1、专升本高等数学(一)-115 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.函数 z=xy 在(0，0)处_（分数：4.00）A.有极大值B.有极小值C.不是驻点D.无极值2.如果 f“(x 0 )=0，则 x 0 一定是_（分数：4.00）A.极值点B.拐点C.驻点D.凸凹区间分界点3.下列原函数为 ln(ax)(a0，1)的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 （分数：4.00）A.(-，-2)(-2，+)B.(-2，2)C.(-，0)(0，+)D.(-2，0)(0，2)5.设 f(x)=1-cos2x，g
2、(x)=x 2 ，则当 x0 时，比较无穷小量 f(x)与 g(x)，有_（分数：4.00）A.f(x)对于 g(x)是高阶的无穷小量B.f(x)对于 g(x)是低阶的无穷小量C.f(x)与 g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量D.f(x)与 g(x)为等价无穷小量6.定积分_的值为负 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)=e 2x ，则不定积分 （分数：4.00）A.2ex+CB.ex+CC.2e2x+CD.e2x+C8.点_是二元函数 f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x 的极小值点（分数：4.00）A.(1，0)B.(1，2
3、)C.(-3，0)D.(-3，2)9.函数 （分数：4.00）A.(x，y)|x0，y0B.(x，y)|x0，y0C.(x，y)|x0，y0D.(x，y)|x0，y0 或 x0，y010.若级数 收敛，则下列级数不收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.函数 （分数：4.00）12.双曲线 在点( （分数：4.00）13.极限 （分数：4.00）14.已知函数 f(x)=ax 2 +2x+c 在点 x=1 处取得极值 2，则 a= 1，c= 2，f(1)为极 3 值 （分数：4.00）15. （分数：4.00）16.过点
4、M 0 (1，1，-2)且与直线 （分数：4.00）17.设二元函数 z=ln(x+y 2 )，则 （分数：4.00）18.设 x=u 2 lnv， （分数：4.00）19.通解为 C 1 e -x +C 2 e -2x 的二阶常系数线性齐次微分方程是 1 （分数：4.00）20.设 x 2 +x 为 f(x)的原函数，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：8，分数：70.00)(1). （分数：4.00）_(2). （分数：4.00）_21.求 （分数：8.00）_22.求函数 z=x 2 +y 2 在 （分数：8.00）_23.求幂级数 （分数：8.00）_24.求函数 （分数：8.0
5、0）_25.计算二重积分 （分数：10.00）_26.求由平面 x=0，x=1，y=0，y=2 所围成的柱体被 z=0，z=5-x-y 所截得的立体的体积 V （分数：10.00）_27.设连续函数 f(x)满足方程 （分数：10.00）_专升本高等数学(一)-115 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.函数 z=xy 在(0，0)处_（分数：4.00）A.有极大值B.有极小值C.不是驻点D.无极值 解析：解析 由 z=xy 得 2.如果 f“(x 0 )=0，则 x 0 一定是_（分数：4.00）A.极值点B.拐点C.驻点 D.
6、凸凹区间分界点解析：解析 驻点的定义就是使得 f“(x)=0 的点，所以选 C3.下列原函数为 ln(ax)(a0，1)的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由4.函数 （分数：4.00）A.(-，-2)(-2，+)B.(-2，2)C.(-，0)(0，+)D.(-2，0)(0，2) 解析：解析 由 5.设 f(x)=1-cos2x，g(x)=x 2 ，则当 x0 时，比较无穷小量 f(x)与 g(x)，有_（分数：4.00）A.f(x)对于 g(x)是高阶的无穷小量B.f(x)对于 g(x)是低阶的无穷小量C.f(x)与 g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小
7、量 D.f(x)与 g(x)为等价无穷小量解析：解析 1-cosx=2sin 2 x，故 6.定积分_的值为负 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由定积分的几何意义得，应选 C 项7.设函数 f(x)=e 2x ，则不定积分 （分数：4.00）A.2ex+CB.ex+C C.2e2x+CD.e2x+C解析：8.点_是二元函数 f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x 的极小值点（分数：4.00）A.(1，0) B.(1，2)C.(-3，0)D.(-3，2)解析：解析 因 f x (x，y)=3x 2 +6x-9，f y (x，y)=-3y 2
8、 +6y 所以，令 f x (x，y)=0，f y (x，y)=0，解得驻点(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3，2) 又因 f xx (x，y)=6x+6，f xy (x，y)=0，f yy (x，y)=-6y+6 于是 B 2 -AC=36(x+1)(y-1) 故，对于点(1，0)：B 2 -AC=-720，且 A=120，则点(1，0)是极小值点； 对于点(1，2)：B 2 -AG=720，则点(1，2)不是极值点； 对于点(-3，0)：B 2 -AC=720，则点(-3，O)不是极值点； 对于点(-3，2)：B 2 -AC=-720，且 A=-120，则点(-3，2)是极大值点
9、，故应选 A9.函数 （分数：4.00）A.(x，y)|x0，y0B.(x，y)|x0，y0C.(x，y)|x0，y0D.(x，y)|x0，y0 或 x0，y0 解析：解析 要使表达式有意义，自变量 x，y 必须同时满足 10.若级数 收敛，则下列级数不收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因二、填空题(总题数：10，分数：40.00)11.函数 （分数：4.00）解析：0，1)(1，3 解析 分段函数 f(x)在其每段内都是连续的，因此只需看分段点 x=1，x=2 处的连续情况 由 ， 则 f(x)在 x=1 处不连续 由 ， 12.双曲线 在点( （分
10、数：4.00）解析：解析 ，所以切线方程为 ，法线方程为 13.极限 （分数：4.00）解析：2解析 14.已知函数 f(x)=ax 2 +2x+c 在点 x=1 处取得极值 2，则 a= 1，c= 2，f(1)为极 3 值 （分数：4.00）解析：-1，1，大 解析 y“=2ax+2，y“=2a，由于(1，2)在曲线 y=ax 2 +2x+c 上，又 x=1 为极值点，所以 y“(1)=0，有 15. （分数：4.00）解析：1解析 本式为 型极限，16.过点 M 0 (1，1，-2)且与直线 （分数：4.00）解析：2x+3y+z-3=0 解析 由题可知所求平面方程一般式的系数满足关系 1
11、7.设二元函数 z=ln(x+y 2 )，则 （分数：4.00）解析：dx解析 18.设 x=u 2 lnv， （分数：4.00）解析：y 3 dx+3xy 2 dy 解析 把 u，v 代入 z=u 2 lnv 中，有 故 于是 19.通解为 C 1 e -x +C 2 e -2x 的二阶常系数线性齐次微分方程是 1 （分数：4.00）解析：y“+3y“+2y=0 解析 设所求微分方程的特征方程为 r 2 +qr+p=0，由题可知该方程的两个根分别为-1 和-2，代入特征方程解得 p=3，q=2，故所求微分方程为 y“+3y“+2y=020.设 x 2 +x 为 f(x)的原函数，则 （分数：
12、4.00）解析：1解析 由题可知 f(x)=2x+1，f“(x)=2，所以三、解答题(总题数：8，分数：70.00)(1). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (2). （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 21.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 积分区域 D 如图所示 D 可以表示为 0x1，x 2 y1+x 2 22.求函数 z=x 2 +y 2 在 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 用拉格朗日乘数法 令 F(x，y，)=x 2 +y 2 +(4x+3y-12) 于是 得其驻点 ，又 f xx (x，y)=20，故点 为极小值点，且极小值为 23.求
13、幂级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 该级数为标准型幂级数 故收敛半径 24.求函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 25.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 积分区域 D 的图形如图所示 由积分区域 D 的图形可以看出，如果选择先对 y 积分，后对 x 积分的次序当作平行于 y 轴的直线与区域D 相交时，入口曲线不唯一，因此需要将区域 D 划分为几个子区域如果先对 x 积分，后对 y 积分，则可以直接进行 为了确定积分限先求解方程组 得一组解 x=2，y=1，对应于交点 B(2，1)解方程组 得一组解 x=1，y=0，对应于交点 A(1，0) 作平行于 x 轴的直线与区域 D 相交，沿 x 轴正方向看，入口曲线为 x=0，出口曲线为 x=y 2 +1， 因而 0xy 2 +1在 D 中 0y1，于是 26.求由平面 x=0，x=1，y=0，y=2 所围成的柱体被 z=0，z=5-x-y 所截得的立体的体积 V （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设区域 D 为所给立体在 xOy 面上的投影，则 D 可以表示为 0x1，0y2 则所求立体的体积 27.设连续函数 f(x)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 方程两边对 x 求导得 f“(x)+2f(x)=2x，即 y“+2y=2x 直接套用公式得
