1、专升本高等数学(一)-31 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 z=ysinx，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=2-x，则 y等于( ) A2 -xx B-2 -x C2 -xln2 D-2 -xln2（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在点 x0处连续，则下面命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲
2、线 y=f(x)的所有切线中( ) A至少有一条平行于 x轴 B至少有一条平行于 y轴 C没有一条平行于 x轴 D可能有一条平行于 y轴（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)为连续函数，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.方程 y“-3y+2y=xe2x的待定特解 y*应取( ) AAxe 2x B(Ax+B)e 2x CAx 2e2x Dx(Ax+B)e 2x（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)为连续的奇函数，则 等于( ) A2af(x) B （分数：4.00）A.B.C.D.9.若 收敛，则下面命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.
3、10. （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=f(x)在点 x=0处可导，且 x=0为 f(x)的极值点，则 f(0)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.cosx为 f(x)的一个原函数，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_15.设 （分数：4.00）填空项 1:_16.微分方程 y=0的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_17.设 z=ln(x2+y)，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_18.过 M0(1，-1
4、，2)且垂直于平面 2x-y+3z-1=0的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_19.级数 （分数：4.00）填空项 1:_20. （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=x2+sinx，求 y（分数：8.00）_22.求曲线 （分数：8.00）_23.计算不定积分 （分数：8.00）_24.设 z=z(x，y)由 x2+y3+2z=1确定，求 （分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.求微分方程 y“-y-2y=3ex的通解（分数：10.00）_27.设 f(x)为连续函数，且 （分数：10.00）_28.设 F(x)为
5、 f(x)的一个原函数，且 f(x)=xlnx，求 F(x)（分数：10.00）_专升本高等数学(一)-31 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设 z=ysinx，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为高阶偏导数由于 z=ysinx，因此*可知应选 C2.设 y=2-x，则 y等于( ) A2 -xx B-2 -x C2 -xln2 D-2 -xln2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则由于 y=2 -xY=2-xln2(-x)=-2-xln2考生易错误选
6、 C，这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的!因此考生应熟记：若 y=f(u)，u=u(x)，则*不要丢项3.设 f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为：若 f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用注意到 A左端为定积分，定积分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零因此 A不正确由可变上限积分求导公式可知 B正确C、D 都不正确4.设 f(x)在点 x0处连续，则下面命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系连续性的定义包含
7、三个要素：若 f(x)在点 x0处连续，则(1)f(x)在点 x0处必定有定义；(2)*必定存在；(3)*由此可知所给命题 C正确，A，B 不正确注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题 D不正确故知，应选 C本题常见的错误是选 D这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系若 f(x)在点 x0处可导，则 f(x)在点 x0处必定连续但是其逆命题不成立5.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线 y=f(x)的所有切线中( ) A至少有一条平行于 x轴 B至少有一条平行于 y轴 C没有一条平行于 x轴 D可能有一条平行于
8、y轴（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义由题设条件可知 f(x)在0，1上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点 (0，1)，使 f()=0这表明曲线 y=f(x)在点(，f()处的切线必定平行于 x轴，可知 A正确，C 不正确如果曲线 y=f(x)在点(，f()处的切线平行于 y轴，其中 (0，1)，这条切线的斜率为，这表明f()=为无穷大，此时说明 f(x)在点 x= 不可导因此可知 B，D 都不正确本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选 A有些考生选 B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错
9、误6.设 f(x)为连续函数，则 等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为定积分的换元积分法、牛-莱公式解法 1 利用定积分的换元积分法令 t=2x，则 dt=2dx，*可知应选 B解法 2 利用凑微分法*可知应选 B7.方程 y“-3y+2y=xe2x的待定特解 y*应取( ) AAxe 2x B(Ax+B)e 2x CAx 2e2x Dx(Ax+B)e 2x（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解 y*的取法：若自由项 f(x)=Pn(x)ex ，当 不为特征根时，可设特解为y*=Qn(x)ex ，Qn(x)
10、为 x的待定 n次多项式当 为单特征根时，可设特解为y*=xQn(x)ex ，当 为二重特征根时，可设特解为y*=x2Qn(x)ex 所给方程对应齐次方程的特征方程为r2-3r+2=0特征根为 r1=1，r 2=2自由项 f(x)=xe2x，相当于 =2 为单特征根又因为 Pn(x)为一次式，因此应选 D8.设 f(x)为连续的奇函数，则 等于( ) A2af(x) B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为定积分的对称性由定积分的对称性质可知：若 f(x)为-a，a上的连续的奇函数，则*可知应选 C9.若 收敛，则下面命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.
11、 解析：本题考查的知识点为级数的基本性质由级数收敛的必要条件：若*收敛，则必有*，可知 D正确而 A，B，C 都不正确本题常有考生选取 C，这是由于考生将级数收敛的定义*存在，其中*误认作是 un，这属于概念不清楚而导致的错误10. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为重要极限公式或等价无穷小代换解法 1 由*可知*解法 2 当 x0 时，sinxx，sinmxmx，因此*二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解题指导 本题考查的知识点为函数连续性的概念由连续性的定义可知，若 F(x)
12、在点 x=0连续，则必有*，由题设可知*12.设 y=f(x)在点 x=0处可导，且 x=0为 f(x)的极值点，则 f(0)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解题指导 本题考查的知识点为极值的必要条件由于 y=f(x)在点 x=0可导，且 x=0为 f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有 f(0)=013.cosx为 f(x)的一个原函数，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-sinx）解析：解题指导 本题考查的知识点为原函数的概念由于 cosx为 f(x)的原函数，可知f(x)=(cosx)=-sinx14.设 （分数：4.00）填空项
13、 1:_ （正确答案：2e 2x）解析：解题指导 本题考查的知识点为可变上限积分求导由于 f(x)为连续函数，因此可对所给表达式两端关于 x求导*15.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为广义积分的计算广义积分*应依定义计算：若*存在，则称广义积分*收敛，且若*不存在，则称广义积分*发散由于*由题设有*，可知 *16.微分方程 y=0的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1）解析：解题指导 本题考查的知识点为微分方程通解的概念微分方程为 y=0dy=0 y=C17.设 z=ln(x2+y)，则 dz=_（分数：4.0
14、0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为求二元函数的全微分通常求二元函数的全微分的思路为：先求出*如果两个偏导数为连续函数，则可得知*由题设 z=ln(x2+y)，令 u=x2+y，可得*当 X2+y0 时，*为连续函数，因此有*18.过 M0(1，-1，2)且垂直于平面 2x-y+3z-1=0的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为直线方程的求解由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量 s可取为已知平面的法向量 n=(2，-1，3)由直线的点向式方程可知所求直线方程为*19.级数 （分数：4.00）填空
15、项 1:_ （正确答案：(-1，1)）解析：解题指导 本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间所给级数为不缺项情形*可知收敛半径*，因此收敛区间为(-1，1)注：考试大纲中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点本题一些考生填 1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误20. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解题指导 本题考查的知识点为二重积分的几何意义由二重积分的几何意义可知，所给二重积分的值等于长为 1，宽为 2的矩形的面积值，故为2或由二重积分计算可知*三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=x2+sinx，求 y（分数：8
16、.00）_正确答案：(由导数的四则运算法则可知y=(x+sinx)=x+(sinx)=1+cosx)解析：22.求曲线 （分数：8.00）_正确答案：(由于*可知 y=0为所给曲线的水平渐近线由于 *，可知 x=2为所给曲线的铅直渐近线)解析：解题指导 本题考查的知识点为求曲线的渐近线注意渐近线的定义，只需分别研究水平渐近线与铅直渐近线：若*，则直线 y=c为曲线 y=f(x)的水平渐近线；若*，则直线 x=x0为曲线 y=f(x)的铅直渐近线有些特殊情形还需研究单边极限本题中考生出现的较多的错误是忘掉了铅直渐近线23.计算不定积分 （分数：8.00）_正确答案：(解：*)解析：解题指导 本题
17、考查的知识点为不定积分运算只需将被积函数进行恒等变形，使之成为标准积分公式形式的函数或易于利用变量替换求积分的函数24.设 z=z(x，y)由 x2+y3+2z=1确定，求 （分数：8.00）_正确答案：(解法 1 将所给方程两端关于 x求偏导数，可得*可解得*将所给方程两端关于 y求偏导数，可得*可解得*解法 2 令 F(x，y，z)=x 2+y3+2z-1，则*因此*)解析：解题指导 本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数若 z=z(x，y)由方程 F(x，y，z)=0 确定，求 z对 x，y 的偏导数通常有两种方法：一是利用偏导数公式，当*需注意 Fx，F yFz分别表示 F(x，y，z
18、)对 x，y，z 的偏导数上面式 F(z，y，z)中将 z，y，z 三者同等对待，各看做是独立变元二是将 F(x，y，z)=0 两端关于 x求偏导数，将 z=z(x，y)看作为中间变量，可以解出*同理将F(x，y，z)=0 两端关于 y求偏导数，将 z=z(x，y)看作中间变量，可以解出*25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(积分区域 D如图 2-1所示*解法 1 利用极坐标系D可以表示为：*解法 2 利用直角坐标系D可以表示为：*)解析：解题指导 本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算积分区域 D满足 x2+y21，x0，y0利用极坐标计算*时，注意 D可以表示为
19、 0*，0r1因此*如果利用直角坐标计算，区域 D的边界曲线关于 x，y 地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点注意*可以看出，两种积分次序下的二次积分都可以进行计算，但是若先对 x积分，后对 y积分，将简便些本题中考生出现的较普遍的错误为，利用极坐标将二重积分化为二次积分：*右端被积函数中丢掉了 r，这是考生应该注意的问题通常若区域可以表示为0，r 1()rr 2()，*26.求微分方程 y“-y-2y=3ex的通解（分数：10.00）_正确答案：(相应的齐次微分方程为y“-y-2y=0其特征方程为 r 2-r-2=0其特征根为 r 1=-1，r 2=2齐次方程的通解为 Y=C
20、1e-x+C2e2x由于 f(x)=3ex，1 不是其特征根，设非齐次方程的特解为y*=Aex代入原方程可得*原方程的通解为*)解析：解题指导 本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解 y=相应齐次方程的通解 Y+非齐次方程的一个特解 y*其中 Y可以通过求解特征方程得特征根而求出而 yq*可以利用待定系数法求解27.设 f(x)为连续函数，且 （分数：10.00）_正确答案：(设*，则f(x)=x3+3Ax将上式两端在0，1上积分，得*因此*)解析：解题指导 本题考查的知识点为两个：定积分表示一个确定的数值；计算定积分由于定积分*存在，因此它表示一个确定的数值，设*，则f(x)=x3+3Ax这是解题的关键!为了能求出 A，可考虑将左端也转化为 A的表达式，为此将上式两端在0，1上取定积分，可得*得出 A的方程，可解出 A，从而求得 f(x)本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示一个数值”的性质这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中28.设 F(x)为 f(x)的一个原函数，且 f(x)=xlnx，求 F(x)（分数：10.00）_正确答案：(由题设可得知*)解析：解题指导 本题考查的知识点为两个：原函数的概念和分部积分法
