1、专升本高等数学(一)-120 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. _ A0 B （分数：4.00）A.B.C.D.2.设有直线 （分数：4.00）A.过原点且垂直于 x轴B.过原点且垂直于 y轴C.过原点且垂直于 x轴D.不过原点也不垂直于坐标轴3.下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是_ Af(x)= ，x -2，0 Bf(x)=(x-4) 2 ，x-2，4 Cf(x)=sinx，x （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 收敛，则下面命题正确的是_ A 可能不存在 B 必定不存在 C D （分数：4.00）A.B.C.
2、D.5.设 y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程 y“+py“+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为_ 注：c 1 ，c 2 为任意常数（分数：4.00）A.y1(x)+c2y2(x)B.c1y1(x)+y2(x)C.y1(x)+y2(x)D.c1y1(x)+c2y2(x)6.设 k0，则级数 （分数：4.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与 k有关7.y=lnx，则 y“=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0，则在极坐标系下，二重积分 可表示为_ A B C D （分数：4.00
3、）A.B.C.D.9.已知曲线 y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线 x-y+6=0，又 y=y(x)满足微分方程(y“) 2 =1-(y“) 2 ，则此曲线方程是 y=_（分数：4.00）A.-sinxB.sinxC.cosxD.-cosx10.设 u n av n (n=1，2，)(a0)，且 收敛，则 （分数：4.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a有关D.上述三个结论都不正确二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.若 （分数：4.00）12.设 y=(1+x 2 )arctanx，则 y“= 1 （分数：4.00）13.已知当 x0 时， （分数：4.00
4、）14.函数 y=x 2 -2x在区间1，2上满足拉格朗日中值定理条件的 = 1 （分数：4.00）15.设 （分数：4.00）16. （分数：4.00）17.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x轴，则该切线方程为 1 （分数：4.00）18.对于微分方程 y“+y=sinx，利用待定系数法求其特解 y * 时，其特解的设法是 y * = 1 （分数：4.00）19.级数 （分数：4.00）20.设区域 D由曲线 y=x 2 ，y=x 围成，则二重积 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 ，求 （分数：8.00）_22.设 f(x)=e 3x
5、 ，求 （分数：8.00）_23.已知 f()=1，且 （分数：8.00）_24.设 （分数：8.00）_25.求由曲线 y=2-x 2 ，y=x(x0)与直线 x=0围成的平面图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体体积 （分数：8.00）_26.求椭圆 （分数：10.00）_27.将 f(x)=e -2x 展开为 x的幂级数 （分数：10.00）_28.欲围造一个面积为 15000平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米 600元，其余三面材料造价为每平方米 300元，试问正面长为多少米才能使材料费最少? （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-120 答案解析(总分：150.00，做题时间
6、：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1. _ A0 B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 注意所给极限为 x，它不是重要极限的形式，由于 即当 x时， 为无穷小量而 sin2x为有界函数，利用无穷小量性质可知 2.设有直线 （分数：4.00）A.过原点且垂直于 x轴B.过原点且垂直于 y轴 C.过原点且垂直于 x轴D.不过原点也不垂直于坐标轴解析：解析 将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量s=1，0，-2，而 y轴正方向上的单位向量 i=0，1，0，si=10+01+(-2)0=0 因此 si，即所给直线与 y轴垂
7、直故选 B3.下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是_ Af(x)= ，x -2，0 Bf(x)=(x-4) 2 ，x-2，4 Cf(x)=sinx，x （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 罗尔定理条件主要检查三条A 中 在 x=0处无定义；B 中 f(x)=(x-4) 2 ，f(-2)=36f(4)=0；C 中 f(x)=sinx在 上连续，在 内可导且 4.若 收敛，则下面命题正确的是_ A 可能不存在 B 必定不存在 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 收敛，所以5.设 y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程 y“+py“+qy=0
8、的两个线性无关的解，则它的通解为_ 注：c 1 ，c 2 为任意常数（分数：4.00）A.y1(x)+c2y2(x)B.c1y1(x)+y2(x)C.y1(x)+y2(x)D.c1y1(x)+c2y2(x) 解析：6.设 k0，则级数 （分数：4.00）A.条件收敛 B.绝对收敛C.发散D.收敛性与 k有关解析：7.y=lnx，则 y“=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 y=lnx，8.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0，则在极坐标系下，二重积分 可表示为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为区域 D：x
9、 2 +y 2 1，x0，y0，令 有 0r1，0 ，则 9.已知曲线 y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线 x-y+6=0，又 y=y(x)满足微分方程(y“) 2 =1-(y“) 2 ，则此曲线方程是 y=_（分数：4.00）A.-sinxB.sinx C.cosxD.-cosx解析：解析 要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率 k=1，(3)代入(y“) 2 =1-(y“) 2 应成立故逐个验证后应选 B10.设 u n av n (n=1，2，)(a0)，且 收敛，则 （分数：4.00）A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与 a有关D.上述三个结
10、论都不正确 解析：解析 由正项级数的比较判定法知，若 u n v n ，则当 收敛时， 也收敛； 发散时， 二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.若 （分数：4.00）解析：-2解析 因为12.设 y=(1+x 2 )arctanx，则 y“= 1 （分数：4.00）解析：1+2xarctanx 解析 因为 y=(1+x 2 )arctanx，所以 y“=2xarctanx+(1+x 2 ) 13.已知当 x0 时， （分数：4.00）解析：2 解析 当 x0 时， 与 x 2 等价，应满足 而 14.函数 y=x 2 -2x在区间1，2上满足拉格朗日中值定理条件的 = 1 （分数
11、：4.00）解析： 解析 因为 y=x 2 -2x在1，2上满足拉格朗日中值定理的条件，则设 f(x)=x 2 -2x，有 ，即 =2-2，2=3，所以 = 15.设 （分数：4.00）解析：解析 因为 ，所以 故 16. （分数：4.00）解析：e -117.设曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x轴，则该切线方程为 1 （分数：4.00）解析：y=f(1)解析 因为曲线 y=f(x)在(1，f(1)处的切线平行于 x轴，所以 y“(1)=0，即斜率 k=0，则此处的切线方程为 y-f(1)=0(x-1)=0，即 y=f(1)18.对于微分方程 y“+y=sinx，利用待定系
12、数法求其特解 y * 时，其特解的设法是 y * = 1 （分数：4.00）解析：x(asinx+bcosx)19.级数 （分数：4.00）解析：|a|1 解析 如果想判定 是绝对收敛还是条件收敛，通常依下列步骤进行： (1)先判定 的收敛性，如果 收敛，即可知 绝对收敛 (2)如果 发散，再考察 的收敛性，如果 20.设区域 D由曲线 y=x 2 ，y=x 围成，则二重积 （分数：4.00）解析： 解析 因为 D：y=x 2 ，y=x， 所以 三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.设 ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 本题考查复合函数的求导可利用链式法则求解 令 y
13、=lnu， ， 所以 22.设 f(x)=e 3x ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 本题属于求函数值与积分的小综合题可采用下面两种方法：(1)直接求解法；(2)用换元积分法 解法一 直接求解法 f“(x)=3e3xf“(lnx)=3e3lnx=3x3解法二 利用换元积分法 23.已知 f()=1，且 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由于 ， 对 采用凑微分和分部积分后与 相加，代入条件即可求出 f(0) 因为 ， 而 所以 24.设 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 这是一道求函数极值的题只要用常规求极值的方法去解就可以了不过在求函数的导数时要注意变上限
14、积分的导数公式的应用，用 由 “(x)=x 2 -1=0，得 x=-1或 x=1 又 “(x)=2x，且 “(-1)=-20，“(1)=20， 故当 x=-1时，(x)取极大值 ； 当 x=1时，(x)取极小值 25.求由曲线 y=2-x 2 ，y=x(x0)与直线 x=0围成的平面图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体体积 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 就一般情况而言，如果有两条曲线 y=f(x)，y=g(x)(假设 f(x)g(x)与 x=a，x=b(ab)所围成的平面绕 x轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：V x = f 2 (x)-g 2 (x)dx具体解法如下： 由平面
15、图形 axb，0yy(x)所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体体积为 画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为 0x1，0y2-x 2 所围成的平面图形绕 X轴旋转一周所生成的旋转体体积减去 0x1，0yx 所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体体积 当 x0 时，由 26.求椭圆 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为椭圆的面积 A被坐标平分为四等分，所以只需求出在第一象限所围的面积 A 1 ，再乘以 4即可，即 A=4A 1 = ，具体解法如下： 方法一 椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆所围成的图形面积 A=4A 1 ，其中 A 1 为该椭圆在第一象限的曲
16、线与两坐标轴所围成图形面积，所以 将 y在第一象限的表达式 代入上式，可得 令 x=acost，则 dx=-asintdt，且当 x=0时， ；当 x=a时，t=0，则 所以 方法二 椭圆的参数方程为 (0t2)在第一象限中，当 x=a时，t=0；当 x=0时， 所以 27.将 f(x)=e -2x 展开为 x的幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为 ， 所以 28.欲围造一个面积为 15000平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米 600元，其余三面材料造价为每平方米 300元，试问正面长为多少米才能使材料费最少? （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设运动场正面围墙长为 x米，则宽为 设四面围墙高相同，记为 h则四面围墙所用材料费用 f(x)为： 令 f“(x)=0得驻点 x 1 =100，x 2 =-100(舍掉)
