1、专升本高等数学(一)-41 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=sin2x，则 y等于( ) A-cos2x Bcos2x C-2cos2x D2cos2x（分数：4.00）A.B.C.D.3.平面 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 z=tan(xy)，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.过曲线 y=xlnx上 M0点的切线平行于直线 y=2x，则切点 M0的坐标是( ) A(1，0) B(e，0) C(e，1) D(e，e)（分数：4.00）A.B.C
2、.D.6.若 x0为 f(x)的极值点，则( ) Af(x 0)必定存在，且 f(x0)=0 Bf(x 0)必定存在，但 f(x0)不一定等于零 Cf(x 0)不存在或 f(x0)=0 Df(x 0)必定不存在（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)为连续函数，则( （分数：4.00）A.B.C.D.8. 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.9.设函数 在 x=0处连续，则 a等于( ) A0 B （分数：4.00）A.B.C.D.10.微分方程 y+y=0的通解为( )o Ay=e xo By=e -xo Cy=Ce xo Dy=Ce -x（分数：4.00）A.B.C.D.
3、二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17. （分数：4.00）填空项 1:_18.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_19.微分方程 y+9y=0的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_20.曲线 y=x3-6x的拐点坐标为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_22.设 （分
4、数：8.00）_23.设 z=xy3+2yx2求 （分数：8.00）_24.求 y“-2y-8y=0的通解（分数：8.00）_25.将 （分数：8.00）_26.设 （分数：10.00）_27.求曲线 y=x2+1在点(1，2)处的切线方程并求该曲线与所求切线及 x=0所围成的平面图形的面积（分数：10.00）_28.设区域 D为： （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-41 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为无穷级数的收敛性由于*收敛，可知所给级数绝对收敛
5、2.设 y=sin2x，则 y等于( ) A-cos2x Bcos2x C-2cos2x D2cos2x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则Y=sin2x，则 y=cos(2x)(2x)=2cos2x可知应选 D3.平面 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为两平面的关系两平面的关系可由两平面的法向量，n 1，n 2间的关系确定若 n1n 2，则两平面必定垂直若*时，两平面平行；当*时，两平面重合若 n1与 n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交由于 n1=(1，-2，3)，n 2=(2，1，0)，n 1n2=0，可知 n1n
6、 2，因此 1 2，应选 A4.设 z=tan(xy)，则 等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为偏导数运算由于 z=tan(xy)，因此*可知应选 A5.过曲线 y=xlnx上 M0点的切线平行于直线 y=2x，则切点 M0的坐标是( ) A(1，0) B(e，0) C(e，1) D(e，e)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为导数的几何意义由导数的几何意义可知，若 y=f(x)在点 x0处可导，则曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处必定存在切线，且切线的斜率为 f(x0)由于 y=xlnx，可知y=1+lnx，切线与已知直线
7、 y=2x平行，直线的斜率 k1=2，可知切线的斜率 k=k1=2，从而有1+lnx0=2，可解得 x0=e，从而知y0=x0lnx0=elne=e故切点 M0的坐标为(e，e)，可知应选 D6.若 x0为 f(x)的极值点，则( ) Af(x 0)必定存在，且 f(x0)=0 Bf(x 0)必定存在，但 f(x0)不一定等于零 Cf(x 0)不存在或 f(x0)=0 Df(x 0)必定不存在（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为函数极值点的性质若 x0为函数 y=f(x)的极值点，则可能出现两种情形：(1)f(x)在点 x0处不可导，如 y=|x|，在点 x0=0处 f
8、(x)不可导，但是点 x0=0为 f(a)=|x|的极值点(2)f(x)在点 x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有 f(x0)=0从题目的选项可知应选 C本题常见的错误是选 A其原因是考生将极值的必要条件：“若 f(x)在点 x0可导，且 x0为 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0”认为是极值的充分必要条件7.设 f(x)为连续函数，则( （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质这是一个基本性质：若 f(x)为连续函数，则*必定可导，且*本题常见的错误是选 D，这是由于考生将积分的性质*与牛顿-莱布尼茨公式*混在了一起而引起的错误8. 等于(
9、 )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为不定积分基本公式由于 *可知应选 C9.设函数 在 x=0处连续，则 a等于( ) A0 B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为函数连续性的概念由函数连续性的定义可知，若 f(x)在 x=0处连续，则有*，由题设 f(0)=a，*可知应有 a=1，故应选 C10.微分方程 y+y=0的通解为( )o Ay=e xo By=e -xo Cy=Ce xo Dy=Ce -x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为一阶微分方程的求解可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程
10、；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解解法 1 将方程认作可分离变量方程分离变量 *两端分别积分 *或 y=Ce -x解法 2 将方程认作一阶线性微分方程由通解公式可得*解法 3 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为 r+1=0，特征根为 r=-1，方程通解为 y=Ce -x二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解题指导 本题考查的知识点为无穷小的性质对于*，其极限过程为 x，可知所给极限不能利用重要极限公式*这是考生经常犯错误的题目当 x时，sin3x 不存在极限由于当 x时，*为无穷小，且 s
11、in3x为有界变量，由于“有界变量与无穷小之积仍为无穷小”，*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解题指导 本题考查的知识点为极限的运算由于分子的极限*，分母的极限*，因此所给极限不能利用极限的商的运算法则来求解*或利用洛必达法则可得*注：如果题目换为求*由于分母极限为 0，分子极限为 3，同样不能利用极限商的运算法则，此时可以利用无穷小量与无穷大量关系求解*表示当 x1 时，变量*为无穷大，极限不存在这里常见的错误是直接利用洛必达法则：*而导致错误事实上，所给极限分子的极限*，因此所给函数极限不为“*”型，不能利用洛必达法则求解如果计算极限，应该先判定其类型，再选
12、择计算方法当所求极限为分式时：若分子与分母的极限都存在，且分母的极限不为零，则可以利用极限的商的运算法则求极限若分子与分母的极限都存在，但是分子的极限不为零，而分母的极限为零，则所求极限为无穷大若分子与分母的极限都为零，所给极限为“*”型，则可以考虑利用洛必达法则，但此时应该检查是否满足洛必达法则的其他条件，是否可以进行等价无穷小代换，所求极限的分子或分母是否有非零因子，可以单独进行极限运算等13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为函数商的求导运算考生只需熟记导数运算的法则*本题中有些考生还不会运用求导法则，误以为*因此出现*的错误这是由于考
13、生没掌握基本知识才出现的错误14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解题指导 本题考查的知识点为二阶导数的运算f(x)=(x2)=2x，f“(x)=(2x)=215. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分的换元法由于被积函数*分母为二次函数，分子为一次函数，本例有多种解法解法 1 利用凑微分，注意到*，可得*解法 2令 t=1+x2，则 dt=2xdx当 x=1时，t=2；当 x=2时，t=5*有的考生填为*，这个错误的原因是引入变量 t=1+x2，则 dt=2xdx得到*这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没
14、做变化16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2x+3y）解析：解题指导 本题考查的知识点为偏导数的运算由于 z=x2+3xy+2y2-y，可得 *17. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：F(sinx)+C）解析：解题指导 本题考查的知识点为不定积分的换元法由于f(x)dx=F(x)+C，令 u=sinx，则 du=cosxdx，*18.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解题指导 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径所给幂级数为不缺项情形*因此收敛半径为 019.微分方程 y+9y=0的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
15、：y=Ce -9x）解析：解题指导 本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程分离变量 *两端分别积分 *lny=-9x+C1，y=Ce -9x20.曲线 y=x3-6x的拐点坐标为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，0)）解析：解题指导 本题考查的知识点为求曲线的拐点依求曲线拐点的一般步骤，只需(1)先求出 y“(2)令 y“=0得出 x1，x k(3)判定在点 x1，x 2，x k两侧，y“的符号是否异号若在 xk的两侧 y“异号，则点(x k，f(x k)为曲线 y=f(x)的拐点y=x3-6x，y=3x2-6，y“=6x令 y“=0，得到 x=0当 x=0时，y=0当
16、x0 时，y“0；当 x0 时，y“0因此点(0，0)为曲线 y=x3-6x的拐点本题出现较多的错误为：填 x=0这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚拐点的定义是：连续曲线 y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点其一般形式为(x 0，f(x 0)，这是应该引起注意的，也就是当判定 y“在 x0的两侧异号之后，再求出 f(x0)，则拐点为(x 0，f(x 0)注意极值点与拐点的不同之处!三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解题指导 本题考查的知识点为不定积分的换元积分运算注意*，通常引入变换 t=lnx本例求*，可以令 t
17、=lnx，则*也可以不写出新变元，利用凑微分法计算：*本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数 C22.设 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解题指导 本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导只需依公式*，先分别求出*即可23.设 z=xy3+2yx2求 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：24.求 y“-2y-8y=0的通解（分数：8.00）_正确答案：(特征方程为 *特征根为 *方程的通解为 *)解析：25.将 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解题指导 本题考查的知识点为将函数展开为 x的幂级数将函数展开为 x的幂级数通常利用间接法先将 f(x)与标准展开式
18、中的函数对照，以便确定使用相应的公式如果 f(x)可以经过恒等变形变为标准展开式中函数的和、差形式，则可以先变形*相近，恒等变形可得*将*认作整体，则可以利用标准展开式*求解需要指出的问题是，不要丢掉收敛区间*这是考生中常常出现的问题26.设 （分数：10.00）_正确答案：(设*，则*两端当 x2 时取极限*可解得*，因此*)解析：解题指导 本题考查的知识点为两个：极限的运算；极限值是个确定的数值设*是本题求解的关键未知函数 f(x)在极限号内或 f(x)在定积分号内的、以方程形式出现的这类问题，求解的基本思想是一样的请读者明确并记住这种求解的基本思想本题考生中多数人不会计算，感到无从下手考
19、生应该记住这类题目的解题关键在于明确：如果*存在，则*表示一个确定的数值27.求曲线 y=x2+1在点(1，2)处的切线方程并求该曲线与所求切线及 x=0所围成的平面图形的面积（分数：10.00）_正确答案：(*，因此曲线 y=X2+1在点(1，2)处的切线方程为y-2=2(x-1)，y=2x曲线 y=x2+1，切线 y=2x与 x=0所围成的平面图形如图 3-1所示*其面积*)解析：解题指导 本题考查的知识点为：求曲线的切线方程；利用定积分求平面图形的面积*28.设区域 D为： （分数：10.00）_正确答案：(利用极坐标，区域 D可以表示为)解析：解题指导 本题考查的知识点为二重积分的计算(极坐标系)如果积分区域为圆域或圆的一部分，被积函数为 f(x2+y2)的二重积分，通常利用极坐标计算较方便使用极坐标计算二重积分时，要先将区域 D的边界曲线化为极坐标下的方程表示，以确定出区域D的不等式表示式，再将积分化为二次积分本题考生中常见的错误为：*被积函数中丢掉了 r这是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二次积分时常见的错误，考生务必要注意
