1、专升本高等数学(一)-149 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.函数 （分数：4.00）A.连续且可导B.连续且不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续2. （分数：4.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线3. ，则 a 的值为_ A-1 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.等价无穷小B.f(x)是比 g(x)高阶无穷小C.f(x)是比 g(x)低阶无穷小D.f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小5.已知 ，则 f(x)=_ A B
2、C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.曲线 y=e x 与其过原点的切线及 y 轴所围面积为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)=cosx，则 A1 B0 C （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 y=e x sinx,则 y=_（分数：4.00）A.cosxexB.sinxexC.2ex(cosx-sinx)D.2ex(sinx-cosx)9.若级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不能确定10.，则 f(x)=_ （分数：4.00）A.exln2B.e2x1n2C.ex+ln2D.e2x+ln2二、填空题(总题数：10
3、，分数：40.00)11.函数 （分数：4.00）12.设 f(x)连续， ，则 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1,2的最大值为 2，最小值为-29，又知 a0，则 a，b 的取值为 1 （分数：4.00）15.设曲线 （分数：4.00）16.当 p 1 时，级数 （分数：4.00）17. （分数：4.00）18.幂级数 （分数：4.00）19.方程 y-2y+5y=e x sin2x 的特解可设为 y*= 1 （分数：4.00）20. （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21. （分数：8.00
4、）_22.已知由 （分数：8.00）_23. （分数：8.00）_24.设函数 z(x,y)由方程 所确定， （分数：8.00）_25.求方程(y-x 2 y)y=x 的通解 （分数：8.00）_26.已知 f(x)在a,b上连续且 f(a)=f(b)，在(a,b)内 f(x)存在，连接 A(a,f(a)，B(b,f(b)两点的直线交曲线 y=f(x)于 C(c,f(c)且 acb，试证在(a,b)内至少有一点 使得 f()=0 （分数：10.00）_27.设 （分数：10.00）_28.已知两直线 （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-149 答案解析(总分：150.00，做题时间：9
5、0 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.函数 （分数：4.00）A.连续且可导B.连续且不可导 C.不连续D.不仅可导，导数也连续解析：考点 本题考查了函数在一点处的连续性和可导性的知识点 解析 因为 ，所以函数在 x=0 处连续； 又因 2. （分数：4.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线 解析：考点 本题考查了曲线的渐近线的知识点 解析 因 ，所以 y=1 为水平渐近线 又因 3. ，则 a 的值为_ A-1 B1 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 本题考查了洛必达法则的知识点 解析 因为 x0 时
6、分母极限为 0，只有分子极限也为 0，才有可能使分式极限为 6故 ，解得a=-1， 所以 4.设 （分数：4.00）A.等价无穷小B.f(x)是比 g(x)高阶无穷小C.f(x)是比 g(x)低阶无穷小D.f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小 解析：考点 本题考查了两个无穷小量阶的比较的知识点 解析 5.已知 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 本题考查了已知积分函数求原函数的知识点 解析 因为 ，所以 6.曲线 y=e x 与其过原点的切线及 y 轴所围面积为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 本题考查了曲线
7、围成的面积的知识点 解析 设(x 0 ,y 0 )为切点，则切线方程为 y=e x0 ，联立 得 x 0 =1，y 0 =e，所以切线方程为 y=ex故所求面积为 7.设函数 f(x)=cosx，则 A1 B0 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 本题考查了一元函数在一点处的一阶导数的知识点 解析 f(x)=cosx，f(x)=-sinx， 8.设 y=e x sinx,则 y=_（分数：4.00）A.cosxexB.sinxexC.2ex(cosx-sinx) D.2ex(sinx-cosx)解析：考点 本题考查了莱布尼茨公式的知识点 解析 由莱布尼茨公式，得 (e x si
8、nx)=(e x )sinx+3(e x )(sinx)+3(e x )(sinx)+e x (sinx) =e x sinx+3e x cosx+3e x (-sinx)+e x (-cosx) =2e x (cosx-sinx)9.若级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.不能确定解析：考点 本题考查了级数的绝对收敛的知识点 解析 由题意知，级数收敛半径 R2，则 x=2 在收敛域内部，故其为绝对收敛10.，则 f(x)=_ （分数：4.00）A.exln2B.e2x1n2 C.ex+ln2D.e2x+ln2解析：考点 本题考查了一阶线性齐次方程的知识点 解析 因 f
9、(x)=f(x)2，即 y=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为 r=2，所以其通解为y=Ce 2x ，又当 x=0 时，f(0)=ln2，所以 C=ln2，故，f(x)=e 2x ln2 注：方程 y=2y 求解时也可用变量分离二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.函数 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了函数的单调区间的知识点 解析 令 F(x)=0，得 ，即 ，故当 12.设 f(x)连续， ，则 （分数：4.00）解析：yf(xy)+f(x+y)+yf(x+y) 考点 本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点 解析 13.设 （分数：4.00）解析：0 考点 本
10、题考查了利用极坐标求二重积分的知识点 解析 用极坐标计算 注：本题也可用对称性求出，由于 D 为 x 2 +y 2 a 关于 x 轴对称，且 f(x,y)=x 2 y 关于 y 为奇函数，则 14.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1,2的最大值为 2，最小值为-29，又知 a0，则 a，b 的取值为 1 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了函数的最大、最小值的知识点 解析 f(x)=3ax 2 -12ax，f(x)=0，则 x=0 或 x=4，而 x=4 不在-1,2中，故舍去f(x)=6ax-12a，f(0)=-12a，因为 a0，所以 f(0)0，所以 x=0 是
11、极值点 又因 f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a， 因为 a0，故当 x=0 时，f(x)最大，即 b=2； 当 x=2 时，f(x)最小 所以 b-16a=-29，即 16a=2+29=31， 故 15.设曲线 （分数：4.00）解析：x=-1 考点 本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点 解析 由 不存在， 16.当 p 1 时，级数 （分数：4.00）解析：1 考点 本题考察了利用比较判别法求函的敛散性的知识点 解析 因 ，而 当 p1 时收敛，由比较判别法知 p1 时， 17. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了不定积分的知识
12、点 解析 18.幂级数 （分数：4.00）解析：1 考点 本题考查了不定积分的知识点 解析 19.方程 y-2y+5y=e x sin2x 的特解可设为 y*= 1 （分数：4.00）解析：xe x (Asin2x+Bcos2x) 考点 本题考查了二元常系数微分方程的特解形式的知识点 解析 由特征方程为 r 2 -2r+5=0，得特征根为 12i，而非齐次项为 e x sin2x，因此其特解应设为y*=Axe x sin2x+Bxe x cos2x=xe x (Asin2x+Bcos2x)20. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了反常积分的知识点 解析 三、解答题(总题数：8，分数：7
13、0.00)21. （分数：8.00）_正确答案：()解析：22.已知由 （分数：8.00）_正确答案：()解析：等式两边对 x 求导得，e y2 y=cosx 2 2x+(-siny 2 )2yy， 23. （分数：8.00）_正确答案：()解析： 注：另解如下 24.设函数 z(x,y)由方程 所确定， （分数：8.00）_正确答案：()解析：25.求方程(y-x 2 y)y=x 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：分离变量得 两边积分得 26.已知 f(x)在a,b上连续且 f(a)=f(b)，在(a,b)内 f(x)存在，连接 A(a,f(a)，B(b,f(b)两点的直线交曲
14、线 y=f(x)于 C(c,f(c)且 acb，试证在(a,b)内至少有一点 使得 f()=0 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题意知 f(a)=f(b)=f(c)，在(a,c)内有一点 1 ，使得 f( 1 )=0，在(c,b)内有一点 2 ，使得 f( 2 )=0，这里 a 1 c 2 b，再由罗尔定理，知在( 1 , 2 )内有一点 ，使得f()=027.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 由此积分收敛知，应有 b-a=0，即 b=a， 28.已知两直线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：过 L 1 且平行于 L 2 的平面 的法线 n 应垂直于 L 1 ，L 2 ，
