1、2015年广东专插本（高等数学）真题试卷及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.若当 0 时，k2 2 3 3 与 是等价无穷小，则常数 k ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.已知函数 f()在 0 处有二阶导数，且 f( 0 )0，f( 0 )1，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A. 0 为 f()的极小值点B. 0 为 f()的极大值点C. 0 不是 f()的极值点D.( 0 ，f( 0 )是曲线 yf()的拐点4.设 F()
2、是 f()的一个原函数，C 为任意实数，则f(2)d ( )（分数：2.00）A.F()CB.F(2)CC.F(2)CD.2F(2)C5.若函数 f() （分数：2.00）A.1B.0C.1D.26.下列级数中，收敛的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线 y(1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设函数 yf()由参数方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 yy0 满足初始条件 y 0 1 的特解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f()log
3、 2 (0)，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.已知函数 f() （分数：2.00）_14.求极限 （分数：2.00）_15.设 yln （分数：2.00）_16.计算不定积分 （分数：2.00）_17.求由曲线 ycos2 和直线 y0，0 及 （分数：2.00）_18.将二次积分 I -1 1 d （分数：2.00）_19.求微分方程 y2y5y0 满足初始条件 y 0 2，y 0 0 的特解（分数：2.00）_20.判定级数 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.
4、00)21.设二元函数 zf(，y) v ln(0，1)，平面区域D(，y)2e，1y1 (1)求全微分 dz； (2)求 （分数：2.00）_22.已知 f()是定义 R上的单调递减的可导函数，且 f(1) 0 函数 F() 0 f(t)dt 2 1 (1)判别曲线 yF()在 R上的凹凸性，并说明理由； (2)证明：方程 F()0 在区间(0，1)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_2015年广东专插本（高等数学）真题试卷答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）
5、_解析：2.若当 0 时，k2 2 3 3 与 是等价无穷小，则常数 k ( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：3.已知函数 f()在 0 处有二阶导数，且 f( 0 )0，f( 0 )1，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A. 0 为 f()的极小值点 B. 0 为 f()的极大值点C. 0 不是 f()的极值点D.( 0 ，f( 0 )是曲线 yf()的拐点解析：解析：由 f()在 0 处有二阶导数，f( 0 )10 且 f()0，则 0 为 f()的极小值点4.设 F()是 f()的一个原函数，C 为任意实数，则f(2)d ( )（分数：2.00）A.F
6、()CB.F(2)CC.F(2)C D.2F(2)C解析：解析：f(2)d (2)d(2)5.若函数 f() （分数：2.00）A.1B.0C.1 D.2解析：解析：由 f()在0，1上满足罗尔定理知，f(0)f(1)，即 1k，故本题选 C6.下列级数中，收敛的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：级数 为公比小于 1的几何级数，是收敛的；级数 为 p1 的 p - 级数，也是收敛的，故级数 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线 y(1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -5）解析：解析： 8.设函数 yf()由参数方程 所确定，则
7、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：9.广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.微分方程 yy0 满足初始条件 y 0 1 的特解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对微分方程分离变量为 d，则 lny 2 C，C 为任意常数即 y ，又 y 0 1，故 C0，特解为 y 11.设函数 f()log 2 (0)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步
8、骤。（分数：2.00）_解析：13.已知函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 yln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ylne ln(e 1)ln(e 1)， )解析：16.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t，则 t 2 2，d2tdt， )解析：17.求由曲线 ycos2 和直线 y0，0 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求面积： )解析：18.将二次积分 I -1 1 d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由给定的二次积分知，
9、积分区域 D(，y)11，0y ， 如图所示： 则在极坐标下：D(r，)0r1，0 )解析：19.求微分方程 y2y5y0 满足初始条件 y 0 2，y 0 0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：微分方程的特征方程为 r 2 2r50， 解得 r12i， 微分方程的通解为ye (C 1 cos2C 2 sin2)， ye (C 1 cos2C 2 sin2)e (2C 1 sin22C 2 cos2)， y 0 C 1 2，y 0 C 1 2C 2 0，解得 C 2 2，C 2 1，故微分方程的特解为 ye (2cos2sin2)解析：20.判定级数 （分数：2.00）_正确答案
10、：(正确答案：显然 ， 则由比值审敛法知，级数 收敛， 再由比较审敛法知，级数 收敛 由比较审敛法知， )解析：四、综合题(总题数：2，分数：4.00)21.设二元函数 zf(，y) v ln(0，1)，平面区域D(，y)2e，1y1 (1)求全微分 dz； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) y-1 y y-1 ln y-1 (1yln)， y ln 2 ， dz y-1 (1yln)d y ln 2 dy (2) f(，y)d 2 c d -1 1 lnd 2 c ( y -1 1 )d )解析：22.已知 f()是定义 R上的单调递减的可导函数，且 f(1) 0
11、函数 F() 0 f(t)dt 2 1 (1)判别曲线 yF()在 R上的凹凸性，并说明理由； (2)证明：方程 F()0 在区间(0，1)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)F()f()2，F()f()2，且由题意知 f()0(R)， F()0(R)， 故曲线 yF()在 R上是凸的 (2)显然 F()在0，1上连续，且 F(0)10， F(1) 0 1 f(t)dt2 0 1 2dt20， 方程 F()0 在区间(0，1)内至少有一个实根 由 F()0 知 F()在 R上单调递减， 1 时，有 F()F(1)f(1)20， 由此知 F()在(0，1)内单调递增， 因此方程 F()0 在(0，1)内至多只有一个实根， 故方程 F()0 在区间(0，1)内有且仅有一个实根)解析：
