1、2013年广东专插本(高等数学)真题试卷及答案解析(总分:46.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分数:2.00)_2.当 0 时,下列无穷小量中,与 不等价的无穷小量是 ( )(分数:2.00)A.1n(+1)B.arcsinC.1-cosD.3.曲线 (分数:2.00)A.只有水平渐近线B.只有铅垂渐近线C.既有水平渐近线也有铅垂渐近线D.无渐近线4.下列函数中,在区间-1,1上满足罗尔(Rolle)定理条件的是 ( )(分数:2.00)A.B.y=C.D.5.设函数 f()=sin+cos,则
2、下列结论正确的是 ( )(分数:2.00)A.f(0)是 f()的极小值,f(B.f(0)是 f()的极大值,f(C.f(0)和 f(D.f(0)和 f(6.若函数 f()和 F()满足 F ()=f()(R),则下列等式成立的是 ( )(分数:2.00)A.B. F(2ln+1)d=C.D. f(2ln+1)d=二、填空题(总题数:5,分数:10.00)7.要使函数 (分数:2.00)填空项 1:_8.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_9.函数 (分数:2.00)填空项 1:_10.已知平面图形 G=(,y)1,0y (分数:2.00)填空项 1:_11.设 D为圆环域:1 2 +y 2
3、 4,则二重积分 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。(分数:2.00)_13.计算 (分数:2.00)_14.已知函数 f()具有连续的一阶导数,且 f(0).f (0)0,求常数 a和 b的值,使 (分数:2.00)_15.求由方程 ylny+y=e 2 所确定的隐函数在 =0 处的导数 (分数:2.00)_16.求曲线 (分数:2.00)_17.计算不定积分 (分数:2.00)_18.计算定积分 (分数:2.00)_19.求二元函数 的全微分 dz及二阶偏导数 (分数:2.00)_20.求微分方程 y -2y
4、+(1-k)y=0(其中常数 k0)的通解。(分数:2.00)_四、综合题(总题数:2,分数:6.00)21.交换二次积分 (分数:2.00)_已知 f()是定义在区间0,+)上的非负可导函数,且曲线 y=f()与直线 y=0,=0 及 =t(t0)围成的曲边梯形的面积为 f(t)=t 2 。 求(分数:4.00)(1).函数 f();(分数:2.00)_(2).证明:当 0 时, (分数:2.00)_2013年广东专插本(高等数学)真题试卷答案解析(总分:46.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分
5、数:2.00)_解析:2.当 0 时,下列无穷小量中,与 不等价的无穷小量是 ( )(分数:2.00)A.1n(+1)B.arcsinC.1-cos D.解析:3.曲线 (分数:2.00)A.只有水平渐近线B.只有铅垂渐近线 C.既有水平渐近线也有铅垂渐近线D.无渐近线解析:4.下列函数中,在区间-1,1上满足罗尔(Rolle)定理条件的是 ( )(分数:2.00)A.B.y=C. D.解析:5.设函数 f()=sin+cos,则下列结论正确的是 ( )(分数:2.00)A.f(0)是 f()的极小值,f( B.f(0)是 f()的极大值,f(C.f(0)和 f(D.f(0)和 f(解析:6.
6、若函数 f()和 F()满足 F ()=f()(R),则下列等式成立的是 ( )(分数:2.00)A.B. F(2ln+1)d=C.D. f(2ln+1)d= 解析:二、填空题(总题数:5,分数:10.00)7.要使函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:8.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:9.函数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e -1)解析:10.已知平面图形 G=(,y)1,0y (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:)解析:11.设 D为圆环域:1 2 +y 2 4,则二
7、重积分 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:三、解答题(总题数:9,分数:18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.已知函数 f()具有连续的一阶导数,且 f(0).f (0)0,求常数 a和 b的值,使 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意知:af(0)+bf(0)-f(0)=0,af (0)+2bf (0)=0, 因为 f(0).f (0)0,即 f(0)0,f (0)0, 所以 a+b-1=0,a+2b=0, 由此解得 a=2,b=-1。)解
8、析:15.求由方程 ylny+y=e 2 所确定的隐函数在 =0 处的导数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方法一 等式两边对 求导数得:(y+y )lny+y +y =2e 2 , 即 y (1+lny)-2e 2 -ylny, 所以 。 又因为 =0 时,y=1,故 。 方法二 设 F()=ylny+y-e 2 ,则 F =ylny-2e 2 ,F y =lny+1, 所以 。 又因为 =0 时,y=1,故 )解析:16.求曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:函数的定义域为(-,+), )解析:17.计算不定积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:1
9、8.计算定积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ,则 =t 2 -1,d=2tdt, )解析:19.求二元函数 的全微分 dz及二阶偏导数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.求微分方程 y -2y +(1-k)y=0(其中常数 k0)的通解。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由微分方程的特征方程 r 2 -2r+1-k=0解得 所以当 k0时,方程有两个不相等的实根 ; 当 k=0时,方程有唯一实根 1。 故当 k0 时,通解为 )解析:四、综合题(总题数:2,分数:6.00)21.交换二次积分 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题设条件
10、知,积分区域 D=(,y) 01,e ye,如图: 交换积分次序得 )解析:已知 f()是定义在区间0,+)上的非负可导函数,且曲线 y=f()与直线 y=0,=0 及 =t(t0)围成的曲边梯形的面积为 f(t)=t 2 。 求(分数:4.00)(1).函数 f();(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意知 , 两边对 t求导数得:f(t)=f (t)-2t,且 f(0)=0, 由 f ()-f(t)=2t 解得 )解析:(2).证明:当 0 时, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 , 则 F ()=2(e -1)-2- 3 , F ()=2e -2-2=2(e -1)=f()0,(0), 所以 F ()在(0,+)内单调递增,因此,当 0 时,有 F ()F (0)=0, 由此可知 F()在(0,+)内单调递增, 故当 0 时,有 F()F(0)=0,即 , 所以 )解析: