1、专升本高等数学(一)-151 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:40.00)1.当 x0 时,无穷小 x+sinx 是比 x_(分数:4.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小2.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内可导,且 f(x 0 )为 f(x)的一个极小值,则 (分数:4.00)A.-2B.0C.1D.23.设函数 f(x)=e -x2 ,则 f(x)等于_(分数:4.00)A.-2e-x2B.2e-x2C.-2xe-x2D.2xe-x24.函数 y=x-arctanx 在(-,+)内_(分数:4.
2、00)A.单调增加B.单调减少C.不单调D.不连续5.设f(x)dx=e x +C,则xf(1-x 2 )dx 为_ Axe 1-x2 +C B C D (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 (分数:4.00)A.tanx2B.tanxC.sec2x2D.2xtanx27.下列反常积分收敛的_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.8.级数 (分数:4.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性9.方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是_(分数:4.00)A.椭球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物面10. (分数:4.00)A.有水平渐近线,无铅直渐近
3、线B.无水平渐近线,有铅直渐近线C.既有水平渐近线,又有铅直渐近线D.既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、填空题(总题数:10,分数:40.00)11.设 (分数:4.00)12. (分数:4.00)13.设 y=2 2arccosx ,则 dy= 1 (分数:4.00)14.设 (分数:4.00)15.幂级数 (分数:4.00)16.过点 P(4,1,-1),且与点 P 和原点的连线垂直的平面方程为 1 (分数:4.00)17. (分数:4.00)18. (分数:4.00)19.将 (分数:4.00)20.方程 y+y+y=0 的通解为 1 (分数:4.00)三、解答题(总题数:8,分数:70
4、.00)21.设 y=y(x)是由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数,求 dy (分数:8.00)_22.已知曲线 y=ax 4 +bx 3 +x 2 +3 在点(1,6)处与直线 y=11x-5 相切,求 a,b (分数:8.00)_23.设xf(x)dx=arcsinx+C,求 (分数:8.00)_24. (分数:8.00)_25.求方程 y=e 3x-2y 满足初始条件 (分数:8.00)_26.设 z=e x(x2+y2) ,求 dz (分数:10.00)_27.求 (分数:10.00)_28.一艘轮船以 20 海里/小时的速度向东行驶,同一时间另一艘轮船在其正北 8
5、2 海里处以 16 海里/小时的速度向南行驶,问经过多少时间后,两船相距最近? (分数:10.00)_专升本高等数学(一)-151 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:40.00)1.当 x0 时,无穷小 x+sinx 是比 x_(分数:4.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小解析:考点 本题考查了无穷小量阶的比较的知识点 解析 2.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内可导,且 f(x 0 )为 f(x)的一个极小值,则 (分数:4.00)A.-2B.0 C.1D.2解析:考点 本题考查了函数的极值的知识点
6、 解析 因 f(x)在 x=x 0 处取得极值,且可导,于是 f(x 0 )=0又 3.设函数 f(x)=e -x2 ,则 f(x)等于_(分数:4.00)A.-2e-x2B.2e-x2C.-2xe-x2 D.2xe-x2解析:考点 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点 解析 因 f(x)=e -x2 ,则 f(x)=e -x2 (-2x)=-2xe -x2 4.函数 y=x-arctanx 在(-,+)内_(分数:4.00)A.单调增加 B.单调减少C.不单调D.不连续解析:考点 本题考查了函数的单调性的知识点 解析 因 y=x-arctanx,则 5.设f(x)dx=e x +C,则xf(
7、1-x 2 )dx 为_ Axe 1-x2 +C B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 本题考查了换元积分法求不定积分的知识点 解析 另解:将f(x)dx=e x +C 两边对 x 求导得 f(x)=e x , 6.设 (分数:4.00)A.tanx2B.tanxC.sec2x2D.2xtanx2 解析:考点 本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点 解析 因 7.下列反常积分收敛的_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 本题考查了反常积分的敛散性的知识点 解析 由 当 p1 时发散,p1 时收敛,可知应选 D 注:本题容易看出 A 选项发
8、散而 B 选项 中 相当于 ,故此积分发散对于 C 选项,由 8.级数 (分数:4.00)A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.无法确定敛散性解析:考点 本题考查了 p 级数的敛散性的知识点 解析 级数的通项为 ,此级数为 p 级数又因 9.方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是_(分数:4.00)A.椭球面B.圆柱面C.圆锥面D.旋转抛物面 解析:考点 本题考查了二次曲面(圆柱面)的知识点 解析 由方程特征知,方程 x 2 +y 2 =R 2 表示的二次曲面是圆柱面10. (分数:4.00)A.有水平渐近线,无铅直渐近线B.无水平渐近线,有铅直渐近线C.既有水平渐近线,又有铅直渐
9、近线 D.既无水平渐近线,也无铅直渐近线解析:考点 本题考查了曲线的渐近线的知识点 解析 对于曲线 ,因 ,故有水平渐近线 y=1;又 二、填空题(总题数:10,分数:40.00)11.设 (分数:4.00)解析:1 考点 本题考查了函数的连续性的知识点 解析 12. (分数:4.00)解析:e 6 考点 本题考查了 的应用的知识点 解析 13.设 y=2 2arccosx ,则 dy= 1 (分数:4.00)解析: 考点 本题考查了一元函数的微分的知识点 解析 由 y=2 2arccosx ,则 14.设 (分数:4.00)解析: 考点 本题考查了二元函数在一点处的一阶导数的知识点 解析 令
10、 x=1,y=1, 注:本题也可将 x=1 代入 f 中得 15.幂级数 (分数:4.00)解析:+ 考点 本题考查了幂级数的收敛半径的知识点 解析 16.过点 P(4,1,-1),且与点 P 和原点的连线垂直的平面方程为 1 (分数:4.00)解析:4x+y-z-18=0 考点 本题考查了平面方程的知识点 解析 由点 P 与原点的连线和平面垂直,因此 就是平面的法线向量, 所以 17. (分数:4.00)解析: 考点 本题考查了二元函数的混合偏导的知识点 解析 由 ,得 , 故 18. (分数:4.00)解析:1 考点 本题考查了定积分的知识点 解析 19.将 (分数:4.00)解析: 考点
11、 本题考查了交换积分次序的知识点 解析 从原积分可看出积分区域 D=(x,y)|0x2,xy4-x,则 20.方程 y+y+y=0 的通解为 1 (分数:4.00)解析: 考点 本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点 解析 由方程知它的特征方程为 r 2 +r+1=0,所以 因此通解为 三、解答题(总题数:8,分数:70.00)21.设 y=y(x)是由方程 2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数,求 dy (分数:8.00)_正确答案:()解析:方程两边对 x 求导有(注意 y 是 x 的函数), 注:本题还可用一阶微分的形式不变性解为 所以3+ln(x-y)dy=2+ln(x-
12、y)dx, 因此 22.已知曲线 y=ax 4 +bx 3 +x 2 +3 在点(1,6)处与直线 y=11x-5 相切,求 a,b (分数:8.00)_正确答案:()解析:曲线过点(1,6),即点(1,6)满足曲线方程, 所以 6=a+b+4, (1) 再 y=4ax 3 +3bx 2 +2x,且曲线在点(1,6)处与 y=11x-5 相切, 所以 23.设xf(x)dx=arcsinx+C,求 (分数:8.00)_正确答案:()解析:原式两边对 x 求导,得 注:积分的结果应回到原变量 x 上,令 x=sint, 所以 24. (分数:8.00)_正确答案:()解析:令 ,则 x=t 2
13、-1,dx=2tdt, 25.求方程 y=e 3x-2y 满足初始条件 (分数:8.00)_正确答案:()解析:原题可改写为 ,即 e 2y dy=e 3x dx, 两边积分得 代入初始条件 所以 ,故所求特解为 26.设 z=e x(x2+y2) ,求 dz (分数:10.00)_正确答案:()解析:由 z=e x(x2+y2) ,则 27.求 (分数:10.00)_正确答案:()解析:积分区域 D 如图所示,据被积函数特点(含 x 2 +y 2 ),及积分区域的特点(扇形),该积分易用极坐标计算 D 可表示为 28.一艘轮船以 20 海里/小时的速度向东行驶,同一时间另一艘轮船在其正北 82 海里处以 16 海里/小时的速度向南行驶,问经过多少时间后,两船相距最近? (分数:10.00)_正确答案:()解析:设经过 t 小时两船相距 S 海里,则