1、专升本高等数学(一)-37 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 z=sin(xy2)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.若f(x)dx=F(x)+C，则f(2x)dx 等于( ) A2F(2x)+C BF(2x)+C CF(x)+C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 Y=x2-2x+a，贝 0 点 x=1( )o A为 y 的极大值点o B为 y 的极小值点o C不为 y 的极值点o D是否为 y 的极值点与 a 有关（分数：4.00）A.B.C.D.4.当 a0 时，2x 2+3x 是 x 的( )
2、o A高阶无穷小o B等价无穷小o C同阶无穷小，但不是等价无穷小o D低阶无穷小（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 Y=e-x，则 Y等于( )o A-e xo Be xo C-e -xo De -x（分数：4.00）A.B.C.D.6.二次积分 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.若 ，则下列命题中正确的有( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)在区间(0，1)内可导，f(x)0，则在(0，1)内 f(x)( )o A单调增加o B单调减少o C为常量o D既非单调，也非常量（分数：4.00）A.B.C.D.9.设 f(x0)=1,则 等于( )o
3、 A3o B2o C1o D （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 y1，y 2为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个特解，则 C1y1+C2y2( ) A为所给方程的解，但不是通解 B为所给方程的解，但不一定是通解 C为所给方程的通解 D不为所给方程的解（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 y=sin2x，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=2x+sin2，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_13.函数 y=x3-2x+1 在区间1，2上的最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_14.
4、（分数：4.00）填空项 1:_15.设 z=sin(y+x2)，则 （分数：4.00）填空项 1:_16.微分方程 y“+y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_17.过点 M0(1，-2，0)且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_18.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_19.广义积分 （分数：4.00）填空项 1:_20.设区域 D 由 y 轴，y=x，y=1 所围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_22.设 y=y(x)由方程
5、 X2+2y3+2xy+3y-x=1 确定，求 y（分数：8.00）_23.设 x2为 f(x)的原函数求 （分数：8.00）_24.求曲线 y= （分数：8.00）_25.求微分方程 （分数：8.00）_26.求由曲线 y=3-x2与 y=2x，y 轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：10.00）_27.求 （分数：10.00）_28.将 f(x)=ln(1+x2)展开为 x 的幂级数（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-37 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设函数 z=sin
6、(xy2)，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为偏导数的运算由 z=sin(xy2)，知*可知应选 D2.若f(x)dx=F(x)+C，则f(2x)dx 等于( ) A2F(2x)+C BF(2x)+C CF(x)+C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法)由题设知f(x)dx=F(x)+C，因此*可知应选 D3.设 Y=x2-2x+a，贝 0 点 x=1( )o A为 y 的极大值点o B为 y 的极小值点o C不为 y 的极值点o D是否为 y 的极值点与 a 有关（分数：4.00）A.B. C.D.
7、解析：本题考查的知识点为一元函数的极值求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点由于 y=x2-2x+a，可由y=2x-2=0，解得 y 有唯一驻点 x=1又由于 y“=2，可得知 y“|x=1=20由极值的充分条件可知 x=1 为 y 的极小值点，故应选 B如果利用配方法，可得 y=(x-1)2+a-1a-1，且 y|x=1=a-1，由极值的定义可知 x=1 为 y 的极小值点，因此选 B4.当 a0 时，2x 2+3x 是 x 的( )o A高阶无穷小o B等价无穷小o C同阶无穷小，但不是等价无穷小o D低阶无穷小（
8、分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较应依定义考察*由此可知，当 x0 时，2x 3+3x 是 x 的同阶无穷小，但不是等价无穷小，故知应选 C本题应明确的是：考察当 xx 0时无穷小卢与无穷小 的阶的关系时，要判定极限*这里是以 为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误5.设函数 Y=e-x，则 Y等于( )o A-e xo Be xo C-e -xo De -x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为复合函数导数的运算由复合函数的导数链式法则知*可知应选 C6.二次积分 等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查
9、的知识点为交换二次积分的积分次序由所给二次积分限可知积分区域 D 的不等式表达式为：0x1， 0y1-x，其图形如图 1-1 所示*交换积分次序，D 可以表示为0y1， 0x1-y，因此*可知应选 A7.若 ，则下列命题中正确的有( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为级数收敛性的定义由级数收敛性的定义：若*，当*存在时，则称级数*收敛，可知应选 B8.设函数 f(x)在区间(0，1)内可导，f(x)0，则在(0，1)内 f(x)( )o A单调增加o B单调减少o C为常量o D既非单调，也非常量（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为利用导数符
10、号判定函数的单调性由于 f(x)在(0，1)内有 f(x)0，可知 f(x)在(0，1)内单调增加，故应选 A9.设 f(x0)=1,则 等于( )o A3o B2o C1o D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为导数的定义由题设知 f(x0)=1，又由题设条件知*可知应选 B10.设 y1，y 2为二阶线性常系数微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个特解，则 C1y1+C2y2( ) A为所给方程的解，但不是通解 B为所给方程的解，但不一定是通解 C为所给方程的通解 D不为所给方程的解（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为线性常系数微分方程
11、解的结构已知 y1，y 2为二阶线性常系数齐次微分方程 y“+p1y+p2y=0 的两个解，由解的结构定理可知 C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除 D又由解的结构定理可知，当 y1，y 2线性无关时，C 1y1+C2y2为 y“+p1y+p2y=0 的通解，因此应该选 B本题中常见的错误是选 C这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误解的结构定理中指出：“若 y1，y 2为二阶线性常系数微分方程y“+p1y+p2y=0 的两个线性无关的特解，则 C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C 2为任意常数”由于所给命题中没有指出)y 1，y 2为线性无关
12、的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解但是由解的结构定理知 C1y1+C2y2为方程的解，因此应选 B二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 y=sin2x，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2cos2xdx）解析：解题指导 这类问题通常有两种解法解法 1 利用公式 dy=ydx，先求 y，由于 y=cos2x(2x)2cos2x，因此 dy=2cos2xdx解法 2 利用微分运算公式dy=d(sin2x)=cos2xd(2x)=2cos2xdx12.设 y=2x+sin2，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 xln2）解
13、析：解题指导 本题考查的知识点为初等函数的求导运算本题需利用导数的四则运算法则求解Y=(2x+sin2)=(2x)+(sin2)=2xln2本题中常见的错误有(sin2)=cos2这是由于误将 sin2 认作 sinx，事实上 sin2 为一个常数，而常数的导数为 0，即(sin2)=0相仿(cos3)=0，(ln5)=0，(*)=0 等请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为 013.函数 y=x3-2x+1 在区间1，2上的最小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解题指导 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题通常求解的思路为：先求
14、出连续函数 f(x)在(a，b)内的所有驻点 x1,，x k比较 f(x1)，f(x 2)，f(x k)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为 f(x)在a，b上的最大(小)值，相应的 x 即为，(x)在a，b上的最大(小)值点由 y=x32x+1，可得Y=3x2-2令 y=0 得 y 的驻点为*，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当 x(1，2)时有Y=3x2-20可知 y=x3-2x+1 在1，2上为单调增加函数，最小值点为 x=1，最小值为 f(1)=0注： 也可以比较 f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为 f(x)在1，2上的最小值本题中常见的错误是，得到驻点*和*之后，不讨
15、论它们是否在区间(1，2)内而是错误地比较*从中确定 f(x)在1，2上的最小值则会得到错误结论14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分计算可以利用变量替换，令 u=2x，则 du=2dx，当 x=0 时，a=0；当 x=1 时，u=2因此*或利用凑微分法*本题中考生常在最后由于粗心而出现错误如*这里*中丢掉第二项15.设 z=sin(y+x2)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2xcos(y+x 2)）解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算可以令 u=y+x2，得 z=sinu，由复合函数偏导数的链式
16、法则得*16.微分方程 y“+y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1+C2e-x，其中 C1，C 2为任意常数）解析：解题指导 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解二阶线性常系数齐次微分方程求解的一般步骤为：先写出特征方程，求出特征根，再写出方程的通解微分方程为 y“+y=0特征方程为 r 2+r=0特征根 r 1=0 r 2=-1因此所给微分方程的通解为y=C1+C2e-x，其牛 C1，C 2为任意常数17.过点 M0(1，-2，0)且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3(x-1)-(y+2)+z=0(或 3x-y+z=5
17、)）解析：解题指导 本题考查的知识点为平面与直线的方程由题设条件可知应该利用点法式方程来确定所求平面方程所给直线 l 的方向向量 s=(3，-1，1)若所求平面 垂直于直线 l，则平面 的法向量 ns，不妨取 n=s=(3，-1，1)则由平面的点法式方程可知3(x-1)-y-(-2)+(z-0)=0，即 3(x-1)-(y+2)+z=0为所求平面方程或写为 3x-y+z-5=0上述两个结果都正确，前者 3(x-1)-(y+2)z=0 称为平面的点法式方程，而后者 3x-y+z-5=0 称为平面的一般式方程18.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，则该切线方程为_（分数
18、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=f(1)）解析：解题指导 本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程设切点为(x 0，f(x 0)，则曲线 y=f(x)过该点的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)由题意可知 x0=1，且在(1，f(1)处曲线 y=f(x)的切线平行于 x 轴，因此应有 f(x0)=0，故所求切线方程为y=f(1)=0本题中考生最常见的错误为：将曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程写为y-f(x0)=f(x)(x-x0)而导致错误本例中错误地写为y-f(1)=f(x)(x-1)本例中由于 f(x)为抽象函数，一些考生不
19、习惯于写 f(1)，有些人误写切线方程为y-1=019.广义积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解题指导 本题考查的知识点为广义积分，应依广义积分定义求解*20.设区域 D 由 y 轴，y=x，y=1 所围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为计算二重积分其积分区域如图 1-2 阴影区域所示*可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之解法 1 由二重积分的几何意义可知*表示积分区域 D 的面积，而区域 D 为等腰直角三角形，面积为*，因此*解法 2 化为先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分作平行于 y
20、 轴的直线与区域 D 相交，沿 y 轴正向看，入口曲线为 y=x，作为积分下限；出口曲线为 y=1，作为积分上限，因此xy1区域 D 在 x 轴上的投影最小值为 x=0，最大值为 x=1，因此0x1可得知*解法 3 化为先对 x 积分，后对 Y 积分的二次积分作平行于 x 轴的直线与区域 D 相交，沿 x 轴正向看，入口曲线为 x=0，作为积分下限；出口曲线为 x=y，作为积分上限，因此0xy区域 D 在 y 轴上投影的最小值为 y=0，最大值为 y=1，因此0y1可得知*三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00）_正确答案：(解法 1 原式：*(两次利用洛必达法则)
21、解法 2原式*(利用等价无穷小代换)解析：解题指导 本题考查的知识点为用洛必达法则求极限由于问题为“-”型极限问题，应先将求极限的函数通分，使所求极限化为“*”型问题*如果将上式右端直接利用洛必达法则求之，则运算复杂注意到使用洛必达法则求极限时，如果能与等价无穷小代换相结合，则问题常能得到简化，由于当 x0 时，sinxx，因此*从而能简化运算本题考生中常见的错误为：由于当 x0 时，sinxx，因此*将等价无穷小代换在加减法运算中使用，这是不允许的22.设 y=y(x)由方程 X2+2y3+2xy+3y-x=1 确定，求 y（分数：8.00）_正确答案：(解法 1 将所给方程两端关于 x 求
22、导，可得2x+6y2y+2(y+xy)+3y-1=0，整理可得 *解法 2 令 F(x，y)=x 2+2y3+2xy+3y-x-1，则*)解析：解题指导 本题考查的知识点为隐函数求导法y=y(x)由方程 F(x，Y)=0 确定，求 y通常有两种方法：一是将 F(x，y)=0 两端关于 x 求导，认定 y 为中间变量，得到含有 y的方程，从中解出 y二是利用隐函数求导公式*其中 Fx，F y分别为 F(x，y)=0 中 F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数对于一些特殊情形，可以从 F(x，y)=0 中较易地解出 y=y(x)时，也可以先求出 y=y(x)，再直接求导23
23、.设 x2为 f(x)的原函数求 （分数：8.00）_正确答案：(解法 1*由于 x2为 f(x)的原函数，因此*解法 2 由于 x2为 f(x)的原函数，因此*)解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分的计算24.求曲线 y= （分数：8.00）_正确答案：(由于 *所以 *因此曲线 y=*在点(1，1)处的切线方程为*或写为 x-2y+1=0)解析：解题指导 本题考查的知识点为曲线的切线方程25.求微分方程 （分数：8.00）_正确答案：(所给方程为一阶线性微分方程*其通解为*)解析：解题指导 本题考杏的知识点为求解一阶线性微分方程26.求由曲线 y=3-x2与 y=2x，y 轴所围成的平
24、面图形的面积及该封闭图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：(所给曲线围成的平面图形如图 1-3 所示*解法 1 利用定积分求平面图形的面积由于*的解为 x=1，y=2，可得*解法 2 利用二重积分求平面图形面积由于* 的解为 x=1，y=2，*求旋转体体积与解法 1 同)解析：解题指导 本题考查的知识点有两个：利用定积分求平面图形的面积；用定积分求绕坐标轴旋转所得旋转体的体积本题也可以利用二重积分求平面图形的面积27.求 （分数：10.00）_正确答案：(积分区域 D 如图 1-4 所示*D 可以表示为0x1，0y1+x 2*)解析：解题指导 本题考查的知识点为
25、计算二重积分，选择积分次序如果将二重积分化为先对 x 后对 y 的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序28.将 f(x)=ln(1+x2)展开为 x 的幂级数（分数：10.00）_正确答案：(由于*因此 *)解析：解题指导 本题考查的知识点为将函数展开为幂级数考试大纲中指出“会运用 ex，sinx，cosx，ln(1+x)，*的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为 x 或(x-x 0)的幂级数”这表明本题应该将 ln(1+x2)变形认作ln(1+x)的形式，利用间接法展开为 x 的幂级数本题中考生出现的常见错误是对 ln(1+x2)关于 x 的幂级数不注明该级数的收敛区间，这是要扣分的
