1、专升本高等数学(一)-35 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. 等于( ) A0 B C （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论肯定正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )o A(-5，5)o B(-，0)o C(0，+)o D(-，+)（分数：4.00）A.B.C.D.4.设曲线 y=x-ex在点(0，-1)处与直线 l相切，则直线 l的斜率为( )o Ao B1o C0o D-1（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函
2、数 z=y3x，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列关系正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 y=ksin2x的一个原函数为 y=cos2x，则 k等于( )o A2o B1o C-1o D-2（分数：4.00）A.B.C.D.9.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设函数 f(x)在 x=1处可导，且 ，则 f(1)等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)在 x=1处连续， （分数：
3、4.00）填空项 1:_13.设 y=x+ex，则 y_（分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15. （分数：4.00）填空项 1:_16.设 z=x2y2+3x,则 （分数：4.00）填空项 1:_17.过原点且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_18.设区域 D：0x1，1y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.y=x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_20.级数 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.y=xlnx的极值与极值点（分数：8.00）_22.设 y=y(x)由 （分数：8.00）_23
4、.计算 （分数：8.00）_24.设 z=z(x，y)由 x2+2y2+3z2+yz=1确定，求 （分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.求 （分数：10.00）_27.证明：当 （分数：10.00）_28.求 y“+2y+y=2ex的通解（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-35 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. 等于( ) A0 B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为“有界变量与无穷小的乘积为无穷小”的性质当 x时，*为无穷小，而 sin2mx为有界变量，因此*若将条件
5、换为 x0，则*若将条件换为 x1，则*这表明计算时应该注意问题中的所给条件2.设函数 f(x)在点 x0处连续，则下列结论肯定正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系由函数连续性的定义：若在 x0处 f(x)连续，则*可知选项 D正确，C 不正确由于连续性并不能保证 f(x)的可导性，可知 A不正确自于连续必定能保证极限*等于 f(x0)，而 f(x0)不一定等于 0，B 不正确故知应选 D3.函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )o A(-5，5)o B(-，0)o C(0，+)o D(-，+)（分数：4.
6、00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为判定函数的单调性y=ln(1+x2)的定义域为(-，+)*当 xO 时，y0，y 为单调增加函数当 x0 时，y0，y 为单调减少函数可知函数 y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+)，故应选 C4.设曲线 y=x-ex在点(0，-1)处与直线 l相切，则直线 l的斜率为( )o Ao B1o C0o D-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为导数的几何意义由于 y=x-ex，y=1-e x，y| x=0=0由导数的几何意义可知，曲线 y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为 0，因此选 C5.设函数 z=y3x，则
7、 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为偏导数的计算z=y3x是关于 y的幂函数，因此*故应选 D6.设 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为可变限积分求导由于当 f(x)连续时，*，可知应选 C7.下列关系正确的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为不定积分的性质由不定积分的性质可知*，故选 B8.已知 y=ksin2x的一个原函数为 y=cos2x，则 k等于( )o A2o B1o C-1o D-2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为可变限积分求导由原函数的定义可知
8、(cos2x)=ksin2x，而(cos2x)=(-sin2x)2，可知 k=-29.级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念注意*为 p=2的 p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知*收敛，故*绝对收敛，应选A10.设函数 f(x)在 x=1处可导，且 ，则 f(1)等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为可导性的定义当 f(x)在 x=1处可导时，由导数定义可得*可知 f(1)=*，故应选 B二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：
9、解题指导 本题考查的知识点为重要极限公式*12.设 f(x)在 x=1处连续， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解题指导 本题考查的知识点为：连续性与极限的关系；左极限、右极限与极限的关系由于 f(x)在 x=1处连续，可知*必定存在，由于*，可知*=*13.设 y=x+ex，则 y_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1+e x）解析：解题指导 本题考查的知识点为导数的四则运算y=(x+ex)=x+(ex)=1+ex14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解题指导 本题考查的知识点为极限运算由于所给极限为“*”型极限，由极限四则运算法
10、则有*15. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln(1+x)+C）解析：解题指导 本题考查的知识点为换元积分法*16.设 z=x2y2+3x,则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2xy(x+y)+3）解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的偏导数由于 z=x2y2+3x，可知*因此*17.过原点且与直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2x+y-3z=0）解析：解题指导 本题考查的知识点为平面方程和平面与直线的关系由于已知直线与所求平面垂直，可知所给直线的方向向量 s平行于所求平面的法向量 n由于s=(2，1，-3)，因此可取 n=(2，1，-3)
11、由于平面过原点，由平面的点法式方程，可知所求平面方程为2x+y-3z=018.设区域 D：0x1，1y2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解题指导 本题考查的知识点为二重积分的计算*如果利用二重积分的几何意义，可知*的值等于区域 D的面积由于 D是长、宽都为 1的正形，可知其面积为 1因此*19.y=x的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程由于 y=x，可知 *20.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径所给级数为缺项
12、情形，由于*可知当*时，即 x23 时级数绝对收敛，因此级数的收敛半径为*三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.y=xlnx的极值与极值点（分数：8.00）_正确答案：(y=xlnx 的定义域为 x0y=1+lnx令 y=0得驻点 x1=e-1当 0xe -1时，y0；当 e-1x 时，y0可知 x=e-1为 y=xlnx的极小值点极小值为*)解析：22.设 y=y(x)由 （分数：8.00）_正确答案：(将*两端关于 x的求导,*可得*故*)解析：解题指导 本题考查的知识点为可变上限积分求导和隐函数的求导求解的关键是将所给方程认作 y为 x的隐函数，在对可变上限积分求导数时，将其上
13、限 y认作为x的函数23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：24.设 z=z(x，y)由 x2+2y2+3z2+yz=1确定，求 （分数：8.00）_正确答案：(*故 *)解析：25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：26.求 （分数：10.00）_正确答案：(由*可解得两组解*)解析：27.证明：当 （分数：10.00）_正确答案：(令 f(x)=sinx+tanx-2x，则当*时，*因此当*时 f(x)0，可知 f(x)为单调增加函数由于 f(x)在 x=0处连续，因此当 0x*时，*即 sinx+tanx-2x0)解析：28.求 y“+2y+y=2ex的通解（分数：10.00）_正确答案：(相应微分方程的齐次微分方程为 y“+2y+y=0其特征方程为 r2+2r+1=0；特征根为 r=-1(二重实根)；齐次方程的通解为 Y=(C 1+C2x)e-x，设*为 y“+2y+y=2ex的特解，此时 f1(x)=2ex，=1 不为特征根，设*，代入上述方程，可定出*故*为所求通解)解析：
