1、专升本高等数学(一)-19 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设有直线当直线 l1与 l2平行时， 等于( ) A1 B0 C （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内( )o A单调增加且为凹o B单调增加且为凸o C单调减少且为凹o D单调减少且为凸（分数：4.00）A.B.C.D.3.下列命题中正确的有( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)=arcsinx，则 f(x)等于( )（分数：4.00）
2、A.B.C.D.5. 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 x=1 为 y=x3-ax 的极小值点，则 a 等于( )o A3o Bo C1o D （分数：4.00）A.B.C.D.7.函数 y=x2-x+1 在区间-1，3上满足拉格朗日中值定理的 等于( ) A B0 C （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)的一个原函数为 x2，则 f(x)等于( ) A （分数：4.00）A.B.C.D.9.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的( ) A较高阶的无穷小 B等价无穷小 C同阶但不等价无穷小 D较低阶的无穷小（分数：4.00）A.B.C.D.10.函数 （分
3、数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14. （分数：4.00）填空项 1:_15.设 y=y(x)由方程 x2+xy2+2y=1 确定，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_16.微分方程 y“=y 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_17.二元函数 z=x2+y2+1 的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_18.二元函数 z=xy2+arcsiny2，则 （分数：4.00）填空项 1:_19.设区域 D 为 y=x2，
4、x=y 2围成的在第一象限内的区域，则（分数：4.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：8.00）_22.设 y=x+arctanx，求 y（分数：8.00）_23.计算 （分数：8.00）_24.计算 （分数：8.00）_25.求 y“+4y+4y=e-x的通解（分数：8.00）_26.求sinxdx（分数：10.00）_27.计算 （分数：10.00）_28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积（分数：10.00）_专升
5、本高等数学(一)-19 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设有直线当直线 l1与 l2平行时， 等于( ) A1 B0 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为直线问的关系直线*其方向向量*l1l 2，则*从而*，可知应选 C2.函数 y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，则曲线 y=f(x)在(a，b)内( )o A单调增加且为凹o B单调增加且为凸o C单调减少且为凹o D单调减少且为凸（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单
6、调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性由于在(a，b)内 f(x)0，可知 f(x)在(a，b)内单调增加，又由于 f“(x)0，可知曲线 y=f(x)在(a，b)内为凹，可知应选 B3.下列命题中正确的有( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查的知识点为级数的性质由级数的性质：若*收敛，则*必定收敛利用反证法可知，若*收敛，*发散，则*必定发散可知应选 B通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用4.设函数 f(x)=arcsinx，则 f(x)等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为基本导数公式*可知应选 C5. 等于( )（分数：4.00）A
7、.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法*因此选 D6.设 x=1 为 y=x3-ax 的极小值点，则 a 等于( )o A3o Bo C1o D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查的知识点为判定极值的必要条件由于 y=x3-ax，y=3x 2-a，令 y=0，可得*由于 x=1 为 y 的极小值点，因此 y|x=1=0，从而知*故应选 A7.函数 y=x2-x+1 在区间-1，3上满足拉格朗日中值定理的 等于( ) A B0 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论由于 y=x2-x+1 在
8、-1，3上连续，在(-1，3)内可导，可知 y 在-1，3上满足拉格朗日中值定理，又由于 y=2x-1，因此必定存在 (-1，3)，使*可知应选 D8.设 f(x)的一个原函数为 x2，则 f(x)等于( ) A （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查的知识点为原函数的概念由于 x2为 f(x)的原函数，因此f(x)=(x2)=2x，因此f(x)=2可知应选 D9.当 x0 时，x 2是 x-ln(1+x)的( ) A较高阶的无穷小 B等价无穷小 C同阶但不等价无穷小 D较低阶的无穷小（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较由于 *可知当 x0 时
9、，x 2与 x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小故应选 C10.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系由于 *可知*从而*，应选 C二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：解题指导 本题考查的知识点为极限的运算注意：*可以变形，化为*形式的极限但所给极限通常可以先变形：*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解题指导 本题考查的知识点为导数的计算*13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-arctanx+C）解析：解题指导 本题考
10、查的知识点为不定积分的运算*14. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：了 1+ili*）解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分运算*15.设 y=y(x)由方程 x2+xy2+2y=1 确定，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为一元隐函数的微分解法 1 将所给表达式两端关于 x 求导，可得*从而*解法 2 *16.微分方程 y“=y 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1e-x+C2ex）解析：解题指导 本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解将方程变形，化为 y“-y=0，特征方程
11、为 r 2-1=0；特征根为 r 1=-1，r 2=1因此方程的通解为 y=C 1e-x+C2ex17.二元函数 z=x2+y2+1 的极小值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的极值*可知点(0，0)为 z 的极小值点，极小值为 118.二元函数 z=xy2+arcsiny2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2）解析：解题指导 本题考查的知识点为二元函数的偏导数只需将 y，arcsiny 2认作为常数，则*19.设区域 D 为 y=x2，x=y 2围成的在第一象限内的区域，则（分数：4.00）填空项 1:_ （
12、正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为二重积分的计算*20.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解题指导 本题考查的知识点为幂级数的收敛半径所给级数为缺项情形，*可知当*，即*时所给级数绝对收敛，因此收敛半径为*三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.求 （分数：8.00）_正确答案：(解法 1 *解法 2 *)解析：解题指导 本题考查的知识点为极限运算在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题应引起注意22.设 y=x+arctanx，求 y（分数：8.00）_正确答案：(*)解析：23.计算 （分数：8.00）_正确答案：(设*，则 x=
13、t2-1，dx=2tdt当 x=0 时，t=1；当 x=3 时，t=2则*)解析：解题指导 本题考查的知识点为定积分的换元积分法比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化24.计算 （分数：8.00）_正确答案：(*)解析：解题指导 本题考查的知识点为计算广义积分计算广义积分应依广义积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算即*25.求 y“+4y+4y=e-x的通解（分数：8.00）_正确答案：(相应的齐次方程为 y“+4y+4y=0，特征方程为 r 2+4r+4=0，即(r+2) 2=0特征根为 r=-2(二重根)齐次方程的通解 Y=(C 1+C2x)e-2x设所给
14、方程的特解 y*=Ae-x，代入所给方程可得 A=1，从而 y*=e-x故原方程的通解为 y=(C 1+C2x)e-2x+e-x)解析：26.求sinxdx（分数：10.00）_正确答案：(设 u=x，v=sinx，则 u=1，v=-cosx，*)解析：27.计算 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：解题指导 本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序由于*不能用初等函数形式表示，因此不能先对 y 积分，只能选取先对 x 积分后对 y 积分的次序通常*都不能由初等函数形式表示，即不可积分，考生应该记住这两个常见的形式28.求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积（分数：10.00）_正确答案：(所给曲线围成的图形如图 8-1 所示*)解析：
