f(x)在a，b上的最大(小)值，相应的点 x为 f(x)的最大(小)值点则 令 y=0得 y的驻点 x1=-3，x 2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内由于 f(1)=-24，f(2)=-44，可知 y=x3-27x+2在1，2上的最大值为-24本题考生中出现的错误多为求出驻点 x1=-3，x 2=3之后，直接比较f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，得出 y=x3-27x+2在1，2上的最大值为 f(-3)=56其错误的原因是没有判定驻点 x1=-3，x 2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是
13、值得考生注意的问题在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视本题还可以采用下列解法：注意到 y=3(x-3)(x+3)，在区间1，2上有 y0，因此 y为单调减少函数。可知x=2为 y的最小值点，最小值为 y| x=2=-44x=1为 y的最大值点，最大值为 y| x=1=-2415. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为两个：参数方程形式的函数求导和可变上限积分求导 由于当时， 可得： ，因此 16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 4-e）解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分的基本公式 17.过点(1，-
14、1，0)且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系 由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)由直线的点向式方程可知所求直线方程为 18.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，+)）解析：解题指导 本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间求 的收敛区间的一般方法为：对于不缺项情形(即 an0)：(1)求出(2)若 0，则收敛半径 ，收敛区间为(-R，R)若 =0，则收敛半径 R=+，收敛区间为(-，+)若 =+，则收敛半径 R=0，级数仅在点 x
15、=0收敛对于缺项情形(即有某些项 an=0)，需用后项与前项之比的绝对值取极限来确定由于，因此可知 =0，因此 R=+，得知 的收敛区间为(-，+)19.微分方程 exy=1的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-e -x+C）解析：解题指导 本题考查的知识点为可分离变量方程的求解可分离变量方程求解的一般方法为：(1)变量分离；(2)两端积分由于方程为 exy=1，先变形为变量分离 dy=e-xdx两端积分 20.设区域 D由曲线 y=x2，y=x 围成，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为计算二重积分积分区域
16、D可以表示为：0x1，x 2yx，因此三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_正确答案：()解析：利用洛必达法则 原式 ，接下去有两种解法： 解法 1 利用等价无穷小代换 解法 2 利用洛必达法则 解题指导 本题考查的知识点为两个：“ ”型极限和可变上限积分的求导 对于可变上(下)限积分形式的极限，如果为“ ”型或“22.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 解题指导 本题考查的知识点为定积分的换元积分法23.设 y=y(x)由方程 y2-3xy+x3=1确定，求 dy（分数：8.00）_正确答案：()解析：解法 1 将方程两端关于 x求导，可得可
17、解得 因此解法 2 将方程两端求微分2ydy-3(ydx+xdy)+3x2dx=0，可解得解题指导 本题考查的知识点为求隐函数的微分若 y=y(x)由方程 F(x，y)=0 确定，求 dy常常有两种方法(1)将方程 F(x，y)=0 直接求微分，然后解出 dy(2)先由方程 F(x，y)=0 求 y，再由 dy=ydx得出微分 dy24.设 z=f(xy，x 2)，其中 f(x，y)有连续偏导数，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解题指导 本题考查的知识点为求抽象函数的偏导数已知 z：f(xy，x 2)，其中 f(x，y)有连续偏导数，求通常有两种求解方法解法 1 令 fi表示厂对第
18、 i个位置变元的偏导数，则这里应指出，这是当每个位置变元对 x的偏导数易求时，才采用此方法相仿可解有必要指出，由于第二个位置变元不依赖 y，因此第二个位置变元对 y的偏导数为 0解法 2 令 u=xy，v=x 2，则 z=f(u，v)25.求微分方程 xy-y=x2的通解（分数：8.00）_正确答案：()解析：将方程化为标准形式解题指导 本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：解法 1 利用求解公式，必须先将微分方程化为标准形式)y+p(x)y=q(x)，则对所给方程 xy-y=x2应先化为标准形式 ，如参考答案所给解法，可得通解解法 2 利用常数变易法原
19、方程相应的齐次微分方程为xy-y=0，分离变量 两端积分 令 C=C(x)，则 y=C(x)X，代入原方程，可得可得原方程通解为 y=x(x+C)本题中考生出现的较常见的错误是：取 p(x)=-1，q(x)=x 2，利用通解公式这是由于没有将所给方程化为标准方程而导致的错误读者应该明确，上述通解公式是标准方程的通解公式26.求由曲线 y=2x-x2，y=x 所围成的平面图形的面积 S并求此平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx（分数：10.00）_正确答案：()解析：所给平面图形如图 4-1中阴影部分所示 由 ，可解得 因此 27.设区域 D由 x2+y21，x0，y0 所围成求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：将区域 D表示为 则 28.研究 y=3x4-8x3+6x2+5的增减性、极值、极值点、曲线 y=f(x)的凹凸区间与拐点（分数：10.00）_正确答案：()解析：y 的定义域为(-，+)令 y=0，可得驻点 x1=0，x 2=1令 y“=0，可得列表可得单调增加区间为(0，+)；单调减少区间为(-，0)；极小值为 5，极小值点为 x=0；曲线的凹区间为曲线的凸区间为曲线的拐点为
