1、专升本高等数学(一)-116 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.下列函数中在点 x 0 =0处可导的是_ A B|x| C （分数：4.00）A.B.C.D.2.微分方程 y“+y=0的通解为_（分数：4.00）A.C1cosx+C2sinxB.(C1+C2x)exC.(C1+C2x)e-xD.C1e-x+C2ex3.sin2xdx=_ A-sin 2 x+C B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.当 x0 时， 与 1-cosx比较，可得_ A 是较 1-cosx高阶的无穷小量 B 是较 1-cosx低阶的无穷小
2、量 C 与 1-cosx是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D （分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.36.设 f(x)=e -x2 -1，g(x)=x 2 ，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小D.f(x)与 g(x)是等价无穷小7.在空间中，方程 y=x 2 表示_（分数：4.00）A.xOy平面的曲线B.母线平行于 Oy轴的抛物柱面C.母线平行于 Oz轴的抛物柱面D.抛物面8.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(
3、0，0，1)的平面方程为_（分数：4.00）A.x+y+z=1B.2x+y+z=1C.x+2y+z=1D.x+y+2z=19.设 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.任意值10.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则_（分数：4.00）A.f(z)dx“=F(x)+CB.F(x)+C“=f(x)C.dF(x)=f(x)D.F(x)dx“=f(x)二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）12.已知由方程 x 2 +y 2 =e确定函数 y=y(x)，则 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.已知 （分数：4.00）15.设 （分数：4.00）16
4、.若 （分数：4.00）17.直线 （分数：4.00）18.设 （分数：4.00）19.定积分 （分数：4.00）20.微分方程 y“-6y“+9y=0的通解为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.已知当 x0 时， （分数：8.00）_22.计算 （分数：8.00）_23.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值 （分数：8.00）_24.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，求 f(x) （分数：8.00）_25.设 z=(x+2y) 3x2+y2 ，求 （分数：8.00）_26.计算 ，其中 D如图所示，由 y
5、=x，y=1 与 y轴围成 （分数：10.00）_27.计算 ，其中 D是由 y= （分数：10.00）_28.曲线 y 2 +2xy+3=0上哪点的切线与 x轴正向所夹的角为 （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-116 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.下列函数中在点 x 0 =0处可导的是_ A B|x| C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 2.微分方程 y“+y=0的通解为_（分数：4.00）A.C1cosx+C2sinx B.(C1+C2x)exC.(C1+C2x)e-xD.C1e-x+C2
6、ex解析：解析 由题意得微分方程的特征方程为 r 2 +1=0，故 r=i为共轭复根，于是通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx3.sin2xdx=_ A-sin 2 x+C B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 4.当 x0 时， 与 1-cosx比较，可得_ A 是较 1-cosx高阶的无穷小量 B 是较 1-cosx低阶的无穷小量 C 与 1-cosx是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ，所以5.函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 本题主要是讨论没有定义的点因为本函数在 x=
7、0，x=1 处没有定义，所以在 x=0和 x=1处间断故选 C6.设 f(x)=e -x2 -1，g(x)=x 2 ，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小C.f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小 D.f(x)与 g(x)是等价无穷小解析：解析 7.在空间中，方程 y=x 2 表示_（分数：4.00）A.xOy平面的曲线B.母线平行于 Oy轴的抛物柱面C.母线平行于 Oz轴的抛物柱面 D.抛物面解析：解析 方程 F(x，y)=0 表示母线平行于 Oz轴的柱面，称之为柱面方程故选 C8.过点(1，0，0)，(
8、0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为_（分数：4.00）A.x+y+z=1 B.2x+y+z=1C.x+2y+z=1D.x+y+2z=1解析：解析 设所求平面方程为 Ax+By+Cz+D=0，则代入题中三个点坐标可得9.设 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.任意值解析：解析 ，故 x=2是函数 f(x)的可去间断点，10.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则_（分数：4.00）A.f(z)dx“=F(x)+CB.F(x)+C“=f(x) C.dF(x)=f(x)D.F(x)dx“=f(x)解析：二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.设 （分数：4.00）解析： 解析
9、 因为 ，所以 ，而由导数定义有 12.已知由方程 x 2 +y 2 =e确定函数 y=y(x)，则 （分数：4.00）解析： 解析 此题是隐函数求导数的题，且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数 具体解法是：在 x 2 +y 2 =e两侧关于 x求导数，得 2x+2yy“=0， ，也就是 13. （分数：4.00）解析：解析 14.已知 （分数：4.00）解析：(1+x) 215.设 （分数：4.00）解析：解析 由 ，所以 y在0，2上单调递减于是 16.若 （分数：4.00）解析：3解析 17.直线 （分数：4.00）解析：-2，1，2 解析 直线 l的方向向量为 18.设 （分数
10、：4.00）解析：1解析 由连续的三要素及 f(0-0)=1=f(0+0)=f(0)，得 k=119.定积分 （分数：4.00）解析：y解析 设 ，则 代入已知函数可得20.微分方程 y“-6y“+9y=0的通解为 1 （分数：4.00）解析：e 3x (c 1 +c 2 x)三、解答题(总题数：8，分数：70.00)21.已知当 x0 时， （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 因为当 x0 时， 与 sin 2 x是等价无穷小量， 所以有 由于当 x0 时， 与 sin 2 x是等价无穷小量，因此有 22.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 本题考查定积分的计算可以利用
11、换元积分法或凑微分法进行计算，注意换元时要将积分上、下限也同时变换 解法一 令 t= ，则 x=t 2 ，dx=2tdt 当 x=1时，t=1；当 x=4时，t=2 于是 解法二 23.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 这是二元函数极值问题先求方程组 的一切实数解，得到所有驻点，再逐个代入 f“ xx (x，y)，f“ xy (x，y)，f“ yy (x，y)中，求出 A，B，C 的值，然后确定 B 2 -AC的符号，由极值充分条件判定其是否为极值点即可具体求解如下： 解方程组 得到驻点 ，在 处，由于 f“xx=2e，f
12、“ xy=0，f“ yy=2e故 A=2e，B=0，C=2e 从而 B 2 -AC=-4e 2 0，A=2e0 所以 为极小值点， 24.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，求 f(x) （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 先根据 f“(cos 2 x)=sin 2 x=1-cos 2 x可得 f“(x)=1-x，然后再积分就可得到 f(x) 因为 f“(cos 2 x)=sin 2 x=1-cos 2 x，所以 f“(x)=1-x， 又因为 f(0)=0，所以 C=0，f(x)=x- 25.设 z=(x+2y) 3x2+y2 ，求 （分数：8.00）_正确答
13、案：()解析：解 本题考查由复合函数的链式法则求偏导数 设 u=x+2y，v=3x 2 +y 2 ，则 z=u v ，由复合函数的链式法则有 由于 因此 =vu v-1 1+u v lnu6x=(3x 2 +y 2 )(x+2y) (3x2+y2-1) +6x(x+2y) (3x2+y2) ln(x+2y) 26.计算 ，其中 D如图所示，由 y=x，y=1 与 y轴围成 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 计算二重积分的基本思想是将其化为二次积分所给二重积分被积函数 xy关于 x，y 对称，积分区域也较简单可以将二重积分转化为：先对 y积分，后对 x积分的二次积分也可以转化为：先对
14、 x积分，后对 y积分的二次积分 解法一 解法二 27.计算 ，其中 D是由 y= （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 区域 D可表示为 28.曲线 y 2 +2xy+3=0上哪点的切线与 x轴正向所夹的角为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 将 y 2 +2xy+3=0对 x求导，得 2yy“+2(y+xy“)=0欲使切线与 x轴正向所夹的角为 ，只要切线的斜率为 1，即 亦即 x+2y=0 设切点为(x 0 ，y 0 )，则 x0+2y0=0 又切点在曲线上，即 y02+2x0y0+3=0 由，得 y 0 =1，x 0 =2 即曲线上点(-2，1)，(2，-1)的切线与 x轴正向所夹的角为
