1、专升本高等数学(一)-148 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. A1 B0 C2 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 y=x 2 +1，则 A Bx 2 C2x D （分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 y=e x +e -x 的单调增加区间是_（分数：4.00）A.(-,+)B.(-,0C.(-1,1)D.0,+)4.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2 +C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.过点(0,2,
2、4)且平行于平面 x+2z=1，y-3z=2 的直线方程为_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 z=ln(x 3 +y 3 )，则 dz| (1,1) =_ Adx+dy B C （分数：4.00）A.B.C.D.7.比较 （分数：4.00）A.I1=I2B.I1I2C.I1I2D.无法比较8.若 发散，则_ A可能有 B一定有 C一定有 D一定有 （分数：4.00）A.B.C.D.9.微分方程 的通解为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.设方程 y-2y-3y=f(x)有特解 Y*，则它的通解为_（分数：4.00）A.y=C1e-x+C2e3x+y
3、*B.y=C1e-x+C2e3xC.y=C1xe-x+C2e3x+y*D.y=C1ex+C2e-3x+y*二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）12.若 （分数：4.00）13.设 y=x 2 e x ，则 y (10) | x=0 = 1 （分数：4.00）14.设函数 f(x)有连续的二阶导数且 f(0)=0，f(0)=1，f(0)=-2，则 （分数：4.00）15.求 （分数：4.00）16. （分数：4.00）17. （分数：4.00）18.设 （分数：4.00）19.若幂级数 的收敛半径为 R，则幂级数 （分数：4.00）20.方程 cosxsinyd
4、x+sinxcosydy=0 的通解为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.确定函数 f(x,y)=3axy-x 3 -y 3 (a0)的极值点 （分数：8.00）_22. （分数：8.00）_23.讨论级数 （分数：8.00）_24. （分数：8.00）_25.证明：e x 1+x(x0) （分数：8.00）_26.设 x0 时 f(x)可导，且满足 （分数：10.00）_27.求方程 y-2y+5y=e x 的通解 （分数：10.00）_28.设 ，求 （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-148 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)
5、一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. A1 B0 C2 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查了利用 求极限的知识点 解析 2.设函数 y=x 2 +1，则 A Bx 2 C2x D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点 解析 y=x 2 +1， 3.函数 y=e x +e -x 的单调增加区间是_（分数：4.00）A.(-,+)B.(-,0C.(-1,1)D.0,+) 解析：考点 本题考查了函数的单调区间的知识点 解析 y=e x +e -x ，则 y=e x -e -x ，当 x0 时，y0所以 y 在区间0
6、,+)上单调递增4.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2 +C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查了换元积分法的知识点 解析 5.过点(0,2,4)且平行于平面 x+2z=1，y-3z=2 的直线方程为_ A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查了直线方程的知识点 解析 两平面的交线方向 即为所求直线的方向，所以所求直线方程为 6.设 z=ln(x 3 +y 3 )，则 dz| (1,1) =_ Adx+dy B C （分数：4.00）A.B.C. D.
7、解析：考点 本题考查了二元函数的全微分的知识点 解析 注：另解如下，由一阶微分形式不变性得 7.比较 （分数：4.00）A.I1=I2B.I1I2C.I1I2 D.无法比较解析：考点 本题考查了二重积分的性质的知识点 解析 因积分区域 D 是以点(2,1)为圆心的一单位圆，且它位于直线 x+y=1 的上方，即在 D 内恒有x+y1，所以(x+y) 2 (x+y) 3 所以有 I 1 I 2 8.若 发散，则_ A可能有 B一定有 C一定有 D一定有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 本题考查了级数收敛的必要性的知识点 解析 若 发散，可能有 ，如 ，故 A 正确 由 发散可见 B
8、 不成立，C 不成立 由 9.微分方程 的通解为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查了一阶微分方程的通解的知识点 解析 设 ，y=xu， ，代入有 所以 ，ln|sinu|=ln|x|+lnC，sinu=Cx， 原方程的通解为 10.设方程 y-2y-3y=f(x)有特解 Y*，则它的通解为_（分数：4.00）A.y=C1e-x+C2e3x+y* B.y=C1e-x+C2e3xC.y=C1xe-x+C2e3x+y*D.y=C1ex+C2e-3x+y*解析：考点 本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点 解析 考虑对应的齐次方程 y-2y-3y=0 的通
9、解 特征方程为 r 2 -2r-3=0，所以 r 1 =-1，r 2 =3， 所以 y-2y-3y=0 的通解为 二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11. （分数：4.00）解析：ln2 考点 本题考查了 的应用的知识点 解析 12.若 （分数：4.00）解析：0 考点 本题考查了函数在一点处的连续性的知识点 解析 13.设 y=x 2 e x ，则 y (10) | x=0 = 1 （分数：4.00）解析：90 考点 本题考查了莱布尼茨公式的知识点 解析 由莱布尼茨公式得 y (10) =x 2 (e x ) (10) +10(x 2 )(e x ) (9) +45(x 2 )(e
10、 x ) (8) =x 2 e x +20xe x +90e x 所以 14.设函数 f(x)有连续的二阶导数且 f(0)=0，f(0)=1，f(0)=-2，则 （分数：4.00）解析：-1 考点 本题考查了洛必达法则的知识点 解析 注：f(x)连续，且 f(0)=0，则 ，因此 当 x0 时， 是“ ”型待定式，故可用洛必达法则，同样可说明 仍为“ 15.求 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了不定积分的知识点 解析 16. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了分段函数的定积分的知识点 解析 17. （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点 解析 由
11、 ，则 类似，由对称性知 18.设 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查了利用极坐标求积分的知识点 解析 因积分区域 D=(x,y)|0ya， 即 D 是圆 x 2 +y 2 a 2 在第一象限部分，故 19.若幂级数 的收敛半径为 R，则幂级数 （分数：4.00）解析：R 考点 本题考查了幂级数的收敛半径的知识点 解析 幂级数 的收敛半径为 R，由幂级数的逐项微分定理知 20.方程 cosxsinydx+sinxcosydy=0 的通解为 1 （分数：4.00）解析：sinxsiny=C 考点 本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点 解析 由 cosxsinydx+sinxcosyd
12、y=0，知 sinydsinx+sinxdsiny=0 即 d(sinxsiny)=0， 两边积分得 sinxsiny=C， 这就是方程的通解三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.确定函数 f(x,y)=3axy-x 3 -y 3 (a0)的极值点 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 联立有 解得 x=y=a 或 x=y=0， 在(0,0)点，0，所以(0,0)不是极值点 在(a,a)点，0，且 22. （分数：8.00）_正确答案：()解析：23.讨论级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：所以级数收敛24. （分数：8.00）_正确答案：()解析：25.证明：e x
13、1+x(x0) （分数：8.00）_正确答案：()解析：对 F(x)=e x 在0,x上使用拉格朗日中值定理得 F(x)-F(0)=F()x，0x， 26.设 x0 时 f(x)可导，且满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因 可导，在该式两边乘 x 得 两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)， 所以 27.求方程 y-2y+5y=e x 的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：y-2y+5y=0 的特征方程为 r 2 -2r+5=0， 故特征根为 r=12i， 非齐次项的特解可设为 y=Ae x ，代入原方程得 所以方程的通解为 28.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：将 f(x)代入有
