1、专升本高等数学(一)-52 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论肯定正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设曲线 y=x-ex在点(0，-1)处与直线 l相切，则直线 l的斜率为( )（分数：4.00）A.B.1C.0D.-13.级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a有关4.设函数 f(x)在 x=1处可导，且 ，则 f(1)等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.5.等于( ) （分数：4.00）A.0B.C.D.6.已知
2、y=ksin2x的一个原函数为 y=cos2x，则 k等于( )（分数：4.00）A.2B.1C.-1D.-27.设函数 z=y3x，则 （分数：4.00）A.y3xlnyB.3y3xlnyC.3xy3xD.3xy3x-18.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )（分数：4.00）A.(-5，5)B.(-，0)C.(0，+)D.(-，+)9.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.f(-f(B.f(-f(C.f(D.f(10.下列关系正确的是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_1
3、2.设 f(x)在 x=1处连续， （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=x+ex，则 y_（分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16.设 z=x2y2+3x,则 （分数：4.00）填空项 1:_17.过原点且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_18.设区域 D：0x1，1y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.y=x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_20.级数 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.y=xlnx的极值与极值点（分数：8.00）_
4、22.设 y=y(x)由 （分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.设 z=z(x，y)由 x2+2y2+3z2+yz=1确定，求 （分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.求 （分数：10.00）_27.证明：当 （分数：10.00）_28.求 y“+2y+y=2ex的通解（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-52 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论肯定正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为连续性的定义，
5、连续性与极限、可导性的关系由函数连续性的定义：若在 x0处 f(x)连续，则可知选项 D正确，C 不正确由于连续性并不能保证 f(x)的可导性，可知 A不正确自于连续必定能保证极限2.设曲线 y=x-ex在点(0，-1)处与直线 l相切，则直线 l的斜率为( )（分数：4.00）A.B.1C.0 D.-1解析：本题考查的知识点为导数的几何意义由于 y=x-ex，y=1-e x，y| x=0=0由导数的几何意义可知，曲线 y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为 0，因此选 C3.级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a有关解析：本题考查的知识点为级数绝对收敛与
6、条件收敛的概念 注意 为 p=2的 p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知 收敛，故4.设函数 f(x)在 x=1处可导，且 ，则 f(1)等于( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为可导性的定义 当 f(x)在 x=1处可导时，由导数定义可得 可知 f(1)=5.等于( ) （分数：4.00）A.0 B.C.D.解析：本题考查的知识点为“有界变量与无穷小的乘积为无穷小”的性质当 x时，为无穷小，而 sin2mx为有界变量，因此若将条件换为 x0，则若将条件换为 x1，则这表明计算时应该注意问题中的所给条件6.已知 y=ksin2x的一个原函数为 y=cos2x，
7、则 k等于( )（分数：4.00）A.2B.1C.-1D.-2 解析：本题考查的知识点为可变限积分求导 由原函数的定义可知(cos2x)=ksin2x，而(cos2x)=(-sin2x)2，可知 k=-27.设函数 z=y3x，则 （分数：4.00）A.y3xlnyB.3y3xlnyC.3xy3xD.3xy3x-1 解析：本题考查的知识点为偏导数的计算z=y3x是关于 y的幂函数，因此8.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )（分数：4.00）A.(-5，5)B.(-，0)C.(0，+) D.(-，+)解析：本题考查的知识点为判定函数的单调性y=ln(1+x2)的定义域为(-，+)9
8、.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.f(-f(B.f(-f(C.f( D.f(解析：本题考查的知识点为可变限积分求导 由于当 f(x)连续时，10.下列关系正确的是( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为不定积分的性质 由不定积分的性质可知二、B填空题/B(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：解题指导 本题考查的知识点为重要极限公式 12.设 f(x)在 x=1处连续， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解题指导 本题考查的知识点为：连续性与极限的关系；左极限、右
9、极限与极限的关系 由于f(x)在 x=1处连续，可知 必定存在，由于 ，可知 =13.设 y=x+ex，则 y_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1+e x）解析：解题指导 本题考查的知识点为导数的四则运算y=(x+ex)=x+(ex)=1+ex14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解题指导 本题考查的知识点为极限运算 由于所给极限为“ ”型极限，由极限四则运算法则有15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln(1+x)+C）解析：解题指导 本题考查的知识点为换元积分法 16.设 z=x2y2+3x,则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正
10、确答案：2xy(x+y)+3）解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的偏导数由于 z=x2y2+3x，可知因此17.过原点且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2x+y-3z=0）解析：解题指导 本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系 由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量 s平行于所求平面的法向量 n由于 s=(2，1，-3)，因此可取 n=(2，1，-3)由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为 2x+y-3z=018.设区域 D：0x1，1y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解题指导 本题考查的知识点为二
11、重积分的计算 如果利用二重积分的几何意义，可知的值等于区域 D的面积由于 D是长、宽都为 1的正形，可知其面积为 1因此19.y=x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程 由于 y=x，可知20.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解题指导 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径所给级数为缺项情形，由于可知当 时，即 x23 时级数绝对收敛，因此级数的收敛半径为三、B解答题/B(总题数：8，分数：70.00)21.y=xlnx的极值与极值点（分数：8.00）_正确答案：()解析：y=xlnx
12、 的定义域为 x0y=1+lnx令 y=0得驻点 x1=e-1当 0xe -1时，y0；当 e-1x 时，y0可知 x=e-1为 y=xlnx的极小值点极小值为22.设 y=y(x)由 （分数：8.00）_正确答案：()解析：将 两端关于 x的求导, 可得 故 解题指导 本题考查的知识点为可变上限积分求导和隐函数的求导 求解的关键是将所给方程认作 y为 x的隐函数，在对可变上限积分求导数时，将其上限 y认作为 x的函数23.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：24.设 z=z(x，y)由 x2+2y2+3z2+yz=1确定，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 故25.计算
13、（分数：8.00）_正确答案：()解析：26.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由 可解得两组解 27.证明：当 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 f(x)=sinx+tanx-2x，则当 时， 因此当 时 f(x)0，可知 f(x)为单调增加函数由于 f(x)在 x=0处连续，因此当 0x时， 即 sinx+tanx-2x028.求 y“+2y+y=2ex的通解（分数：10.00）_正确答案：()解析：相应微分方程的齐次微分方程为 y“+2y+y=0其特征方程为 r2+2r+1=0；特征根为 r=-1(二重实根)；齐次方程的通解为 Y=(C 1+C2x)e-x，设为 y“+2y+y=2ex的特解，此时 f1(x)=2ex，=1 不为特征根，设，代入上述方程，可定出故为所求通解
