1、专升本高等数学(一)-29 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.微分方程 y“-y=0 的通解为( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)=x3+x，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(0)=0，且 存在，则 等于( ) Af(x) Bf(0) Cf(0) D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设平面 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)在点 x0的某邻域内存在，且 f(x0)为 f(x)的极大值，则 （分数：4.00）A.B.C.
2、D.7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.曲线 y=lnx-2 在点(e，-1)的切线方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D.9.当 x0 时，3x 2+2x3是 3x2的( )o A高阶无穷小o B低阶无穷小o C同阶无穷小但不是等价无穷小o D等价无穷小（分数：4.00）A.B.C.D.10.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 y=sinx2，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_13.y=ln(1+x2)的单调增加区间为_（分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4
3、.00）填空项 1:_15.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_16. （分数：4.00）填空项 1:_17.设 （分数：4.00）填空项 1:_18.已知平面 ：2x+y-3z+2=0，则过点(0，0，0)且与 垂直的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_19.设 z=tan(xy-x2)，则 （分数：4.00）填空项 1:_20.微分方程 y“+y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=3x+lnx，求 y（分数：8.00）_22.计算 （分数：8.00）_23.求 z=x2+y2在条件 x+y=1 下的条件极值（
4、分数：8.00）_24.求 y“-2y+y=0 的通解（分数：8.00）_25.计算 （分数：8.00）_26.计算 （分数：10.00）_27.在曲线 上求一点 M(x，y)，使图 9-1 中阴影部分面积 S1，S 2之和 S1+S2最小（分数：10.00）_28.证明： （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-29 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.微分方程 y“-y=0 的通解为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解微分方程为 y“-y=0特征方程为 r 2-r=
5、0特征根为 r 1=1，r 2=O方程的通解为 y=C 1ex+c2可知应选 B2.设 f(x)=x3+x，则 等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为定积分的对称性质由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数 f(x)=x3+x 为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知*可知应选 A3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为可变上限的积分由于*，从而知*可知应选 B4.设 f(0)=0，且 存在，则 等于( ) Af(x) Bf(0) Cf(0) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为导数的定义由于*存在，因此
6、*可知应选 B5.设平面 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为两平面的位置关系由于平面 1， 2的法向量分别为*可知 n1n 2，从而 1 2应选 C6.设 f(x)在点 x0的某邻域内存在，且 f(x0)为 f(x)的极大值，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为极值的必要条件；在一点导数的定义由于 f(x0)为 f(x)的极大值，且 f(x0)存在，由极值的必要条件可知 f(x0)=0从而*可知应选 C7.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为函数连续性的概念由于 y 为分段函数，x=1 为其分段点在 x=1 的两
7、侧 f(x)的表达式不同因此讨论 y=f(x)在 x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念由于*当 x=1 为 y=f(x)的连续点时，应有*存在，从而有*，即a+1=2可得：a=1，因此选 C8.曲线 y=lnx-2 在点(e，-1)的切线方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为导数的几何意义与切线方程由于 y=lnx-2，*从而*曲线过点(e，-1)的切线方程为*因此*可知应选 D9.当 x0 时，3x 2+2x3是 3x2的( )o A高阶无穷小o B低阶无穷小o C同阶无穷小但不是等价无穷小o D等价无穷小（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本
8、题考查的知识点为无穷小阶的比较由于*，可知点 x0 时 3x2+2x3与 3x2为等价无穷小，故应选 D10.级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛由于*的 p 级数，可知为收敛级数可知*收敛，所给级数*绝对收敛，故应选 A二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为连续性与极限的关系由于*为初等函数，定义域为(-，0)，(0，+)，点 x=2 为其定义区间(0，+)内的点，从而知*12.设 y=sinx2，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_
9、 （正确答案：2xcosx 2dx）解析：解题指导 本题考查的知识点为一元函数的微分由于 y=sinx2，y=cosx 2(x2)=2xcosx2，故 dy=ydx=2xcosx2dx13.y=ln(1+x2)的单调增加区间为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，+)）解析：解题指导 本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性由于 y=ln(1+x2)，其定义域为(-，+)又由于*，令 y=0 得唯一驻点 x=0当 x0 时，总有 y0，从而 y 单调增加可知 y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+)14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题
10、指导 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法*15.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln(1+x)）解析：解题指导 本题考查的知识点为可变上限积分求导*则 *16. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为极限运算由于 *17.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k1）解析：解题指导 本题考查的知识点为广义积分的收敛性由于*存在，可知 k118.已知平面 ：2x+y-3z+2=0，则过点(0，0，0)且与 垂直的直线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为直线的方
11、程和平面与直线的关系由于直线与已知平面垂直，可知直线的方向向量 s 与平面的法向量 n 平行可以取s=n=(2，1，-3)，又已知直线过点(0，0，0)，由直线的标准式方程可知*为所求19.设 z=tan(xy-x2)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的偏导数z=tan(xy-x2)，则 *20.微分方程 y“+y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1cosx+C2sinx）解析：解题指导 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解特征方程为 r2+1=0，特征根为 r=i，因此所给微分方
12、程的通解为 y=C1cosx+C2sinx三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 y=3x+lnx，求 y（分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解题指导 本题考查的知识点为导数运算22.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解题指导 本题考查的知识点为不定积分的运算需指出，由于*不是标准公式的形式，可以利用凑微分法求解23.求 z=x2+y2在条件 x+y=1 下的条件极值（分数：8.00）_正确答案：(构造拉格朗日函数*可解得唯一组解 *所给问题可以解释为在直线 x+y=1 上求到原点的距离平方最大或最小的点由于实际上只能存在距离平方的最小值，不存在最大值，因此*为
13、所给问题的极小值点极小值为*)解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的条件极值通常的求解方法是引入拉格朗日函数，当求出可能极值点之后，往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是否为极值点24.求 y“-2y+y=0 的通解（分数：8.00）_正确答案：(特征方程为r2-2r+1=0特征根为 r=1(二重根)方程的通解为y=(c1+c2x)ex)解析：解题指导 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程解的结构25.计算 （分数：8.00）_正确答案：(令 u=lnx，v=1，则*)解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分的分部积分法26.计算 （分数：10.00）_正确答案：(利用极坐
14、标计算，*)解析：27.在曲线 上求一点 M(x，y)，使图 9-1 中阴影部分面积 S1，S 2之和 S1+S2最小（分数：10.00）_正确答案：(如图 9-2，M(x，y)=M(x，sinx)，*则 *令 s=0 得驻点*(舍掉)可知*为极小值点此时 S=S1+s2最小因此*点)解析：28.证明： （分数：10.00）_正确答案：(证 令*，则 f(x)为0，1上的连续函数由于 *可知 f(x)在0，1的两个端点异号因此由闭区间上连续函数的零点定理可知至少存在一点(O，1)，使f()=0又在(0，1)内 *可知 f(x)在(0，1)内单调增加，因此知 f(x)在(0，1)内至多有一个零点综上可知，*在(0，1)内有唯一的实根)解析：解题指导 本题考查的知识点为闭区间上连续函数的零点定理；利用导数符号判定函数的单调性证明方程 f(x)=0 在区间(a，b)内有唯一实根，往往分两步考虑：(1)根的存在性：常利用连续函数在闭区间上的零点定理证明(2)根的唯一性：常利用导数符号判定函数在给定的区间单调增加或减少
